第十四章第三节因式分解.docx

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第十四章第三节因式分解

因式分解

因式分解：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称分解因式。

（把加减变相乘）

因式分解与整式乘法互为逆变形：

因式分解的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式法、十字相乘法分解；如还不能，就试用分组分解法或其他方法。

注意事项：

1.若无特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

如：

2.结果一定是乘积的形式；

3.每一个因式都是整式；

如：

4.相同因式的积要写成幂的形式。

在分解因式时，结果的形式有一定要求

1.没有大括号和中括号（只有小括号）

如：

2.每一个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

3.单项式因式写在多项式因式的前面；

4.每一个因式第一项系数一般不为负数；

如:

【例】判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解，并说明理由

（1）

（2）

（3）

（4）

因式分解的常用方法

一、提公因式法.ma+mb+mc=m（a+b+c）

提取公因式：

如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。

确定公因式的方法:

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。

【例1】

【例2】*若a、b、c为△ABC的三边长，且，则△ABC按边分类，应是什么三角形？

【例3】求代数式的值：

，其中。

【练习】

（1）

（2）

（3）

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

平方差公式：

完全平方公式：

立方和（差）公式：

【例4】分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

【例5】

（1）分解因式：

=

*

（2）分解因式：

*【例6】若a，b，c为正整数，且满足，那么a，b，c之间有什么关系？

【例7】分解因式：

【练习】

1.用平方差公式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

2.用完全平方公式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

【例】分解因式：

分析：

从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：

原式=

=每组之间还有公因式！

=

【例8】分解因式：

解法一：

第一、二项为一组；解法二：

第一、四项为一组；

第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

【练习】分解因式1、2、

（二）分组后能直接运用公式

【例9】分解因式：

分析：

若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

【例10】分解因式：

【练习】分解因式3、4、

综合练习：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

（11）（12）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：

十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

解析：

凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。

于是为完全平方数，

【例11】分解因式：

【例12】分解因式：

【练习】分解因式

（1）

（2）（3）

【练习】分解因式

（1）

（2）（3）

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

条件：

（1）

（2）

（3）

分解结果：

=

【例13】分解因式：

【练习】分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式

【例14】分解因式：

分析：

将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+（-16b）=-8b

解：

=

=

【练习】分解因式

（1）

（2）（3）

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

【例15】【例16】

【练习】分解因式：

（1）

（2）

【综合练习】

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

思考：

分解因式：

五、换元法.

【例17】分解因式

（1）

（2）

【练习】分解因式

（1）

（2）

（3）

六、添项、拆项、配方法.

【例18】分解因式

（1）

解法1——拆项。

解法2——添项。

（2）

【练习】分解因式

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

七、待定系数法.

【例19】分解因式

【例20】

（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果有两个因式为和，求的值。

【练习】

（1）分解因式

（2）分解因式

（3）已知：

能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

课后作业

一、填空

1、若是完全平方式，则的值等于_____。

2、则=____=____

3、与的公因式是＿

4、若=，则m=_______，n=_________。

5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其结果是_____________________。

6、若是完全平方式，则m=_______。

7、，

8、若的值为0，则的值是________。

9、若则=_____。

10、若则___。

二、选择题

1、多项式的公因式是（）

A、－a、B、C、D、

2、若，则m，k的值分别是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：

中能用平方差公

式分解因式的有（）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

（11）（12）

（14）（16）

2、用简便方法计算。

（1）0.75

（2）　

（3）

（4）

3、已知：

.求的值。

四、探究创新乐园

1、已知，，求的值。

2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、已知，求的值