安徽省屯溪一中学年下学期期中考试高二理科数学.docx
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安徽省屯溪一中学年下学期期中考试高二理科数学
2013学年屯溪一中第二学期期中考试（理）高二数学试卷
一、选择题（（共10小题，每小题5分，共50分）
1.i是虚数单位，若复数，则复数z的实部与虚部的和是（）
A．3B．1+2iC．2D．1-2i
2．设函数f（x）=lnx+1可导，则等于（）．
A．1B．0C．3D．
3．若A（x,1-x,2x），B（1,-2,x-1），当取最小值时，的值等于（）
A1B．0C．-2D．-1
4、已知n为正偶数，，用数学归纳法证明：
时，若已假设（且为偶数）时命题为真，则还需利用归纳假设再证（）
A．+1时等式成立B．+2时等式成立
C．+2时等式成立3D．时等式成立
5.曲线和曲线围成的图形面积是（）
A.B.C.D.
6．数列满足，若，则数列的第2013项为（）
A．B．C．D．
7、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）
A、B、C、D、
8、设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）>0的解集是（ ）
A．（－3,0）∪（0,3）B．（－3,0）∪（3，＋∞）
C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（0,3）
9、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是（）
A．3B．2C．1D．0
10.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（）
A.B.C.D.
2、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、在平行六面体中，若，则x＋y＋z等于______
___________
___________
14．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量，n维向量可用（x1，x2，x3，x4，…，xn）表示．设＝（a1，a2，a3，a4，…，an），＝（b1，b2，b3，b4，…，bn），规定向量与夹角θ的余弦为cosθ＝.已知n维向量，，当＝（1,1,1,1，…，1），＝（－1，－1,1,1,1，…，1）时，cosθ等于______________
15、下面四个不等式：
（1）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
（2）a（1－a）≤；（3）＋≥2；（4）（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2；其中恒成立的序号有__________.
2013学年屯溪一中第二学期期中考试（理）高二数学试卷
一、选择题（（共10小题，每小题5分，共50分）
考号___________________班级________________姓名____________________
……………………………………装……………………订………………………………线……………………………………
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、_____12、_____13、_____
14、_____15、_____
三．解答题（本题共6大题，满分75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
16、（本题满分12分）已知，若,求实数的值。
17（本题满分12分）
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）,若曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处与直线y=8相切
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3,3]上的极值。
18.（本小题满分12分）已知m、n、p是互不相等的非零实数.证明三个方程mx2+2nx+p=0，nx2+2px+m=0，px2+2mx+n=0至少有一个方程有两个相异实根.
19．（本小题满分12分）
已知，数列的前项的和记为.
（1） 求的值，猜想的表达式；
（2） 试用数学归纳法证明你的猜想.
20．（本小题满分13分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
21．（本大题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；
（）求证：
2013学年屯溪一中第二学期期中考试（理）答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
A
B
A
C
D
B
C
B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、__11/6___12、____ln2-1/2_13、______
14、__（n-4）/n___15、_
（1）,
（2）,（4）____
三．解答题（本题共6大题，满分75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
16、（本题满分12分）已知，若,求实数的值。
17（本题满分12分）
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）,若曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处与直线y=8相切
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3,3]上的极值。
【答案】解：
（1）f′（x）=3x2-3a,
因为曲线y=f（x）在点（2，f
（2））处与直线y=8相切,
所以即
解得a=4,b=24.…………………………6分
18.（本小题满分12分）已知m、n、p是互不相等的非零实数.证明三个方程mx2+2nx+p=0，nx2+2px+m=0，px2+2mx+n=0至少有一个方程有两个相异实根.
解：
假设三个方程都无实根或都只有两个相等实根则有
19．（本小题满分12分）
已知，数列的前项的和记为.
（1） 求的值，猜想的表达式；
（2） 试用数学归纳法证明你的猜想.
20．（本小题满分13分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，．
（Ⅰ）证明：
∵，，
∴,
∵平面，且平面，
∴//平面．
（Ⅱ）证明：
，，，
，
又，
∴平面．
（Ⅲ）设平面的法向量为,
因为，，
则取
又因为平面的法向量为
所以
所以二面角的大小为．
21．（本大题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；
（）求证：
21.解：
（1）∵（
∴令，得，令，得e故函数的单调递增区间为，递减区间为
（2）由
则问题转化为大于等于的最大值
又，令
当在区间（0,+）内变化时，、变化情况如下表：
（0,）
（，+）
+
0
—
↗
↘
由表知当时，函数有最大值，且最大值为
因此
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