届江苏省南京师大附中高三模拟考试数学试题及答案.docx

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届江苏省南京师大附中高三模拟考试数学试题及答案

南京师大附中2017届高三模拟考试

数学05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

一．填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝▲．

2．若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a＝▲．

3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得

的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图

形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为▲．

4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲．

5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，

从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是▲．

6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，

则“α⊥β”是“m⊥β”的▲条件．（填“充分不必要”、

“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

7．函数

的单调增区间是▲．

8．设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，

则实数b的值为▲．

（第4题图）

9．设a，b均为正实数，则

的最小值是▲．

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f

（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是▲．

11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·

的值为▲．

12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的

圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角

形，则该椭圆离心率的取值范围是▲．

13．对于定义域内的任意实数x，函数f（x）＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是▲．

14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n

都成立，则实数m的最大值为▲．

二．解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．

（1）求角

的值；

（2）若角

，

边上的中线

=

，求

的面积．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD

（第16题图）图

的中点．

（1）求证：

平面PAC⊥平面PCD；

（2）求证：

CE∥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：

正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？

并求此时x的值．

（第17题图）图

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．高考资源网

（1）求实数a，b的值；

（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN

（第18题图）

的面积为S，求S的取值范围；

（3）求证：

点G在一条定直线上．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.

（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.

①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；

②若数列{bn}是唯一的，求m的值；

（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最

大值.

20．（本小题满分16分）

设a是实数，函数f（x）＝ax2＋（a＋1）x－2lnx．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切点的横坐标；

（3）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：

y＝h（x），当x≠x0时，

若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g（x）的“巧点”．当a＝－时，

试问函数y＝f（x）是否存在“巧点”？

若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说

明理由．

数学（附加题）05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．（几何证明选讲选做题）

如图，设

、

是圆

的两条弦，直线

是线段

的垂直平分线．已知

，求线段

的长度．

（第21—A题图）

B．（矩阵与变换选做题）

设矩阵A

，矩阵A属于特征值

的一个特征向量为

，属于特征值

的一个特征向量为

，求ad－bc的值．

C．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A，

B分别在曲线C1：

（θ为参数）和曲线C2：

ρ＝1上，求线段AB的最小值．

D．（不等式选做题）

设a，b，c均为正数，abc＝1．求证：

＋＋≥＋＋.

22．【必做题】

在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为

，

，

，4，现从这个盒

子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．

（1）求P（ξ＝1）；

（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

23．【必做题】

有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，

使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：

“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．

（1）若m＝100，直接写出选法种数；

（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数

列{an}的通项公式．

南京师大附中2017届高三模拟考试

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．{1}；2．2；3．77；4．5；5．；6．必要不充分；

7．[－,0]；8．；9．4；10．（0，）∪（5，+∞）；11．24；

12．（0，）；13．－7＜a≤0或a＝2；14．．

二、解答题：

15．解析:

（1）因为

，由正弦定理

得

，………………2分

即

=sin（A+C）．………………4分

因为B＝π－A－C，所以sinB=sin（A+C），

所以

．

因为B∈（0，π），所以sinB≠0，

所以

，因为

，所以

．………………7分

（2）由

（1）知

，所以

，

．………………8分

设

，则

，又

在△AMC中，由余弦定理

得

即

解得x＝2.………………12分

故

………………14分

16．解析:

（1）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，…………………2分

又∠ACD＝90°，则

，而PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC，因为CD平面ACD，………………4分

所以，平面PAC⊥平面PCD．　………………7分

（2）证法一：

取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．

因为EM

平面PAB，PA

平面PAB，

所以EM∥平面PAB．　………………9分

在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，

又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，

则MC∥AB．

因为MC

平面PAB，AB

平面PAB，

所以MC∥平面PAB．

………………12分

而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．

由于EC

平面EMC，从而EC∥平面PAB．………………14分

证法二：

延长DC，AB交于点N，连PN．

因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，

所以C为ND的中点．

而E为PD中点，所以EC∥PN．

因为EC

平面PAB，PN

平面PAB，

所以EC∥平面PAB．

………………14分

17．解析:

正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．

设正三棱锥侧面的高为h，高为h．

由题意得：

x＋h＝10，解得h＝10－x．　

………………2分

则h＝＝

＝，x∈（0,10）．………………5分

所以，正三棱锥体积V＝Sh＝×x2×

＝．………………8分

设y＝V2＝（100－x）＝－，

求导得y′＝－，令y′＝0，得x＝8，………………10分

当x∈（0，8）时，y′＞0，y随着x的增加而增大，

当x∈（8，10）时，y′＜0，y随着x的增加而减小，

所以，当x＝8cm时，y取得极大值也是最大值．………………12分

此时y＝15360，所以Vmax＝32cm3．

答：

当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3．………………14分

18．解析:

（1）由题设可知a＝2．………………1分

因为e＝，即＝，所以c＝．

又因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1．………………2分

（2）由题设可知，椭圆的方程为＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1．

设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得5x2－8x＝0，

解得x1＝0，x2＝．

将x1＝0，x2＝，代入直线MN的方程，解得y1＝－1，y2＝．

所以MN＝＝．………………4分

设与直线MN平行的直线m方程为y＝x＋λ．

联立方程组，消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，

若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20（4λ2－4）＝0，解得λ＝±．……………6分

当直线m为y＝x－时，直线l与m之间的距离为d1＝＝；

当直线m为y＝x＋时，直线l与m之间的距离为d2＝＝；………………8分

设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，

则需满足d1＜d＜d2，即＜d＜．

因为S＝d·MN＝d，所以＜S＜．………………10分

（3）方法一设直线A1M的方程为y＝k1（x＋2），直线A2N的方程为y＝k2（x－2）．

联立方程组，消去y得（1＋4k12）x2＋16k12x＋16k12－4＝0，

解得点M的坐标为（，）．

同理，可解得点N的坐标为（，）．………………12分

由M，D，N三点共线，有＝，化简得（k2－3k1）（4k1k2＋1）＝0．

由题设可知k1与k2同号，所以k2＝3k1．………………14分

联立方程组，解得交点G的坐标为（，）．

将k2＝3k1代入点G的横坐标，得xG＝＝＝4．

所以，点G恒在定直线x＝4上．………………16分

方法二显然，直线MN的斜率为0时不合题意．

设直线MN的方程为x＝my＋1．

令m＝0，解得M（1，），N（1，－）或M（1，－），N（1，）．

当M（1，），N（1，－）时，直线A1M的方程为y＝x＋，直线A2N的方程为y＝x－．

联立方程组，解得交点G的坐标为（4，）；

当M（1，－），N（1，）时，由对称性可知交点G的坐标为（4，－）．

若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x＝4．………………12分

下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．

设M（x1，y1），N（x2，y2），G（4，y0）．

由点A1，M，G三点共线，有＝，即y0＝．

再由点A2，N，G三点共线，有＝，即y0＝．

所以，＝．①

将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入①式，化简得2my1y2－3（y1＋y2）＝0．②………………14分

联立方程组，消去x得（m2＋4）y2＋2my－3＝0，

从而有y1＋y2＝，y1y2＝．

将其代入②式，有2m·－3·＝0成立．

所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．………………16分

19．解析：

（1）①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3，

由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3．………………2分

设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

若m＝18，

则有解得或

所以，{an}和{bn}的通项公式为或………………4分

②由题设b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0（*）．

因为数列{bn}是唯一的，所以

若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；

若q≠0，则（－3）2＋12m＝0，解得m＝－，代入（*）式，解得q＝，

又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．

所以，m=0或－．………………8分

（2）依题意，36＝（a1＋b1）（a3＋b3），

设{bn}公比为q，则有36＝（3－d＋）（3＋d＋3q），（**）

记m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，则mn=36．

将（**）中的q消去，整理得：

d2＋（m－n）d＋3（m＋n）－36＝0………………10分

d的大根为＝

而m，n∈N*，所以（m，n）的可能取值为：

（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．

所以，当m＝1，n＝36时，d的最大值为．………………16分

20．解析：

（1）当a＝1时，f′（x）＝（x＞0），………………1分

由f′（x）＞0得：

x＞；由f′（x）＜0得：

0＜x＜．………………2分

　　所以，f（x）的单调增区间为（，＋∞），单调减区间为（0,）．………………3分

（2）当a＝2时，设切点为M（m，n）．

f′（x）＝4x＋3－（x＞0），

所以，切线的斜率k＝4m＋3－．

又直线OM的斜率为，………………5分

所以，4m＋3－＝，即m2＋lnm－1＝0，

又函数y＝m2＋lnm－1在（0,＋∞）上递增，且m＝1是一根，所以是唯一根，

所以，切点横坐标为1．………………7分

（3）a＝－时，由函数y＝f（x）在其图象上一点P（x0,y0）处的切线方程为：

y＝（－x0＋－）（x－x0）－x02＋x0－2lnx0．………………8分

令h（x）＝（－x0＋－）（x－x0）－x02＋x0－2lnx0，

设F（x）＝f（x）－h（x），则F（x0）＝0．

且F′（x）＝f′（x）－h′（x）＝－x＋－－（－x0＋－）

＝－（x－x0）－（－）＝－（x－x0）（x－）………………10分

当0＜x0＜2时，＞x0，F（x）在（x0,）上单调递增，从而有F（x）＞F（x0）＝0，所以，＞0；

当x0＞2时，＜x0，F（x）在（,x0）上单调递增，从而有F（x）＜F（x0）＝0，所以，＞0．

因此，y＝f（x）在（0，2）和（2，＋∞）上不存在“巧点”．………………13分

当x0＝2时，F′（x）＝－≤0，所以函数F（x）在（0,＋∞）上单调递减．

所以，x＞2时，F（x）＜F

（2）＝0，＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F

（2）＝0，＜0．

因此，点（2，f

（2））为“巧点”，其横坐标为2．………………16分

南京师大附中2017届高三模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

解析：

连接BC，

相交于点

．

因为AB是线段CD的垂直平分线，

所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．　　　　　　　　

………………2分

设

，则

，由射影定理得

CE＝AE·EB，又

，

即有

，解得

（舍）或

　　　　………………8分

所以，AC＝AE·AB＝5×6＝30，

．　　　………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

解析：

由特征值、特征向量定义可知，A

，

即

，得

　　………………5分

同理可得

解得

．

因此ad－bc＝2－6＝－4．………………10分

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解析：

将曲线C1的参数θ消去可得（x－3）2＋（y－4）2＝1．

将曲线C2化为直角坐标方程为x2＋y2＝1．　　　　　　　　　　　　　………………5分

曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，

可求得两圆圆心距为＝5，

所以，AB的最小值为5－1－1＝3．　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分

D．选修4—5：

不等式选讲

证明：

由a，b，c为正数，根据平均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥．

将此三式相加，得2（＋＋）≥＋＋，即＋＋≥＋＋．

………………5分

由abc＝1，则有＝1．

所以，＋＋≥＋＋＝＋＋．　　　　　　　　　………………10分

22．解析：

（1）

；………………3分

（2）

的所有取值为0,1，2，3．………………4分

，

，

．

则随机变量

的分布列为

3

的数学期望

．………………10分

23．解析：

（1）m＝100，共有选法种数为12．………………3分

（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100（n－1），

有an－1种选法；

若不选含有100的卡片，则有10n＋1种选法．

所以，an＝10n＋1＋an－1，………………8分

从而，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋···＋（a2－a1）＋a1

＝10n＋1＋10（n－1）＋1＋···＋10×2＋1＋a1

＝10＋n－1＋a1

　　　　　　＝5n2＋6n＋1

所以，{an}的通项公式是an＝5n2＋6n＋1．………………10分