级高等数学下考卷及答案.docx
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级高等数学下考卷及答案
南昌大学2017～2018学年第二学期期末考试试卷
一、填空题（每空3分，共15分）
1.函数fx,y4yx2的定义域是
ln2x2y2
2.点2,1,1到平面3x4y5z0的距离d.
3.设Fx,y,z0满足隐函数存在定理的条件,
则x.y.z.
yzx
rrr
4.设向量a2,1,2,b3,4,5,则br.
a
1
5.展开成x1的幂级数是.
4x
二、单项选择题（每小题3分,共15分）
1.平面AxByCzD0,若AD0,
则该平面（）。
（A）平行于y轴；（B）垂直于y轴；
（C）垂直于z轴；（D）通过x轴。
2.微分方程y''2yay0的所有通解yx满足
limyx0,则常数a满足（）。
x
（A）a0；（B）a0；
（C）a0；（D）a0
3.设函数zfx,y可微，且对任意的x,y都有：
fx,y0，fx,y0，则使不等式：
fx1,y1fx2,y2成立的一个充分条件是（）
（共3小题，每小题8分，共24分）
1、求微分方程y''2y3yx的通解
222
2、设方程组xyz3x确定y与z是x的函数，
2x3y5z4
求:
dy和dz
dxdx
（共2小题，每小题8分，共16分）
计算xzyz的值。
xy
2、求曲面zarctany在点M01,1,处的x04
切平面方程和法线方程。
五、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）
1、计算exsinymydxexcosymdy,
L
其中有向曲线L是从点Aa,0沿上半圆周
x2y2ax到点O0,0,m为常数。
2、设为半球面x2y2z24z0的外侧，
计算曲面积分Iyzdzdx2dxdy
六、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）
1、在椭圆x24y24上求一点，使其到
直线2x3y60的距离最短。
2、设Qx,y在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
2xydxQx,ydy与路径无关。
并且对任意t恒有
L
t,11,t
2xydxQx,ydy2xydxQx,ydy，
0,00,0
求Qx,y。
七、证明题（6分）
设函数fx在x0的邻域内具有二阶连续导数，
1.
（每小题3分,共15分）
1.平面AxByCzD0,若AD0,
则该平面（
D）。
（A）平行于y轴；
（B）垂直于y轴；
（D）通过x轴。
（C）垂直于z轴；
2.微分方程y''2yay0的所有通解yx满足
limyx0,则常数a满足（A）。
x
（A）a0；（B）a0；
（C）a0；（D）a0
3.设函数zfx,y可微，且对任意的x,y都有：
fx,y0，fx,y0，则使不等式：
xy
fx1,y1fx2,y2成立的一个充分条件是（D）
（A）x1x2,y1y2；（B）x1x2,y1y2；
（C）x1x2,y1y2；（D）x1x2,y1y2
tt
4.设函数fx为连续函数，Ftdyfxdx,
1y
则F2（B）。
（A2f2）；（B）f2；（C）f2；（D）0
5.设有两个数列an，bn，若liman0，则（C）
x
（A）当bn收敛时，anbn收敛;
n1n1
（B）当bn发散时，发散anbn;
n1n1
（C）当bn收敛时，an2bn2收敛;
n1n1
（D）当bn发散时，an2bn2发散
n1n1
（共2小题，每小题8分，共16分）
1、求微分方程y''2y3yx的通解
解:
与所给方程对应的齐次方程为:
y''2y3y0
它的特征方程为：
r22r30
特征根为：
r11,r23于是与所给方程对应的齐次方程的通解为：
YC1exC2e3x
由于0不是特征方程的根，
可设特解为：
yaxb
12
把它代入方程，得:
a,b
39
*12
所以原方程的特解为：
y*x
39
从而，所求方程的通解为：
求:
dy和dzdxdx
解:
方程组两边对x求导得:
（共2小题，每小题8分，共16分）
1、设函数f,g可微，且zfxy,ygx
xy
计算xzyz的值。
xy
zy1
解:
令uxy,vy,则:
yfu2fvg,
xxxy
1x
xfuxfvy2g,代入，得：
zz
xxyy
y11
xyfu2fvgyxfufvxyx
2xyfu
2、求曲面zarctany在点M01,1,处的x04
切平面方程和法线方程。
五、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）
1、计算exsinymydxexcosymdy,
L
其中有向曲线L是从点Aa,0沿上半圆周
x2y2ax到点O0,0,m为常数。
解:
添加x轴上的路径OuuAur，使得LOuuAur成为闭路，
设闭路所围的区域为D，
设Pexsinymy,Qexcosym
QP
m
xy
计算曲面积分Iyzdzdx2dxdy
解:
令1:
z0x2y24，取下侧。
设为与1围成的空间闭区域。
由高斯公式得：
òyzdzdx2dxdyzdxdydz
1
223
0d02d0rsincosdr4
2dxdy
4
yzdzdx2dxdy2dxdy
2
11xy
故:
Iòyzdzdx2dxdyyzdzdx2dxdy
11
4812
六、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）
1、在椭圆x24y24上求一点，使其到
直线2x3y60的距离最短。
解:
椭圆上点x,y到直线2x3y60的距离为：
作拉格朗日函数：
Lx,y,2x3y62x24y24
2、设Qx,y在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
2xydxQx,ydy与路径无关。
并且对任意t恒有
L
t,11,t
2xydxQx,ydy2xydxQx,ydy，
0,00,0
求Qx,y。
QP
解:
令Px,y2xy，则QP2x，xy
故:
Qx,yx2fy，因为:
t,1
1221
2xydxQx,ydy0t2fydyt20fydy
0,0
1,t
2xydxQx,ydy0t1fydy
0,0
故:
t201fydy0t1fydy
上式两边对求导得:
2t1ft,ft2t1
故:
fy2y1
从而:
Qx,yx22y1
七、证明题（6分）
fx
lim0,fx0,
x0x
证明:
因为：
limfx0
x0x
fx
所以:
（其中lim0）
xx0
fxxlimfxlimx0f00
x0x0
fxfxf0
所以:
limlimf00
x0xx0x0
又因为fx0，故fx单调递增，
从而当x0时，fxf00
即：
fx0，故fx单调递增，且limfx0。
x0
从而un
0单调递减且趋于0，
n1
1n1f
1
n
收敛。
xy
3
2.点2,1,1到平面3x4y5z0的距离d32.
2
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