余弦定理证明过程完整版.docx
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余弦定理证明过程完整版
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程
=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin）即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………
①-aos=osa-b……
②由
①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由
②得aos=b-osa，平方得：
a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由
①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:
mb=
m=ma=√^2-a*osb）
=√
由b^2=a^2+^2-2a*osb
得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^
2，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
同理可得：
mb=
m=
4
ma=√^2-a*osb）
=√
由b^2=a^2+^2-2a*osb
得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^
2，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
证毕。
第五篇：
余弦定理的多种证明
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
对于任意三角形三边为a,b,三角为a,b,满足性质
a^2=b^2+^2-2*b**osa
b^2=a^2+^2-2*a**osb
^2=a^2+b^2-2*a*b*os
os=2ab
osb=2a
osa=2b
证明：
如图：
∵a=b-
∴a^2=^2（证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b
再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa
同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。
----------------------------------------------
平面几何证法：
在任意△ab中
做ad⊥b.
∠所对的边为，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=osb*，ad=sinb*，d=b-bd=a-osb*
根据勾股定理可得：
a^2=ad^2+d^2
b^2=^2+^2
b^2=sin^2b*^2+a^2+os^2b*^2-2a*osb
b^2=*^2-2a*osb+a^2
b^2=^2+a^2-2a*osb
osb=2a
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
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附送：
余敏洪励志演讲稿
余敏洪励志演讲稿
第一篇：
俞敏洪励志演讲稿
《俞敏洪励志演讲稿》
1.成长是需要时间的。
你惟一要做到的是，看准了目标以后，充满耐心地，充满了坚韧不拔的精神往前走，这就是我们成长的过程。
我们未来生活最重要的一个能力，叫做忍辱负重的能力，很多社会名流会遇到很多很多你不能忍受的事情，但是你不得不忍受，而不忍受就不可能成功，为什么？
因为你不忍辱负重，你就没有时间，你就没有空间，没有走向未来的空间，如果你想走向未来，最后变得更加强大更加繁荣，你就必须要做好给自己留下足够的时间和空间，轮到我们自己的生命要想为一个伟大目标而奋斗的时候，你排除，也得必须排除你生命中一切琐碎的干扰，因此你就必须忍辱负重！
个人也是一样的，你要想有伟大的大发展，你得为自己争取时间，争取空间，争取未来，而争取时间争取空间争取未来的一个最重要的前提就是，你有理想！
但是你敢于忍受生活中出现的一切对你的不公平，或者是一切对你的你认为受不了的事情！
3.我有一个比喻，每一条河流都有自己不同的生命曲线，长江和黄河的曲线是绝对不一样的，但是每一条河流都有自己的梦想，那就是奔向大海！
所以不管黄河是多么的曲折，绕过了多少障碍，长江拐的弯不如黄河多，但是她冲破了悬崖峭壁，用的方式是不一样的，但是到了最后走到了大海。
当我们遇到困难的时候，不管是冲过去还是绕过去，只要我们能过去就行，我希望大家能使自己的生命向梦想流过去，像长江黄河一样能流到自己梦想的尽头，进入宽阔的海洋，使自己的生命变得开阔，使自己的事业也变得开阔，但是并不是说你想流就能流得过去的，其实这里面就具备一种精神，毫无疑问，这就是水的精神！
我们的生命有的时候会是泥沙，尽管你也跟着水一起往前流，但是由于你个性的缺陷，面对困难的退步或者说胆怯，你可能慢慢地就会像泥沙一样沉淀下去了，一旦你沉淀下去了，也许你不用再为了前进而努力了，但是你却永远见不到阳光了，你沉淀了下去，上面的泥沙会不断地把你压住，最后你会暗无天日，所以我建议大家，不管你现在生命是怎么样的，一定要有水的精神，哪怕被污染了，也能洗净自己，像水一样不断地积蓄自己的力量，不断地冲破障碍，当你发现时机不到的时候，把自己的厚度给积累起来，当有一天时机来临的时候，你就能够奔腾入海，成就自己的生命！
4.大家都知道西方神话中，有一个叫西西弗的故事，由于受到宙斯惩罚，必须从山脚下推一块石头推到山顶，当这块大石头被他推到山顶的时候，这块石头会自动滚落到山脚，他又不得不从头开始推起，所以很烦恼！
大家稍微想一下，我们日常的生活工作是不是就是这样的一个过程，当他推石头，把它当做一种惩罚来对待的时候，他心中会很难受，每天带着怨气怨恨在推石头，就像我们很多人工作的时候，带着怨气和怨恨在工作一样，你工作永远做不好，但是当他后来意识到这一点以后，推过春夏秋冬，推过雷电风霜，当他推到山顶上，看到蓝天更高更美，他觉得推石头也是一种生命的美丽的时候，生命其实就得到了升华。
我们的生命什么叫过得合算，当我们回头看我们已经过去的日子，我们有一些日子能让我们自己感动得泪流满面，那什么叫让你泪流满面的日子，你做出了一些让你自己觉得做不到，但是你做到了的事情。
5.伟大与平凡的不同之处是，一个平凡的人，每天过着琐碎的生活，但是他把琐碎堆砌出来，还是一堆琐碎的生命！
所谓伟大的人，是把一堆琐碎的事情，通过一个伟大的目标，每天积累起来以后，变成一个伟大的事业！
6.人的生活方式有两种，第一种是像草一样活着。
你尽管活着，每年还在成长，但是你毕竟是一颗草；你吸收雨露阳光，但是长不大。
人们可以踩过你，人们不会因为你的痛苦而产生痛苦；人们不会因为你被踩了，而来怜悯你，因为人们本身就没看到你。
所以，我们每一个人都应该像树一样成长。
即使我们现在什么都不是，但是只要你有树的种子，即使被人踩到泥土中间，你依然能够吸收泥土的养分，自己成长起来。
也许两年、三年你长不大，但是十年、八年、二十年，你一定能长成参天大树，当你长成参天大树以后，遥远的地方，人们就能看到你；走近你，你能给人一片绿色、一片阴凉，你能帮助别人。
即使人们离开你以后，回头一看，你依然是地平线上一道美丽的风景线。
树，活着是美丽的风景，死了依然是栋梁之才。
活着死了都有用，这就是我们每一个同学做人的标准和成长的标准。
7.当一个人为别人活着的时候，就非常麻烦。
因为别人的标准是不一样的，没有坚持了自己的追求而想要的东西，你的尊严和自尊是得不到保证的，因为你总是在飘摇中间。
对于我们来说，保持自己尊严和自尊的最好的方法是什么呢？
就是说你有一个梦想，通过从最基本的一个步骤，你就可以开始追求。
比如说最后你想取代我，成为新东方的董事长和总裁，你能不能做到？
只要你有足够的心态和足够做事情的方法，以及胸怀，肯定是能做到的。
8.凡是想要一下子把一件事情干成的人，就算他干成这件事情，他也没有基础，因为等于是在沙滩上造的房子，最后一定会倒塌。
只有慢慢地一步一步把事情干成的，每一步都给自己打下坚实的基础，每一步都给自己一个良好的交代，再重新向未来更高去走每一步的人，他才能够把事情真正地做成功。
9.渡过难关是一种心态，你想要跨过去的话，就必然能跨过去。
10.很多人在工作的时候，带着怨气和怨恨在工作，你的工作就远做不好。
1
1.如何能够把事情做得更成功的几个要点。
第一要点，如何尽可能把自己的长期目标和短期目标结合起来。
我们要先分清楚，哪些事情是我们想一辈子干的事情，哪些事情是一下子干完，我们就可以不用干的事情。
中国有句话叫急事慢做，你越着急的事情，你做的越仔细、越认真，越能把事情做好。
而你越着急的事情，做的越快反而越做的七零八落，我把这个急事也叫做大事。
第二个要素就是要决定自己一辈子干什么。
那么还有一个我觉得非常重要的，就是平时做事情的时候，对时间的计划性。
还有一点，就是成功要自我约束。
任何时候，当你前面面临一个巨大的诱惑，和其它任何可能产生诱惑的时候，如果你觉得自己停不下来，你千万别去追那个东西。
因为你追了那个东西停不下来，最后栽跟头的一定就是你。
1
千万记住一点，做任何事情的时间都是能挤出来的。
1
3.我的核心价值观就是，以善为生，用善良的心态来对待自己的生命和别人的生命。
1
4.有两句话我是比较欣赏的。
生命是一种过程；事业一种结果。
1
5.我们每一个人是活在每一天的，假如说你每一天不高兴，你把所有的每一天都组合起来，就是你一辈子不高兴。
但是假如你每一天都高兴了，其实你一辈子就是幸福快乐的。
有一次我在往黄河边上走的时候，我就用矿泉水瓶灌了一瓶水。
大家知道黄河水特别的浑，后来我就放在路边，大概有一个小时左右。
让我非常吃惊的发现，四分之三已经变成了非常清澈的一瓶水，而只有四分之一呢，是沉淀下来的泥沙。
假如说我们把这瓶水，清水部分比喻我们的幸福和快乐，而把那个浑浊的那个沉淀的泥沙，比喻我们痛苦的话，你就明白了；当你摇晃一下以后，你的生命中整个充满的是浑浊，也就是充满的都是痛苦和烦恼。
但是当你把心
静下来的以后，尽管泥沙总的份量一点都没有减少，但是它沉淀在你的心中，因为你的心比较沉静，所以就再也不会被搅和起来，因此你的生命的四分之
三，就一定是幸福和快乐的。
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6.人的生命道路其实很不平坦，靠你一个人是绝对走不完的，这个世界上只有你跟别人在一起，为了同一个目标一起做事情的时候，才能把这件事情做成。
一个人的力量很有限，但是一群人的力量是无限的。
当五个手指头伸出来的时候，它是五个手指头，但是当你把五个手指头握起来的时候，它是一个拳头。
未来除了是你自己成功，一定要跟别人一起成功，跟别人团结在一起，形成我们，你才能把事情做成功。
渡过难关是一种心态，你想要跨过去的话，就必然能跨过去。
1.我这辈子什么都可以离开，就是不可以离开讲台。
从自卑中间走向自信的人是真正的自信，从一开始就盲目自信的人其实没有自信。
3.只有两种人的成功是必然的。
第一种是经过生活严峻的考验，经过成功与失败的反复交替，最后终于成大器。
另一种没有经过生活的大起大落，但在技术方面达到了顶尖的地步。
比如学化学的人最后成为世界著名的化学家，这也是成功。
4.当你是地平线上一棵草的时候，不要指望别人会在远处看到你，即使他们从你身边走过甚至从你身上踩过，也没有办法，因为你只是一棵草；而如果你变成了一棵树，即使在很远的地方，别人也会看到你，并且欣赏你，因为你是一棵树！
5.女人如果因为觉得一个男生帅就跟嫁给他，这是好色；男生因为女生漂亮而娶她，是审美。
6.为什么你不要自傲和自卑？
7.你可以说自己是最好的，但不能说自己是全校最好的、全北京最好的、全国最好的、全世界最好的，所以你不必自傲；同样，你可以说自己是班级最差的，但你能证明自己是全校最差的吗？
能证明自己是全国最差的吗？
所以不必自卑。
8.年纪大了，人们看重不再是外表，不是你帅不帅，而是看你的内心的魅力：
你的气魄、气概。
9.很多人失去了快乐，是因为他太敏感了。
别人一句话、一个评论就使自己生气一个月。
这时非常无聊的。
严重了就成了马家爵，因为别人不请自己吃饭就郁闷地要***。
10.要每天多努力一些，比别人多努力一个小时。
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1.大学生应该做的事情是：
（1）专业方面，成为中国前100名；
（2）人文方面，读500本书。
（3）英语。
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学英语好比学鸟叫，你在树林里学鸟叫，当有四只鸟落在你肩上时，说明你过了英语四级，当有六只鸟落在你肩上时，说明你过了英语六级，当有许多鸟落在你肩上，说明你成了鸟人。
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3.女人的温柔和男人的成就是成正比的。
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4.（俞敏洪在《赢在中国》的点评语录）
蜗牛的壳是自己加上的。
既靠天，也靠地，还靠自己。
心平气和地接受失败。
做人要大方、大气，不放弃！
世界上没有绝对的公平，公平只在一个点上。
心中平，世界才会平。
学会给别人机会。
名次和荣誉，就像天上的云，不能躺进去，躺进去就跌下来了。
名次和荣誉其实是道美丽的风景，只能欣赏。
只要出于同情心和面子做的事，几乎都会失败。
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5.人生最重要的价值是心灵的幸福，而不是任何身外之物。
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6.艰难困苦是幸福的源泉，安逸享受是苦难的开始。
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7.让我们全心全意地收获生活的每一天，在平凡的日子里感受生命的美好，在耕耘里感受劳动的快乐和收获的期待。
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8.生活中其实没有绝境。
绝境在于你自己的心没有打开。
你把自己的心封闭起来，使它陷于一片黑暗，你的生活怎么可能有光明！
封闭的心，如同没有窗户的房间，你会处在永恒的黑暗中。
但实际上四周只是一层纸，一捅就破，外面则是一片光辉灿烂的天空。
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9.思想是人的翅膀，带着人飞向想去的地方。
20.上帝制造人类的时候就把我们制造成不完美的人，我们一辈子努力的过程就是使自己变得更加完美的过程，我们的一切美德都来自于克服自身缺点的奋斗。
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1.生命，需要我们去努力。
年轻时，我们要努力锻炼自己的能力，掌握知识、掌握技能、掌握必要的社会经验。
机会，需要我们去寻找。
让我们鼓起勇气，运用智慧，把握我们生命的每一分钟，创造出一个更加精彩的人生。
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运气永远不可能持续一辈子，能帮助你持续一辈子的东西只有你个人的能力。
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3.谁说“机会面前，人人平等”，新东方相信，个人奋斗制胜、攫取成功的精神财产将永远贫富不均。
在浩瀚的生命之岸，你应该自豪地告诉世界，你追求过，你奋斗过，你为辉煌的人生从来没有放弃过希望，从来没有停止过拼搏。
而这个造就了万物的世界也将自豪而欣慰地回答你：
只要奋斗不息，人生终将辉煌。
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4.有些人一生没有辉煌，并不是因为他们不能辉煌，而是因为他们的头脑中没有闪过辉煌的念头，或者不知道应该如何辉煌。
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5.在我们的生活中最让人感动的日子总是那些一心一意为了一个目标而努力奋斗的日子，哪怕是为了一个卑微的目标而奋斗也是值得我们骄傲的，因为无数卑微的目标积累起来可能就是一个伟大的成就。
金字塔也是由每一块石头累积而成的，每一块石头都是很简单的，而金字塔却是宏伟而永恒的。
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6.新东方“在绝望中寻找希望”这句话，跟美国著名的民权运动家martinlutherking所说的话是一模一样的，他在ihaveadream演讲词中说过：
”eillheoutofthemountainofdespairastoneofhope.”（我们从绝望的大山中砍出一块希望的石头。
）请记住，绝望是大山，但是只要你能砍出一块希望的石头，你就有了希望。
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7.哪怕是最没有希望的事情，只要有一个勇敢者去坚持做，到最后就会拥有希望。
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8.所有的人都是凡人，但所有的人都不甘于平庸。
我知道很多人是在绝望中来到了新东方，但你们一定要相信自己，只要艰苦努力，奋发进取，在绝望中也能寻找到希望，平凡的人生终将会发出耀眼的光芒……
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9.光有奋斗精神是不够的，还需要脚踏实地一步一步地去做。
要先分析自己的现状，分析自己现在处于什么位置，到底具备什么样的能力，这也是一种科学精神。
你给自己定了目标，你还要知道怎么样去一步一步地实现这个目标。
从某种意义上说，树立具体目标和脚踏实地地去做同等重要。
30.人生的奋斗目标不要太大，认准了一件事情，投入兴趣与热情坚持去做，你就会成功。
成功没有尽头，生活没有尽头，生活中的艰难困苦对我们的考验没有尽头，在艰苦奋斗后我们所得到的收获和喜悦也没有尽头。
当你完全懂得了”成功永远没有尽头”这句话的含义时，生活之美也就向你展开了她迷人的笑容。
第二篇：
俞敏洪励志演讲稿
好范文俞敏洪的励志演讲稿，请欣赏
每个人都渴望生命能够像海水一样没有障碍地奔腾流动，和蓝天相接；每个人都渴望生命像风一样从天空自由自在地飘过，除了带走白云，没有一丝牵挂。
没有人希望自己的生命受到束缚，就像没有任何动物愿意被关在笼子里一样。
人的一生都是为了挣脱某种束缚而努力的过程，这一过程使生命变得丰富多彩，充满机遇，咀嚼失败，品味成功。
人一旦有了自觉意识之后的第一件事情就是和束缚抗争。
从
十一、二岁开始，青少年一般都会有几年很强烈的反叛期，这一时期的青少年，常常不管父母或老师说得对不对都和他们对着干。
这一现象正是生命想要挣脱束缚的具体表现。
可以说青少年对于父母的第一次抗争，就拉开了一辈子和各种各样的束缚进行斗争的序幕。
动物通过角斗来宣示自己的力量，确定自己在群体中的地位；人类通过智慧和耐心来证明自己的能力，最终摆脱社会的束缚进入自由状态，尽管这一自由状态有可能只是一种虚幻，但争取进入这一状态的奋斗过程正好赋予了生命很丰富的意义。
一个人与其说是为了理想而努力，还不如说是为了摆脱某种束缚而努力。
如果我们出生在贫苦家庭，我们可能所有的努力只有一个目的，就是为了摆脱贫困。
因为贫困给我们带来了太多的束缚，在贫困中生命得不到张扬，也得不到尊重。
所以在贫困中的人常常更加能够自强不息，因为他的背后有足够的动力：
想要像城里人一样过上好日子（尽管城里人日子不一定好过），想要像城里人一样吃得更多，走得更远。
这些最朴素的理想恰恰变成了最有持久力的拼命。
当人们脱离贫困之后，马上就会为了争取自己的社会地位而努力，因为社会地位的高低直接和一个人的尊严有关。
一个人如果社会地位低下，就像一群狼中的尾狼一样，永远只能吃最后一口肉，永远得不到最好的机会，甚至得不到母狼的青睐。
社会地位低下这一可悲的状态足以鼓动任何男人和女人用尽一切力量和办法来摆脱卑微。
社会地位的低下是一种非常现实的痛苦，当那些来自社会底层的大学生看到有家庭背景的同学总有人前呼后拥，被女孩子前堵后追的时候，不管有多大的心肺都会胸口发闷。
在这种感觉下，懂得社会地位不可一蹴而就的人会用持续耐心的努力来争取社会地位的改善（有时候这是一辈子的努力），而没有耐心的人就会采取危险行动，通过逢迎拍马、坑蒙拐骗来达到目的。
面对社会地位，有虚荣心和贪婪心的人尤其危险，虚荣的人容易为了面子而断送幸福，而贪婪的人极有可能为了地位而断送生命，因为地位和金钱一样，没有任何满意的衡量标准，只能用内心去感受，一个面对地位和权力的诱惑不知道适可而止的人，极容易进入危险之地。
但不管怎样，大多数人一辈子的奋斗过程，就是为了提高自身社会地位的过程。
当有了一定的社会地位之后，人们就开始要求精神的解放、心灵的自由，希望摆脱社会对于自己心灵和精神的限制，这是更高层面的生命抗争（当然有些伟人可以跃过贫困和社会地位的障碍直接进入追求精神解放的境界）。
人生而平等这句话表达的不仅仅是一个社会地位问题，也是一个精神自由问题，民主诉求的实质是摆脱思想束缚，获得精神平等。
当我们发现现实世界的很多束缚不可挣脱时，我们希望自己的心灵得到解放，而这一挣脱心灵中各种束缚的过程正是伟大文学和哲学思想产生的过程。
人们进行文学和哲学思考的主要目的就是为了解放自己的情感，同时获得通向幸福和自由的路径。
如果说一般人的生命奋斗过程就足以令人感动，那另外一种人的成功更加震撼人心，那就是摆脱了身体残疾的束缚而创造出奇迹的人，因为他们常常做到了连正常人都做不到的事情。
海伦凯勒从小失聪失明，但最后写出了令人颤抖的美丽文字；贝多芬在失聪之后谱写了第九交响曲，霍金坐在轮椅上通过手指的动作写出了《时间简史》，司马迁在遭受宫刑之后完成了《史记》；这些人的伟大成就没有一个不是在摆脱了身体残疾的束缚之后，放飞了自己强大的精神力量。
还有在中国那些聋哑女孩跳出的千手观音，每一个动作都牵动着人们对于美丽的神经。
我曾经碰上一个叫左力的浙江学生，从小耳朵就完全听不见了，到今天为止这个世界对他来说依然是一片寂静，但他却通过自己的努力一直读到了大学，而且一直都是好学生，他能够通过阅读老师的嘴唇知道老师在讲什么，他写出来的文字流畅通顺，思想丰富；现在他还准备到国外最好的大学去读书，从唇读中文转向唇读英文。
我们拥有美好听力的人都没有把英文听懂学好，面对左力这样的学生，我们除了努力，还有什么好抱怨的呢？
我把左力这样的人称作是带着束缚跳出了最美丽舞蹈的人。
其实人的一辈子都有某些东西束缚着我们，不管是贫困生活还是社会地位，不管是传统习俗还是法律条文。
生命的抗争就是在束缚中跳出美丽舞蹈的过程。
没有束缚的生命反而显得轻浮而没有分量，生命的束缚和挣脱束缚的努力，使我们生命变得厚重而美丽。
我在学习单板滑雪时对于这一点体会尤其深刻，单板滑雪必须把两个脚牢牢地固定在板上，因此在光滑的雪地上你只要站起来就会摔下去，在你和滑雪板进行抗争的过程中，你会摔得鼻青眼肿，但只要坚持下去，你会慢慢发现，单板好像慢慢融化成了你身体的一部分，已经在你脚下运用自如；借助单板，你已经可以翻滚腾挪，飞驰向前，为生命留下一连串的潇洒和美丽。
第三篇：
俞敏洪励志演讲稿
俞敏洪励志演讲稿201X-05-1415：
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