同坡屋面计算.docx
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同坡屋面计算
【例4-14】已知三棱柱与三棱锥相交，求它们的表面交线。
如图4-32（a）所示。
（a）已知条件 （b）作图
图4-32求三棱柱与三棱锥相贯线
作图
（1）求贯穿点。
利用三棱柱在H面上的积聚投影直接求得三棱锥三条侧棱SC、SA、SB与棱柱左右侧面交点的H投影1、2、3、4、5、6，据此再作出V投影1′、2′、3′、4′、5′、6′。
（2）连贯穿点。
根据“位于甲形体同一侧面同时又位于乙形体同一侧面两点才能相连”的原则，在V投影上分别连成1′-3′-5′和2′-4′-6′两条相贯线。
（3）判断可见性。
根据“同时位于两形体都可见的侧面上的交线才可见”的原则来判断，在V投影上，三棱柱左、右两侧面均可见三棱锥SAB、SBC面也均可见，所以交线1′-5′、3′-5′和2′-6′、4′-6′可见，而1′-3′、2′-4′不可见。
【例4-15】求烟囱与屋面的相贯线。
如图4-33所示。
（a）已知条件 （b）作图之一 （c）作法之二
图4-33烟筒与屋面相贯线的作法
作图：
在侧面投影中直接标注出1″（2″）、3″（4″）,根据投影特性即可求出1′、2′、3′、4′，如图4-33（b）。
4.5.1同坡屋面
同坡屋面：
如果同一屋面上各个坡面与水平面的倾角α相等，称为同坡屋面。
（a）立体图 （b）投影图
图4-34同坡屋面
同坡屋面有如下特点：
1．坡屋面如前后檐口线平行且等高时，前后坡面必相交成水平的屋脊线，屋脊线的H投影，必平行于檐口线的H投影，且与檐口线等距。
2．檐口线相交的相邻两个坡面，必相交于倾斜的斜脊线或天沟线。
3．在屋面上如果有两斜脊、两天沟、或一斜脊一天沟相交于一点，则必有第三条屋脊线通过该点。
作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得V面投影以及W面投影。
【例4-16】已知屋面倾角α和屋面的平面形状，如（a）所示，
求屋面的V、W 投影和屋面交线。
作图：
（1）在屋面平面图形上经每一屋角作45o分角线。
在凸墙角上作的是斜脊，在凹角上作的是天沟，其中两对斜脊分别交于点a和点f，见图4-35b。
（2）作每一对檐口线（前后和左右）的中线，即屋脊线。
通过点a的屋脊线与墙角2的天沟线相交于b，过点f的屋脊线与墙角3的斜脊线相交于e。
对应于左右檐口（23和67）的屋脊线与墙角6天沟线和墙角7的斜脊线分别相交于点d和点c（图4-36c）。
（3）连bc和de，折线a-b-c-d-e-f即所求屋脊线。
a-1、a-8、c-7、e-3、f-4、f-5、b-c、d-e为斜脊线，b-2、d-6为天沟线。
（4）根据屋面倾角α和投影规律，做出屋面V、W的投影，见d。
平面立体与曲面立体的相贯
平面体与曲面体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。
如图4-36所示是建筑上常见构件柱、梁、板连接的直观图。
图4-36方梁与圆柱相贯的直观图
【例4-17】求方梁与圆柱的相贯线。
如图4-37（a）所示。
（a）已知条件 （b）投影作图
图4-37方梁与圆柱相贯的投影图
具体作图步骤见图4-37（b）。
（1）首先根据H、W积聚投影，直接标注出相贯线上折点的水平投影1、2、3、4、5、6、7、8和侧面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″、8″。
（2）利用点的投影规律求出相贯线的正面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。
【例4-18】如（a）所示，
给出圆锥薄壳的主要轮廓线，求作相贯线。
作图
（1）求特殊点。
先求相贯线的转折点，即四条双曲线的联结点A、B、M、G。
可根据已知的四个点的H投影，用素线法求出其它投影。
再求前面和左面双曲线最高点C、D；
（2）同样用素线法求出两对称的一般点E、F的V投影e′、f′和一般点Ⅰ、Ⅱ的W投影1″、2″；
（3）连点。
V投影连接a′-e′-c′-f′-b′，W投影连接a″-1″-d″-2″-g″；
（4）判别可见性。
相贯线的V、W投影都可见。
相贯线的后面和右面部分的投影，与前面和左面部分重影。
两曲面立体的相贯
两曲面体相贯，其相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为封闭的平面曲线，如图4-39所示。
（a）相贯线为封闭的空间曲线 （b）相贯线为封闭的平面曲线
图4-39两曲面体相贯
两曲面立体的相贯线，是两曲面立体的共有线，可以通过求一些共有点后连线而成。
求相贯线的作图步骤：
（1）分析:
分析两立体之间以及它们与投影面的相对位置,确定相贯线形状。
（2）求点:
求点方法主要有两种。
①利用立体表面的积聚性直接求解。
②利用辅助平面法求解。
（3）连线:
依次光滑连接各共有点，并判别相贯线的可见性。
4.7.1利用积聚性求相贯线
【例4-19】如图4-40所示，已知两拱形屋面相交，求它们的交线。
（a）已知条件 （b）直观图 （c）投影作图
图4-39求两拱形屋面相贯线
作图
（1）求特殊点。
最高点A是小圆柱最高素线与大拱的交点。
最低、最前点B、C（也是最左、最右点），是小圆柱最左、最右素线与大拱最前素线的交点。
他们的三投影均可直接求得。
（2）求一般点E、F。
再相贯线V投影的半圆周上任取点e′和f′。
e″（f″）必在大拱的积聚投影上。
据此求得e、f。
（3）连点并判别可见性。
在H投影上，依次连接b-e-a-f-c，即为所求。
由于两拱形屋面的投影均为可见，所以相贯线的H投影为可见，画为实线。
【例4-20】如所示，
求作两轴线正交的圆柱体的相贯线。
作图
1．求特殊点
正面投影中两圆柱投影轮廓相交处的1′、2′两点分别是相贯线上的最高、最低点（同时也是最左点），它们的水平投影落在大圆柱最左边素线的水平投影上，1和
（2）重影。
Ⅲ、Ⅳ两点分别位于小圆柱的两条水平投影轮廓线上，它们是相贯线上的最前点和最后点，也是相贯线上最右位置的点。
可先在小圆柱和大圆柱水平投影轮廓的交点处标出3和4，然后再在正面投影中找到3′和（4′）（前、后重影）。
2．求一般点
先在小圆柱侧面投影（圆）上的几个特殊点之间，选择适当的位置取几个一般点的投影，如：
5″、6″、7″、8″等，再按投影关系找出各点的水平投影5、（6）、（7）、8，最后作出它们的正面投影5′、6′、（7′）、（8′）。
3．连点并判别可见性
在连接各点成相贯线时，应沿着相贯线所在的某一曲面上相邻排列的素线（或纬圆）顺次圆滑连接。
4.7.2利用辅助面求相贯线
【例4-21】如所示，
求圆柱与圆锥的相贯线。
作图
（1）利用积聚性求出相贯线的最高点3′、3″和最低点4′、4″，根据点的投影规律求出3和4；
（2）利用辅助面求出相贯线的最左、最右点，其V投影1′、2′直接标出。
过圆柱做水平辅助面R与圆锥的交线是水平纬线圆，其H投影与圆柱面的前后两条轮廓线投影的交点就是最左点和最右点的H投影1、2。
由1′、1和2′、2求1″、2″。
（3）作辅助面P、Q，求一般点A、B和C、D。
作水平辅助面PV、QV，求出PV平面与圆柱面交线的H投影（矩形），以及PV平面与圆锥面交线的H投影（圆），两H投影的交点a、b即求出。
由a、b求出a′、b′和a″、b″。
同理利用QV平面求出c、d和c′、d′和c″、d″。
（4）连点并判断可见性。
由于形体左右对称，故W投影中3″-a″-1″-c″-4″与3″-b″-2″-d″-4″重叠，左边可见，右边不可见。
H投影中1-a-3-b-2可见,1-c-4-d-2不可见。
4.7.3两曲面体相贯的特殊情况
在一般情况下，两曲面体的交线为空间曲线，但在下列情况下，可能是平面曲线或直线。
（1）当两曲面体相贯且同轴时，相贯线为垂直于该轴的圆，见图4-45所示。
（2）当两曲面体相贯具有公共的内切球时，其相贯线为椭圆，见所示。
图4-45两共轴相交回转体的相贯线
实际工程中常见的曲面相交情况。
图4-47圆柱面组成的屋顶交线
图4-48导管连接
本讲小结
1．两个平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、曲面立体与曲面立体相交时，产生的相贯线的作图方法。
2．求相关线的步骤：
首先应对题目进行空间分析和投影分析，求出相贯线上的特殊点和一般点，圆滑连接各点并判断可见性。
第八讲第五章组合体的投影
本讲的学习目标：
掌握画组合体三面投影图的方法和步骤，了解组合体尺寸标注的基本方法和要求，.掌握阅读组合体三面投影图的基本方法。
学习重点：
用形体分析法阅读和绘制组合体三面投影图
组合体多面正投影图的画法
图5-1某高层建筑
组合体是由若干个基本几何体组合而成。
常见的基本几何体是棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
表达组合体一般情况下是画三投影图。
所谓三投影图是指在三面投影体系中，V面投影通称正面投影图，H面投影通称水平投影图，W面投影通称侧面投影图，合称“三投影图”。
5.1.1形体分析
形体分析法
形体分析法：
对组合体中基本形体的组合方式、表面连接关系及相互位置等进行分析，弄清各部分的形状特征，这种分析过程称为形体分析。
如图5-2所示为房屋的简化模型。
（a）形体分析 （b）房屋轴侧图 （c）三面投影图
图5-1房屋的形体分析及三面投影图
5.1.1.2组合体的组合方式
组合体的组合方式可以是叠加、相贯、相切、切割等多种形式。
（1）叠加式：
把组合体看成由若干个基本形体叠加而成，如（a）所示。
（2）切割式：
组合体是由一个大的基本形体经过若干次切割而成，如（b）所示。
（3）混合式：
把组合体看成既有叠加又有切割所组成，如（c）所示。
组合体的表面连接关系：
所谓连接关系，就是指基本形体组合成组合体时，各基本形体表面间真实的相互关系。
组合体的表面连接关系主要有：
两表面相互平齐、相切、相交和不平齐，如所示。
组合体是由基本形体组合而成的，所以基本形体之间除表面连接关系以外，还有相互之间的位置关系。
图5-5所示为叠加式组合体组合过程中的几种位置关系。
图5-5基本形体的几种位置关系
5.1.2组合体投影图的画法
形体分析
投影图的确定
（1）确定形体的放置位置和正面投影方向
（2）确定投影图数量
画组合体三面投影图的步骤
（1）进行形体分析。
（2）进行投影分析，确定投影方案。
（3）根据物体的大小和复杂程度，确定图样的比例和图纸的幅面，
并用中心线、对称线或基线，定出各投影在图纸上的位置。
（4）逐个画出各组成部分的投影。
（5）检查所画的投影图是否正确。
（6）按规定线型加深。
【例5-1】画出图5-6（a）所示挡土墙的三面投影图。
（a）已知条件 （b）形体分解
图5-6挡土墙的立体图
（a）画底板投影 （b）画立墙投影
（c）画支板投影 （d）加深图线
图5-7挡土墙的三面投影图的画法
作图:
（1）逐个画出三部分的三面投影（见图5-7（a）、（b）、（c））。
（2）检查投影图是否正确。
（3）加深。
因该投影图均为可见轮廓线，应全部用粗实线加深（见图5-7（d））。
【例5-2】画出图5-8（a）所示组合体的三面投影图。
（a）已知条件 （b）形体分解
图5-8组合体的立体图
（a）画长方体的投影 （b）画切割掉的形体Ⅰ的投影 （c）画切割掉的半圆柱体Ⅱ的投影
（d）画切割掉的形体Ⅲ的投影 （e）检查无误加深图线
图5-9组合体的投影图
组合体的尺寸标注
5.2.1尺寸的种类
（1）定形尺寸：
用于确定组合体中各基本体自身大小的尺寸。
（2）定位尺寸：
用于确定组合体中各基本形体之间相互位置的尺寸。
（3）总体尺寸：
确定组合体总长、总宽、总高的外包尺寸。
在组合体尺寸的标注中应做到：
（1）组合体尺寸标注前需进行形体分析，弄清反映在投影图上的有哪些基本形体，然后注意这些基本形体的尺寸标注要求，做到简洁合理。
（2）各基本形体之间的定位尺寸一定要先选好定位基准，再行标注，做到心中有数不遗漏。
（3）由于组合体形状变化多，定形、定位和总体尺寸有时可以相互兼代。
（4）组合体各项尺寸一般只标注一次。
5.2.2尺寸配置
组合体尺寸标注中应注意的问题
（1）尺寸一般应布置在图形外，以免影响图形清晰。
（2）尺寸排列要注意大尺寸在外、小尺寸在内，并在不出现尺寸重复的前提下，使尺寸构成封闭的尺寸链。
（3）反映某一形体的尺寸，最好集中标在反映这一基本形体特征轮廓的投影图上。
（4）两投影图相关的尺寸，应尽量注在两图之间，以便对照识读。
（5）尽量不在虚线图形上标注尺寸。
组合体多面正投影图的阅读
5.3.1读图的要点
1.联系各个投影想象
图5-10将已知投影图联系起来看
2.注意找出特征投影
（a）长方体 （b）三棱柱体 （c）1/4圆柱体 （d）圆柱体
图5-11H面投影均为特征投影
3.明确投影图中直线和线框的意义
（1）投影图中直线的意义
（a）三棱锥体 （b）圆锥体 （c）圆筒体 （d）带有槽口的长方体
图5-12投影图中线和线框的意义
由上述可知，投影图中的一条直线，一般有三种意义：
①可表示形体上一条棱线的投影；
②可表示形体上一个面的积聚投影；
③可表示曲面体上一条轮廓素线的投影。
（2）投影图中线框的意义
（a）三棱锥体 （b）圆锥体 （c）圆筒体 （d）带有槽口的长方体
图5-12投影图中线和线框的意义
由上述可知，投影图中的一个线框，一般也有三种意义：
①可表示形体上一个平面的投影；
②可表示形体上一个曲面的投影；
③可表示形体上孔、洞、槽或叠加体的投影。
对于孔、洞、槽，其他投影上必对应有虚线的投影。
5.3.2读图方法
读图的基本方法，可概括为形体分析法、线面分析法和画轴测图等方法。
1.形体分析法
形体分析法就是在组合体投影图上分析其组合方式、组合体中各基本体的投影特性、表面连接以及相互位置关系，然后综合起来想象组合体空间形状的分析方法。
（a）三面投影图 （b）轴测图
图5-13形体分析法
2.线面分析法
它是由直线、平面的投影特性，分析投影图中某条线或某个线框的空间意义，从而想象其空间形状，最后联想出组合体整体形状的分析方法。
（a）三面投影图 （b）线面分析想整体
图5-14线面分析法
3.画轴测图法
就是利用画出正投影图的轴测图，来想象和确定组合体的空间形状的方法。
实践证明，此法是初学者容易掌握的辅助识图方法，同时它也是一种常用的图示形式。
5.3.3读图与画图的结合----补全第三投影
读图步骤：
（1）认识投影抓特征
（2）形体分析对投影
（3）综合起来想整体
（4）线面分析攻难点
【例5-3】补绘图5-15（a）中H投影所缺少的图线。
（a）已知条件 （b）轴测图 （c）补绘投影图
图5-15补绘H面投影所缺的图线读图与画图的结合----补全第三投影
读图步骤：
（1）认识投影抓特征
（2）形体分析对投影
（3）综合起来想整体
（4）线面分析攻难点
【例5-3】补绘图5-15（a）中H投影所缺少的图线。
（a）已知条件 （b）轴测图 （c）补绘投影图
图5-15补绘H面投影所缺的图线
【例5-4】如图5-16（a）所示，已知形体的正面投影和侧面投影，求水平投影。
（a）已知条件 （b）轴测图
（c）补绘投影图
图5-16补绘H面投影
本讲小结
1.组合体三面投影图的画法；
（1）形体分析法
（2）线面分析法
2.组合体的尺寸标注：
定形尺寸、定位尺寸、总尺寸。
3.组合体三面投影图的阅读方法：
（1）形体分析法
（2）线面分析法
（3）轴测图法
第九讲第六章轴测投影图
本讲的学习目标是：
了解轴测投影的基本知识，掌握正等侧、斜轴测投影图的画法。
学习的重点是：
正等测、斜轴测投影图的画法
轴测投影的基本知识
6.1.1轴测投影图的形成
如图6-1所示，在作形体投影图时如果选取适当的投影方向将物体连同确定物体长、宽、高三个尺度的直角坐标轴，用平行投影的方法一起投影到一个投影面（轴测投影面）上所得到的投影，称为轴测投影。
应用轴测投影的方法绘制的投影图叫做轴测图。
（a）正轴测投影图的形成 （b）斜轴测投影图的形成
图6-1轴测投影图的形成
6.1.2轴间角和轴向伸缩系数
如图6-1所示。
当物体连同坐标轴一起投射到轴测投影面（P或Q）上时，坐标轴OX、OY、OZ的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测投影轴。
轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠X1O1Z1称为轴间角。
轴测轴上某线段长度与它的实长之比，称为轴向伸缩系数。
=p，称X轴向伸缩系数；
=q，称Y轴向伸缩系数；
=r，称Z轴向伸缩系数。
6.1.3轴测投影的分类
根据投射线和轴测投影面相对位置的不同，轴测投影可分为两种：
（1）正轴测投影投射线S垂直于轴测投影面P（如图6-1（a）所示）。
（2）斜轴测投影投射线S倾斜于轴测投影面Q（如图6-1（b）所示）。
根据轴向变形系数的不同，轴测投影又可分为三种：
（1）正（或斜）等轴测投影 p=q=r；
（2）正（或斜）二等轴测投影 p＝q≠r或p＝r≠q或p≠q＝r；
（3）正（或斜）三测投影 p≠q≠r。
轴测投影的性质
轴测投影是在单一投影面上获得的平行投影，所以，它具有平行投影的特性。
（1）空间平行的线段，其轴测投影仍相互平行。
因此，形体上平行于某坐标轴的线段，其轴测投影也平行于相应的轴测轴。
（2）空间平行二线段长度之比，等于相应得轴测投影长度之比。
因此，平行于坐标轴的线段的轴测投影与线段实长之比，等于相应的轴向伸缩系数。
正等轴测图
6.2.1轴间角和轴向伸缩系数
正等轴测图（简称正等测），即它们的轴向伸缩系数p=q=r。
而当p=q=r时，三坐标轴与轴测投影面夹角相等。
如图6-2所示，p=q=r=,∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠X1O1Z1=120°
图6-2正等轴测投影图的轴间角和轴向伸缩系数
图6-3正等轴测投影的轴测轴的画法
6.2.2平面立体正等轴测图的画法
坐标法
坐标法是根据物体表面上各点的坐标，画出各点的轴测图，然后依次连接各点，即得该物体的轴测图。
【例6-1】用坐标法作长方体的正等测图，如图6-4所示。
（a）已知条件和标注坐标 （b）画出长方体底面的轴测图
（c）立长方体的高度 （d）连接各点加深图线
图6-4用坐标法画长方体正等测图
【例6-2】作四棱台的正等测图。
（a）已知条件和标注坐标 （b）画出四棱台底面的轴测图
（c）画出四棱台顶面的轴测图 （d）连接各点加深图线
图6-5用坐标法画四棱台的正等测图
6.2.2.2端面延伸法
【例6-3】画出图6-6（a）所示的棱柱体正等轴测图。
（a）已知条件和标注坐标 （b）画轴测轴
（c）画出棱柱端面及棱线的轴测图 （d）连接各点加深图线
图6-6用端面延伸法画棱柱体的正等测图
6.2.2.3切割法
【例6-4】画出图6-7（a）所示形体的正等轴测图。
（a）已知条件 （b）画轴测轴和长方体的轴测图
（c）画出切割形体的轴测图 （d）连接各点加深图线
图6-6用切割法画形体的正等测图
6.2.2.4叠加法
【例6-5】画出图6-7（a）所示形体的正等轴测图。
（a）已知条件
（b）画正等轴测轴 （c）画底板
（d）叠加画长方体和三棱柱体 （e）加深加粗图线
图6-7用叠加法画形体的正等测图
6.2.3曲面立体正等轴测图的画法
圆和圆角的正等轴测投影图的画法
1.圆的正等轴测投影图的画法
当曲面体上圆平行于坐标面时，作正等测图，通常采用近似的作图方法——“四心法”，如图6-8所示。
（a）画圆外切正方形 （b）作外切正方形的正等轴测图
（c）作大圆弧B1C1和A1D
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