《工程系统建模》实验报告.docx

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《工程系统建模》实验报告

《工程系统建模与仿真》实验报告

姓

名

XXXXXXX

学

号

XXXXXXX

班

级

XXXXXXX

专

业

XXXXXXX

报告提交日期

XXXXXXX

实验一扭摆法测定物体的转动惯量

实验名称

扭摆法测定物体的转动惯量

同组成员

学号

姓名

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

三、实验器材

1）转动惯量测试仪

2）数字式电子台秤

3）游标卡尺

4）扭摆及几种有规则的待测转动惯量的物体：

金属载物圆盘、塑料圆柱体、木球、验证转动惯量平行轴定理用的金属细杆，杆上有两块可以自由移

动的金属滑块。

四、实验原理

由于摆

2,用垂直轴与支座间装有轴承，

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

本实验使物体作扭转摆动，动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

扭摆的构造如图1-1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧以产生恢复力矩。

在轴的上方可以装上各种待测物体以降低摩擦力矩。

3为水平仪，用来调整系统平衡。

将物体在水平面内转过一定角度9

后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就

开始绕垂直轴作周期往返扭转运动。

根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度9成正比，即：

M=-K9⑴

上式中，K为弹簧的扭转常数。

由转动定律M=I卩得：

萨M/I⑵令J2=K/I，忽略轴承的摩擦阻力矩，由式⑴、⑵得：

d2K2

dt2I

上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。

此方程的解为：

9=Acos（3+?

）。

式中，A为谐振动的角振幅，©为初相位角，①为角速度，此谐振动的周期

为:

T-2J⑶

由式（3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和K中任何一

个量已知时即可计算出另一个量。

本实验首先用一个规则几何形状的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的扭转常数K值。

若要

测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。

五、实验过程

1用游标卡尺测出实心塑料圆柱体的外径Di、空心金属圆筒的内径和外径D内、D外、木球直径D直、金属细杆长度L;用数字式电子秤测出各物体质量m；每个被测元件的被测量均测量3次，并求平均值。

2•调节扭摆基座至水平位置：

调整扭摆基座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。

3•在转轴上装上对此轴的转动惯量为Io的金属载物圆盘，并调整光电探头的位置使载物圆盘上的挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔，并能自由往返的通过光电门。

测量10个摆动周期所需要的时间1OTo。

4•将转动惯量为Ii的塑料圆柱体放在金属载物圆盘上，贝U总的转动惯量为

Io+Ii;其中Ii的理论值可由塑料圆柱体的质量mi和外径Di算出，即Ii-mDi2。

8测量iO个摆动周期所需要的时间iOTi0

由式（3）可得出：

匹或上=T^=

Ti真IiTt-2To2

I

则弹簧的扭转常数为：

K42/2（4）

T-2T02

在SI制中K的单位为kgm2s-2（或N・m）。

5•取下塑料圆柱体，装上金属圆筒，测量10个摆动周期需要的时间1OT2。

6.取下金属载物圆盘、装上木球，测量10个摆动周期需要的时间10T3。

（在计算木球的转动惯量时，应扣除夹具的转动惯量I支座）。

7•记录实验数据并填入表1-1o

六、实验结果及分析

1.塑料圆柱体的转动惯量理论值为：

-*0.714*100.01*10

8

42

8.9268*10Kgm

表1-1实验数据记录和数据处理

物体名称

质量（kg）

几何尺寸D/L

（10%）

周期

T（s）

转动惯量理论值

I（10-4kgm2）

转动惯量实验值

I（104kgm2）

百分差

EI1L

100%

金属载物圆盘

0.291

10T0

6.770

IIT02

0T12T02

6.778

6.775

T0

0.677

塑料圆柱体

m1

0.714

D1

100.00

10「

11.32

I.1mD了

_2

KT1

11i0

1.5701%

0.714

99.99

11.31

0.714

100.03

11.32

8

11210

4

m1

0.714

D1

100.01

亍1

1.132

金属圆筒

巴

0.654

D外

100.02

10T2

13.72

122

'28mD外D内

—2

I空I

1242Io

1.1688%

99.98

0.654

100.01

13.72

D外

100.00

0.654

D内

94.04

13.71

93.98

m2

0.654

94.01

T2

1.372

D内

94.01

木球

m3

0.953

D直

120

10T3

11.59

12

I3^mD直

13菲T2

4

1支座

4.93%

0.953

120

11.62

0.953

120

11.60

m3

0.953

D直

120

T；

1.160

8.9268*10

4.28*102Nm

3.金属载物盘的转动惯量:

222

KT04.28*10*0.667

42424.8232*104Kgm2

4.塑料圆柱的转动惯量

塑料圆柱的转动惯量测量值为:

9.0692*104Kgm2

塑料圆柱的转动惯量理论值与测量值的相对误差:

hI18.92689.0692

E1

—「100%100%

I19.0692

1.5701%

由于E1<5%，在误差允许范围内，因此，关于塑料圆柱的转动惯量的测量实验有效。

5.金属圆筒的转动惯量金属圆筒的转动惯量测量值为：

4.8232*10

IKT22|4.28*102*1.3722

122102

44

3

1.558*10Kgm

金属圆筒的转动惯量理论值为：

'122122

12-m2D外D内—*0.654*10094.01*10

8外内8

32

1.540*10Kgm

金属圆筒的转动惯量理论值与测量值的相对误差:

由于E2<5%，在误差允许范围内，因此，关于金属圆筒的转动惯量的测量实验有效。

6.木球的转动惯量

木球支座的转动惯量实验值为：

42

0.187*10Kgm

木球的转动惯量测量值为:

32

1.440*10Kgm

木球的转动惯量理论值为:

'1212

|3maD直*0.953*1202*10

10直10

1.3723*103Kgm2

木球的转动惯量理论值与测量值的相对误差:

IaIa1.37231.4401

E3—'—100%100%

I31.3723

4.93%

由于E3<5%，在误差允许范围内，因此，关于木球的转动惯量的测量实验有效。

误差分析：

本实验中质量、内外径的测量均存在测量误差，同时TH-I型智能转动惯量实验仪本身也存在计数误差。

此外计算过程中也存在计算误差。

尽管存在以上各种误差，计算结果与理论结果的相对误差均小于5%,因此

本实验的结果可靠。

思考题部分：

1•实验中，为什么在称木球和细杆的质量时必须分别将支座和安装夹具取下？

由于本实验的目的是测量木球或细杆的转动惯量，根据转动惯量的定义及公式，转动惯量与被测物体的质量有关；而支座与安装夹具在过程中必须要使用，此时测得的转动惯量是被测物体的转动惯量与支座/安装夹具的转动惯量之和。

因此，在称木球和细杆的质量时必须分别将支座和安装夹具取下。

2•转动惯量实验仪器计时精度为0.001s，实验中为什么要测量10T?

由于本实验测得的周期较小，而实验仪器计时精度为0.001s,如果仅测量一个周期的时间，那么测量值与理论值得相对误差较大，会使得实验精度降低，甚至有可能致使实验结果无效。

3.如何用本实验仪器来测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量？

可采用直径更大的载物圆盘来替换本实验中的金属载物圆盘。

将被测物体放

置在圆盘上距离圆盘中心距离为a的位置。

采用与本实验相同的实验步骤来进行实验，实验中需要测量距离a。

在计算理论值与实验值的相对误差时，需计入距离a的影响。

通过以上方法即可测定任意形状物体绕特定轴的转动惯量。

实验二自整角机实验

实验名称

自整角机实验

同组成员

XXX

学号

姓名

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

实验器材

自整角机实验装置，砝码。

四、实验原理

自整角机是一种对角位移或角速度的偏差有自整步能力的控制电机，他广泛

用于显示装置和随动系统中，使机械上互不相连的两根或多根转轴能自动保持相同的转角变化或同步旋转，在系统中通常是两台或多台自整角机组合使用。

产生信号的一方称发送机，接收信号的一方称为接收机。

在随动系统中，不需放大器和伺服电动机的配合，两台力矩式自整角机就可进行角度传递，因而常用以转角指示。

其工作原理如图2-1所示。

图2-1力矩式自整角机的工作原理

两台电机的励磁绕组接到同一单相交流电源上，三相整步绕组对应相接。

假设三相整步绕组产生的磁势在空间按正弦规律分布，磁路不饱和，并忽略电枢反

应，那么在分析时便可用迭加原理。

当发送机的转子转角为1,接收机转子转角

为2,在上述假设条件下，力矩式自整角机工作时电机内磁势情况可以看成发送机励磁绕组与接收机励磁绕组分别单独接电源时所产生的磁势的线性叠加。

力矩式自整角机的转矩是定子磁势与转子磁势相互作用而产生的。

转矩的方

向是使两磁势磁轴线靠拢。

在接收机中，F2与励磁磁势Ff是同轴磁势，故不会

产生力矩，而Fi'与Ff轴线的夹角即失调角=1-2,若=90时产生的最大整步转矩为Tm,那接收机所产生的整步转矩可以表达为T=Tmsin

当失调角越大，自整角接收机产生的整步转矩越大，转矩的方向是使Ff和

FT靠拢，即转子往失调角减小的方向旋转，如为空载，最终会消除失调角，

此时，两个力矩式自整角机的转子转角相等1=2，=1-2=0，随动系统处于协

调位置。

五、实验过程

1•测定力矩式自整角机静态整步转矩与失调角的关系T=f（）

图2-2力矩式自整角机实验接线图

1）确保断电情况下，按图2-2接线。

2）将发送机和接收机的励磁绕组加额定激励电压220V，待稳定后，发送机和接收机均调整到0°位置。

固紧发送机刻度盘在该位置。

3）在接收机的指针圆盘上吊砝码，记录砝码重量以及接收机转轴偏转角度。

在偏转角从零至90°之间取11组数据并记录于表2-1中。

表2-1中，T=mgR,轮盘半径R=2cm。

2•测定力矩式自整角机的静态误差

1）接线图仍按图2-2。

2）发送机和接收机的励磁绕组加额定电压220V，发送机的刻度盘不固紧，并将发送机和接收机均调整到0°位置。

3）缓慢旋转发送机刻度盘，每转过20°，读取接收机实际转过的角度并记录于表2-2中。

其中，接收机转角超前为正误差，滞后为负误差，正、负最大误差值之和的一半为力矩式接收机的静态误差。

3•测定力矩式自整角机的比整步转矩Te

1）比整步转矩是指在力矩式自整角机系统中，在协调位置附近，单位失调角所产生的整步转矩称为力矩式自整角机的比整步转矩。

2）测定接收机的比整步转矩时，可按2-2接线，T2'、T3用导线短接，在励

磁绕组Li—L2两端上施加额定电压，在指针圆盘上加砝码，使指针偏转5左右，测得整步转矩。

3）实验在正、反两个方向各测一次，两次测量的平均值应符合标准规定。

将数据记录于表2-3中。

六、实验结果及分析

1•静态整步转矩与失调角的关系Tf（）

由表2-1的实验数据，可得到图2-3。

图中，横轴方向为，纵轴方向为T;实心点为测量数据，实线为由matlab计算得到的拟合曲线。

此图能够表示静态整步转矩与失调角的关系Tf（）。

由图中拟合曲线可知，静态整步转矩T与失调角B基本呈线性关系。

图2-3静态整步转矩与失调角关系图

表2-1实验数据记录和数据处理

m（kg）

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

T（N.cm）

0.196

0.392

0.588

0.784

0.98

1.176

6（/180deg）

6°30'

10°3'

15°15'

20°5'

25°2'

31°2'

m（kg）

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

T（N.cm）

1.372

1.568

1.764

1.96

2.156

6/180deg）

36°0'

42°0'

48°36'

54°8'

60°5'

2•测定力矩式自整角机的静态误差

力矩式自整角机的静态误差实验部分的数据如表2-2所示。

贝该力矩式自整角机的静态误差为：

△Qt=（Emin+Emax）/2=（-22+0°30‘）/2=-10.75。

°

实验所得数据的误差除了仪器本身存在的误差外，还存在操作过程中的度数

误差和操作上的不规范引起的误差等。

但从总体来说，发送机的转角增大，接收机的转角与发送机的转角之间的误差也会随之增大，这种情况与实验仪器自身的

工作原理有一定的关系。

表2-2实验数据记录和数据处理

发送机转角

0°

20°

40°

60°

80°

接收机转角

0°

20°'

40°30'

54°18'

71°12'

误差

0°

0°

+0°30'

-5°42'

-8°48'

发送机转角

100°

120°

140°

160°

180°

接收机转角

88°45'

105°0'

1180

138°48'

1580

误差

-11°15'

-15°

-22°

-21°12'

-22°

3•测定力矩式自整角机的比整步转矩To

表2-3为力矩式自整角机的比整步转矩部分的实验数据。

实验在正、反两个方向各测一次，两次测量的平均值为（0.03312+0.02496）/2=0.029查阅文献可知,影响力矩式自整角机的比整步转矩的因素有：

气隙磁密、铁心长度、阻尼条直径、

阻尼端板厚度和阻尼端板内径等。

表2-3实验数据记录和数据处理

方向

m（kg）

G=mg（N）

0（/180deg）

T=GR（N.m）

T（=T/2O（N.m）

正向

0.035

0.343

5°56'

0.00686

0.03312

反向

0.030

0.294

6°45'

0.00588

0.02496

实验三二级直线倒立摆实验

实验名称

二级直线倒立摆实验

同组成员

XXX

学号

姓名

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

XXXXXX

XXX

实验器材

计算机及MATLAB等相关软件；

固高倒立摆系统的软件；固高二级直线倒立摆系统，包括运动卡和倒立摆实物；倒立摆相关安装工具。

四、实验原理

在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统，如图3-1所示。

小车质量

m!

摆杆1质量

图3-1直线两级倒立摆物理模型直线两级倒立摆系统参数为：

2摆杆2与垂直向上方向的夹角

li摆杆1到转动中心质心的距离

m2摆杆2质量

12摆杆1到转动中心质心的距离

m3质量块质量

F作用在系统上的外力

i摆杆1与垂直向上方向的夹角

下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。

拉格朗日方程为：

Lq,（&

T

q,&Vq,（&

（1）

d

L

Lr

fi

⑵

dt

（&

q

T

TM

Tm1

Tm2

Tm3

⑶

Tm1

Tm1

Tm1

⑷

Tm2

Tm2

Tm2

⑸

Tm

1

2

MX?

⑹

T-

m1

2

d

xl1sin

2

1

d

2

hsin1

叶

dt

dt

⑺

1

2

耳1朋&

cos

1

12

mJ；

&

1

Tm1

1

2Jp

21

12

1m1l12

311

2

1

1.22gh1

6

（8）

-miX2m1l1&&cos12mJ；&

23

同样可以求出

1

2m2

d（x

2l1sin1

2

in2

1

m2

d（2l1cos1

2

Jcos2）

2

dt

2

dt

1

—m2

X2l

1&COS1

l2&cos2

1

-

2l1&sin1

1&•2

l22sin2

2

2

Tm2

丄1m2l|

2322

（11）

1II

Tm2Tm2Tm2

1

m2

2

X2&2h&cos1l2&cos

12&

m24l1i

%2&

l22

4l1l2&&2cos

21

2

2

2

1

d（x

2l1sin1）

d（2l1cos1）

Tm3m3

2

dt

dt

（12）

（13）

1m3）&22m3l1&&cos12m3l：

学

2

因此，可以得到系统的总动能为：

Tm3

TTMTm1Tm2

1M）&2

2

1

m2

22

1

m2

2

X2X2l

imihg&cos1-m1l12&

3

&COS1l2&cos2

（14）

4l；&4l；&4l1l2&&cos21

3

1m3）&22m3l1）&&1cos1

2

系统的总势能为：

2m3l1&&

VVm1Vm2

m1gl1cos

Vm3

12m3gl1cos1

m2g

2l1cos1l2cos

（15）

从而拉格朗日算子：

LTV

1M>&

2

1m2

2

1m2

2

1

1m|XmtihX&cos

2

X2）&2l1^&cos1l

4li

1l2&cos

fl；&4l1l2^&2cos

（16）

—m3X2m3l1X'&cos12m3l；&

2

m1gl1cos1

2m3gl1cos1m^g2l1cos1l2cos2

由于因为在广义坐标1,2上均无外力作用，有以下等式成立:

（17）

dL

dt&

（18）

19）,（20）式

展开（17），（18）式，分别得到（

6mJ2&sin（12）4（®3（%m3））l1^&3（2mJ2辱cos（2

（m,2（m2叫））（gsin1XcosJ）0

1）（19）

3gsin26l1&&sin（12）4l2尋6h%os（21）

3Xfcos20（20）

将（19），（20）式对1,2求解代数方程，得到以下两式

1,

辱（3（2gm|Sin1

6m2l1cos（12）sin（1

4m2Xcos14m3X8cos（2l1（4m12mb12mh

4gm?

sin14mhgsin1

2）&4叫"n（12）&

13m2&Cos（12）cos2））/

2

9m2cos（12）））

3m2gcos（2

1）sin

2m1X8cos1

（21）

42

（m2（mi3（m2m3））l112（3gsin9

22

m2h12cos（1

3

16/o/

m2（mi3（m2

9

26h&

sin（1

2）3Xfcos

2）

&

2）（6m2l22sin（12）3（mh

22

m3））hl2

2222

4m2l112cos（1

2（m2

2））

m3））（gsin1Xfcos1）））/

（22）

表示成以下形式:

军f1（x,

X&,&,x）

（23）

&f2（x,

1,2,&&,&,X）

（24）

取平衡位置时各变量的初值为零，

&&,&,&）（0,0,0,0,0,0,0）0

A（x,1,2

（25）

将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令

K丄

11

x

（26）

K12

3（2gm）14gm）24gm）3）

2（4m13m212m3）l1

（27）

K13

9m）2g

2（4m|3m212m3）l1

（28）

K14

f1

A0

0

K15

f1

-&

A0

0

K16

f1

&

A0

0

K17f

3（

2叶

m2

4m（3）

A0

2（4m

3mb

12m3）h

带入（21）式，得到线性化之后的公式

辱心!

心2K17X

将（24）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令

f2

x

K22

1

K232

2

带入（22）式，得到

即:

2g（g2（%m3））

16

4mj2—（E3（m,

4gg3（m2mO）

16

3（4口2匚©g3（m2mJ）l2）

K25

K26

2（mi

f2

4

2（m）2m3））—（m）13（m）2