完整word版现代控制理论习题解答第三章.docx
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完整word版现代控制理论习题解答第三章
第三章线性控制系统的能控性和能观性
3-3-1判断下列系统的状态能控性。
010
10
（1）A
10
1
B
（2）A
001,
B
01
10
0
243
11
1
1
0
0
0
3
10
1
1
（3）A
0
1
0
0
1
0
30,
B0
0（4）A
B
0
0
1
0
1
0
01
2
0
0
0
0
1
1
【解】：
（1）
11
UcBAB11,rankUcn2，所以系统完全能控。
c01c
（2）
1
0
0
1
2
UcBABA2B
0
1
1
1
1
1
1
7
前三列已经可使rankUcn3，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）
A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）
A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
3-3-2判断下列系统的输出能控性。
3
1
0
1
1
0
1
0
0
x
0
3
0x
0
0u
x
0
0
1x
0u
（1）
0
0
1
2
0
（2）
6
11
6
1
1
01
y
x
y
10
0x
1
10
解】：
1）
0
1
0
x
0
0
1x
x
1
1
（1）
2
4
3；
（2）
1
x
0；
01
1
y
1
1x
y
x
12
1
2-3-3判断下列系统的能观性。
2
1
0
4
0
0
x
0
2
0x
x
0
4
0x
（3）
；（4）
0
0
3
0
0
1
y
0
1
1x
y
11
4x
解】：
1）
011
1
2
1
C
2
4
4
V0CA
2
CA2
前三行已使rankV0n3，所以系统完全能观（后续元素不必计算）。
2）
11
A,C11
10
C11
V0,rankV0n2
0CA210
所以系统完全能观。
以系统状态不完全能观。
（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。
也可求
C
1
1
4
V0CA
4
44,
V00,rankV02
CA2
16
16
4
所以系统不完全能观。
3-3-4设系统状态方程为xAxBu，若x1、x2是系统的能控状态，试证状态x1x2也是能控的（其中α、β为任意常数）。
【解】：
设：
yCxx因为，状态x1和x2能控，所以至少有
rankBABAn1B2。
而由系统输出能控的判别阵得：
An1B）1，（C阵又满秩）。
2
rankCBCABCA2Brank（CBAB
3-3-5设系统∑1和∑2的状态空间表达式为
01
0
x1
x1
u1
x2
2x2u2
1:
34
1
2:
y2
x2
y1
21x1
解】：
1）
01
21
Uc
rankU
c
2;Vo,rankVo2
14
32
x2
2x2u2
2:
y2
x2
两个子系统既能控又能观。
2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，
又都是SISO系统，传递函数相同）：
系统有下关系成立：
u1u，u2
x
y1，y
x1
x2
y2
0
10
0
A10
b1
x
x
u
3
40x
1u
b2C1A2
0
2
12
0
y
0C2x0
01x
0
1
4
Uc
2
bAbA2b
1
4
13
rankUc
2;
0
1
4
C
0
0
1
VoCA
2
1
2
rankVo
3
CA2
7
4
4
串联后的系统不能控但能观。
C
2
1
1
VoCA
3
2
2,rankVo3
CA
6
5
4
传递函数为：
3）并联后的系统数学模型为：
系统有下关系成立：
并联后的状态空间表达式为：
并联后系统既能控又能观。
传递函数为：
11
C1（sIA1）1b1C2（sIA2）1b2
1
[1（s2）11]
s21
2
（s24s3）s2
2
2s28s7
32s6s211s6
3-3-6
已知系统的传递函数为G（s）3s2a
s310s227s18
（1）试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；
（2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；
（3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。
解】：
系统的传递函数可以写成：
G（s）
sasa32
s310s227s18（s3）（s1）（s6）
（1）
当a1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。
（2）
在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为：
（3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。
能观标准型为：
0018a
x1027x1u
01100
y001x
3-3-7已知系统的状态空间表达式为
1
0
a
x
0
0x
bu
0
0
c
y
a
b
cx
试问能否选择常数a、b、c使系统具有能控性和能观性。
【解】：
2
Uc
aaba22bbbb2
ccc2
在上述行列式中，无论a、b、c如何取值，都有两行元素线性相关，则Uc0，
rankUc2。
abc
在上述行列式中，无论a、b、c如何取值，都有两列元素线性相关，则V00，
rankV02。
所以，无论常数a、b、c取何值，系统都不能控和不能观。
3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示，图中a、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a、b、c、d应满足的条件。
cx2
u
a
c
1
x
x
u
bx2
u
d
b
1
y
10x
1
ac
U
cd
ba
c0。
1
db
c
10
Voc
0。
cA
ac
解】：
系统状态空间表达式为：
x1ax1
x2dx1yx1
系统能控的条件为：
UcbAb
系统能观的条件为：
V0
3-3-9设系统（A,C）的系数矩阵为
a1
a2
a3
A
1
0
0,
Cc100
0
1
0
其中a1,a2,a3,c1为实数。
试问系统（A,C）能观的充要条件是什么？
要求用A、C中的参
数具体表示。
【解】：
C
c1
0
0
10
0
V0
CA
a1c1
a2c1
a3c1
3
c1a1a2
a3
CA2
2
a1c1a2c1
a1a2c1a3c1
a1a3c1
2
a1a2a1a2a3
a1a3
c13a320c10,a30.
3-3-10已知系统的状态空间表达式为
01b1
xxu
23b2
yc1c2x
欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数b1,b2,c1,c2应满足的关系。
【解】：
f（）I
A23
2
0,
11,22
A为友矩阵，且特征值互异，
所以
11
1
1
121
PP1P2
P1
12
1
2
11
x
Px
10
2b1
b2
x
x
u
02
b1
b2
yc1c2
c1
2c2x
显然，当状态x2既能控又能观，而状态x1既不能控又不能观的条件是：
3-3-11设n阶系统的状态空间表达式为
xAxbu，试证：
yCx
（1）若Cb=0，CAb=0，CA2b=0，⋯⋯CAn-1b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。
（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA2b=0，⋯
⋯CAn-2b=0，CAn-1b≠0则系统总是又能控又能观
的。
解】：
1）以三阶系统为例：
C
Cb
CAb
2
CA2b
0
0
0
V0UcCA
2
bAbA2
b
CAb
2
CA2b
CA3b
0
0
CA3b
CA2
CA2bCA3b
CA4b
0
CA3b
CA4b
V0
Uc
0,
V0Uc
0
所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。
2）以三阶系统为例：
C
Cb
CAb
CA2b
0
0
k
V0UcCA
bAb
2
A2bCAb
CA2
b
CA3b
0
k
CA3b
CA2
CA2b
CA3
b
CA4b
k
CA3b
CA4b
V0Uc
k3（CA2b）3
0
V0
0,Uc
0,
所以该系统既能控又能观。
3-3-12已知系统的微分方程为y6y11y6y6u，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
【解】：
因为G对偶（s）bT（sIAT）1CT[C（sIA）1b]TG原系统T（s）
又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。
G（s）32
s36s211s6系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。
能控标准型为：
01
x00
00
1x0u
能观标准型为：
1
rankUc1n2。
1
11x0u
3-3-13
101
已知系统的状态方程为xxu，试求出它的能控标准型。
121
解】：
1UcbAb
1
所以系统不能控，不存在能控标准型。
10
xx
3-3-14已知系统的状态空间表达式为x24x试求出它的能观标准型。
y11x
【解】：
判系统的能观性：
V0
C
CA
11
34
rankV02
所以系统能观。
方法之一：
①求变换阵
101
T0
T1
AT1,
T1V0
11
11
121
T0
T1
AT1
12,
T012111
②设xT0x对原状态空间表达式做线性变换得：
04
xx
15
y01x
方法之二：
依据特征多项式f（s）sIAs25s4直接可以写出能观标准型的A，C阵。
04
A15，C01。
3-3-15
s26s8已知系统传递函数为G（s）s26s8，试求能控标准型和能观标准型。
s24s3
解】：
系统的传递函数可以写成：
传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。
能控标准型为：
010
x
xu
341
y
52xu
能观标准型为：
0
3
5
x
x
u
1
4
2
y
0
1xu
3-3-16已知完全能控系统的状态方程为x01x0u，试问与它相应的离散化方101
cosTsinT1cosT程x（k1）cosTsinTx（k）1cosTu（k）是否一定能控。
sinTcosTsinT
【解】：
离散系统完全能控的条件为Mc矩阵满秩。
于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。
2
MHGH1cosTcosT（1cosT）sinTsinTsinT2cosTsinT
Mc2sinT（cosT1）
当Tk（k1,2,n）时，rank（Mc）2离散化方程也是能控的。
3-3-17试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。
1
2
1
0
（1）A0
1
0,
b0,
C1
11
0
4
3
1
2
2
1
0
（2）A
0
2
0,
b0,
C1
11
1
4
0
1
解】：
1）
①按能控性进行结构分解
UcbAbA2b
0
1
4
0
0
0,
rankUc2
1
3
9
所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵
010301
1
Tc001，Tc1100
130010
按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
0321
xcxc
1420u
xc
xc
0
0
1
0
y12
1
xcxc
②按能观性进行结构分解
C
1
1
1
V0
CA
1
3
2,rankV02
CA2
1
9
5
所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P0
1110011
P01132，P0211
100312
按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
0
1
0
1
x0
x0
3
4
0
2u
x0
x0
01
1
1
0
x0
y100
x0
2）
①按能控性进行结构分解
0
1
2
Ucb
AbA2b
0
0
0,
rankUc2
1
0
1
所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵Tc。
0
1
0
001
Tc
0
0
1,
Tc1
100
1
0
0
010
按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
0
1
4
1
xc
xc
1
2
2
0u
xc
xc
0
0
2
0
xc
y1
1
1
xc
②按能观性进行结构分解
C
1
11
V0
CA
1
01,
rankV02
CA2
1
21
所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P0
1
1
1
0
01
P01
10
1,
P01
10
1
0
0
0
11
按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：
0
1
0
1
x0
x0
2
3
0
1u
x0
2
1
x0
0
10
x0
y1
00
x0
3-3-18试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。
1
0
0
0
0
2
3
0
0
0
（1）A
b,C3010；
1
0
2
0,
1
4
1
2
4
2
1
0
0
1
2）A
2
2
3,
b2,
C112。
20
1
2
解】：
1）
系统的特征方程为：
化为对角标准型，其变换阵为：
4
0
0
0
1.667
0
3
0
0
0
x
x
u
0
0
2
0
1
0
0
0
1
0
y
0
01
3.333x
可以看出系统不能控也不能观，
需按能控性和能观性进行结构分解。
其中x3为能控能观的状态变量xco；x1为能控不能观的状态变量xco；x4为不能控能观的状态变量xco；x2为不能控不能观的状态变量xco
1
1
2
1
2
5,
rankV03
7
4
11
V0CA
CA
将上述方程按xco，xco，xco，xco的顺序排列，则有：
x3
20
0
0
x3
1
x1
04
0
0
x1
1.667
x4
00
1
0
x4
u
0
x2
00
0
3
x2
0
y
103.333
0
x
或写成
xco
20
0
0
xco
1
xc0
04
0
0
xc0
1.667
u
xc0
00
1
0
xc0
0
xco
00
0
3
xco
0
y1
03.333
0x
2）
1
1
1
Ucb
2
AbA2b
2
12
26,
rankUc3
2
0
2
C
系统既能控又能观，无需分解。
3-3-19已知系统的微分方程为y4y3yu6u8u，试分别求出满足下列要求的状态空间表达式：
（1）系统为能控能观的对角标准型；
（2）系统为能控不能观的；
（3）系统为能观不能控；
4）系统为不能控也不能观的。
解】：
2
s6s82s5G（s）22
s24s3s24s3
设：
人为增加一对偶极子，得：
系统能控不能观的状态空间表达式为：
系统能观不能控的状态空间表达式为：
系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：
传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。
101
其中T001，对系统进行结构分解。
试回答以下问题：
011
（1）不能控但能观的状态变量以
（2）能控且能观的状态变量以
x1，x2，x3的线性组合表示；
x1，x2，x3的线性组合表示；
（3）试求这个系统的传递函数。
解】：
110
T101
01
1,
0
A
TAT
1,B
1
TB,CCT1
线性变换后系统的状态空间表达式为：
x1
1
2
0
x1
2
x2
2
3
0
x2
2u
x3
0
2
2
x3
0
y1
0
1x
系统的特征方程为：
f（）
I
A
（
1）2（
2）0
将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：
0.5
P1
约当标准型为：
A~为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态x~3不能控。
xTx，xPx~
x~P
1Tx
4
13
~
x
0
01x
2
00
所以不能控但能观的状态变量
x~3
4x1
x23x3
~
x1
能控且能观的状态变量x1
0
01
x3
x2
~
x2
2
00
22x1
x3
线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传
递函数：
~20~4
xxu
012
y11~
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