高中物理第1章机械振动11研究简谐运动学案沪科版选修34.docx

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高中物理第1章机械振动11研究简谐运动学案沪科版选修34

1.1　研究简谐运动

[学习目标]1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型.2.借助弹簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道简谐运动的振动图像为正弦曲线（或余弦曲线），知道描述简谐运动的常用物理量及意义.4.会利用简谐运动的图像分析有关问题．

1.弹簧振子模型：

如图1所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．

图1

2．弹簧振子的位移—时间图像

以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）曲线．

3．简谐运动

（1）定义：

如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动．

（2）特点：

简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的运动就是简谐运动．

4．描述简谐运动的物理量除了位移、速度、加速度等力学量外，还需要周期、频率、振幅等物理量.

一、什么是简谐运动　简谐运动的图像

[导学探究]　如图2所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．

图2

（1）小球的运动有哪些特点？

为什么小球最终停止运动？

（2）如果把小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多即也忽略不计，其结果如何？

图3

（3）如图3为弹簧振子在一次全振动过程中间隔相等的8个相继时刻的位置，请用曲线连接各时刻小球球心的位置，并猜想一下，小球在各时刻的位移跟时间之间存在着怎样的关系？

答案　

（1）小球在中心两侧往复运动，即具有周期性．小球因为受到摩擦阻力的作用最终停止运动．

（2）小球将持续振动．

（3）小球的位移随时间可能按正弦（或余弦）规律变化．

[知识深化]

1．弹簧振子

（1）组成：

如图4所示，它是由弹簧和小球（振子）组成的，是一个理想模型．

图4

（2）理想化要求：

小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦可以不计，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略．

（3）平衡位置：

小球原来静止时的位置．

（4）机械振动：

小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动．

（5）全振动：

振动物体往返一次（以后完全重复原来的运动）的运动叫做一次全振动．如图4所示，对于水平方向运动的弹簧振子：

A→O→B→O→A，即为一次全振动．

（6）位移—时间图像

①坐标系的建立：

为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图5所示，这就是弹簧振子运动时的位移—时间图像．

图5

②物理意义：

振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律．

③振动图像：

理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移—时间图像是正弦曲线（或余弦曲线）．

2．简谐运动

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦（或余弦）曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．

[延伸思考]

我们在研究直线运动时，可以由s－t图像得出运动物体的速度或速度的变化规律．由简谐运动的振动图像，我们可以判断振子速度的变化情况吗？

答案　可以．研究直线运动时，在s－t图像上，图线的斜率为运动物体的速度．同样，在振动图像上，图线的斜率仍然代表振子的运动速度．由振动图像可知，在振子经过平衡位置时，图线的斜率最大，即振子的速度大小达到最大；离开平衡位置的过程中，图线的斜率逐渐变小，即速度逐渐减小，在最大距离处图线的斜率为零，速度为零．

例1

　（多选）如图6甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图像如图乙所示．则下列说法中正确的是（　　）

图6

A．t2时刻振子在A点

B．t2时刻振子在B点

C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大

D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小

答案　AC

解析　振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点是正向最大位移，运动到B点是负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．

二、描述简谐运动的物理量及其位移公式

[导学探究]

1．用锤敲锣一下，锣发出响亮的声音，锣声很快变小，但音调没变，锣声变小是什么发生了变化？

音调没变又是为什么？

答案　锣声变小是锣面的振动强度变弱了，即振幅变小了．音调没变是锣的振动快慢没变，即频率没变．

2．我们知道做简谐运动的物体的振动位移随时间是按正弦（余弦）函数规律变化，在数学课上我们学习过正弦函数为y＝Asinωt，你知道A、ω与简谐运动的基本物理量之间的关系吗？

答案　A代表简谐运动的振幅；ω叫做简谐运动的圆频率，它与周期T的关系为ω＝

.

[知识深化]

1．振幅A

（1）振幅是标量，在数值上等于振子偏离平衡位置的最大位移的绝对值．

（2）物理意义：

表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．

2．周期和频率

内容

周期

频率

定义

做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期

单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率

单位

单位为秒（s）

单位为赫兹（Hz）

物理含义

振动周期是表示物体振动快慢的物理量

频率是表示物体振动快慢的物理量

决定因素

物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关

关系式

T＝

或f＝

3.简谐运动的位移公式：

x＝Asinωt或x＝Acosωt.

（1）式中x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动时间．

（2）A表示振动质点偏离平衡位置的最大位移，即振幅．

（3）ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：

ω＝

＝2πf.

所以表达式也可写成：

x＝Asin

t或x＝Asin2πft.

例2

　弹簧振子在A、B间做简谐振动，O为平衡位置，A、B间的距离是20cm，振子由A运动到B的时间是2s，如图7所示，则（　　）

图7

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2s，振幅是10cm

C．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cm

D．从O开始经过3s，振子处在平衡位置

答案　C

解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，振幅A＝10cm，B选项错误；t＝6s＝1

T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，C选项正确；从O开始经过3s，振子处在位置A或B，D选项错误．

三、对振动图像的理解

例3

　如图8所示为一弹簧振子的振动图像，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题：

（1）如图9所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________（填“右”或“左”）运动．

　　　　图8　　　　　　　　　　图9

（2）在图9中，找出图8中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？

即O对应________，A对应________，B对应________，C对应________，D对应________．

（3）在t＝2s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度的方向________．

（4）振子在前4s内的位移等于________．

答案　

（1）E　右　

（2）E　G　E　F　E　（3）相反　（4）0

解析　

（1）由x－t图像知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．

（2）由x－t图像知：

O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．（3）t＝2s时，图线斜率

为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反．（4）4s末振子回到平衡位置，故振子在前4s内的位移为零．

针对训练　（多选）如图10所示，是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是（　　）

图10

A．振动周期是2×10－2s

B．第2个10－2s内物体的位移是－10cm

C．物体的振动频率为25Hz

D．物体的振幅是10cm

答案　BCD

解析　振动周期是物体完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s．又f＝

，所以f＝25Hz，则A项错误，C项正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10cm，则D项正确；第2个10－2s的初位置是10cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10cm，则B项正确．

研究简谐运动

1．如图11所示，下列振动系统不可看作弹簧振子的是（　　）

图11

A．如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统

B．如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统

C．如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小钢球组成的系统

D．蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统

答案　D

解析　A、B、C中都满足弹簧振子的条件，D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作质点，故不可看作弹簧振子．

2．（多选）振动周期指的是振动物体（　　）

A．从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间

B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间

C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间

D．经历了四个振幅的时间

答案　CD

解析　振动周期是指振动物体完成一次全振动所用的时间，也就是物体经过4个振幅所用的时间．

3．（多选）弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8cm，完成30次全振动所用时间为60s，则（　　）

A．振子的振动周期是2s，振幅是8cm

B．振子的振动频率是2Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16cm

D．从振子通过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm

答案　CD

解析　A、B之间的距离为8cm，则振幅是4cm，故A错；T＝2s，f＝0.5Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16cm,3s内运动了1.5个周期，故总路程为24cm，C、D正确．

4．如图12甲所示，是一个弹簧振子的示意图，O是它的平衡位置，振子在B、C之间做简谐运动，规定向右为正方向．图乙是它的速度v随时间t变化的图像．下列说法中正确的是（　　）

　　　甲　　　　　　　　　　　　乙

图12

A．t＝2s时刻，它的位置在O点左侧4cm处

B．t＝3s时刻，它的速度方向向左，大小为2m/s

C．t＝4s时刻，它的加速度为方向向右的最大值

D．振子在一个周期内通过的路程是16cm

答案　C

课时作业

一、选择题

1．下列运动性质属于简谐运动的是（　　）

A．匀变速运动B．匀速直线运动

C．非匀变速运动D．匀加速直线运动

答案　C

2．如图1所示，是两人合作模拟振动曲线的记录装置．先在白纸中央画一条直线OO1使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴．一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x－t图像．下列说法中正确的是（　　）

图1

A．白纸上OO1轴上的坐标代表速度

B．白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅

C．匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化

D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长

答案　C

解析　白纸上OO1轴上的坐标代表时间，故A错误；白纸上与OO1垂直的坐标代表笔尖的位移，故B错误；匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化，故C正确；拖动白纸的速度与笔尖的振动周期无关，故D错误．

3.（多选）如图2所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统．用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　）

图2

A．钢球的最低处为平衡位置

B．钢球原来静止时的位置为平衡位置

C．钢球振动到距原静止位置下方3cm处时位移为3cm

D．钢球振动到距原静止位置上方2cm处时位移为2cm

答案　BC

解析　振子的平衡位置为振子静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可判断C对，D错．

4．关于简谐运动的图像，下列说法中错误的是（　　）

A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线

B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向

C．表示质点的位移随时间变化的规律

D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向

答案　A

解析　振动图像表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由图像可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确．

5．手机是常用的通信工具，当来电话时，它可以用振动来提示人们．振动的原理是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动．当叶片转动后，电动机就跟着振动起来．其中叶片的形状你认为是下图中的（　　）

答案　A

解析　B、C、D中图形均为中心对称图形，转动起来不会引起振动．

6．如图3所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是（　　）

图3

A．大小为OC，方向向左B．大小为OC，方向向右

C．大小为AC，方向向左D．大小为AC，方向向右

答案　B

解析　振子离开平衡位置的位移是以O点为起点，C点为终点，大小为OC，方向向右．

7．（多选）如图4表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（　　）

图4

A．t1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动

B．t2时刻振子的位移最大

C．t3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动

D．该图像是从平衡位置计时画出的

答案　BC

解析　从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D选项错误；t1～t3时刻振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，C选项正确．

8．（多选）图5是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是（　　）

图5

A．该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置

B．从图像可以看出弹簧振子在振动过程中是沿t轴方向移动的

C．为了显示弹簧振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，可让底片沿垂直x轴方向匀速运动

D．图像中弹簧振子的疏密显示出相同时间内弹簧振子位移变化的快慢不同

答案　ACD

解析　从图像中能看出坐标原点在平衡位置，A对．横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，弹簧振子只在x轴上振动，所以B错，C对．因图像中相邻弹簧振子之间时间间隔相同，密处说明位移变化慢，D正确．

9．（多选）物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin（100t＋

）m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin（100t＋

）m．比较A、B的运动（　　）

A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m

B．周期是标量，A、B周期相等为100s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A的振幅是3m，B的振幅是5m

答案　CD

解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，A错，D对；A、B的周期T＝

＝

s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对．

10.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s（如图6所示）．过B点后再经过t＝0.5s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（　　）

图6

A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s

答案　C

解析　该题考查的是振动的对称性．根据题意，由振动的对称性可知：

A、B的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝

×0.5s＝0.25s．质点从B向右到达右方最大位移处（设为D）的时间tBD＝

×0.5s＝0.25s．所以，质点从O到D的时间tOD＝

T＝0.25s＋0.25s＝0.5s．所以T＝2.0s.

二、非选择题

11．如图7所示是物体做简谐运动的振动图像，请根据图像回答下列问题：

图7

（1）在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？

（2）这个物体的振幅是多大？

（3）这个振动的周期是多少？

频率是多大？

（4）判断t1、t2时刻物体运动的方向．

答案　见解析

解析　

（1）从图中直接读出t1时刻的位移为－3cm，t2时刻的位移为2cm.

（2）振幅指振动物体偏离平衡位置的最大距离，从图中读出位移最大值为5cm，因此振幅为5cm.

（3）图中a至b表示物体完成了一次全振动又回到原来的状态，经历的时间即周期．可见，这个振动的周期为2s，频率为0.5Hz.

（4）由图像可以看出，t1时刻的下一小段时间位移变大且远离平衡位置指向负方向，所以可以判断t1时刻物体正沿着负方向远离平衡位置运动，同理可以判断t2时刻物体的运动方向为沿着正方向远离平衡位置．

12．一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13s质点第一次通过M点，再经0.1s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？

答案　0.72s或0.24s

解析　质点的振动周期共存在两种可能性．设质点在AA′范围内运动．

如图甲所示，由O→M→A历时0.13s＋0.05s＝0.18s，则周期T1＝4×0.18s＝0.72s.

如图乙所示，由O→A′→M历时t1＝0.13s，由M→A→M历时t2＝0.1s，设由O→M或由M→O历时为t，则0.13s－t＝2t＋0.1s，故t＝0.01s，所以周期T＝t1＋t2＋t＝0.24s.

　　　甲　　　　　　　　　　　　乙