高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版选修44.docx

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高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版选修44

高中数学第二章参数方程2-1直线的参数方程学案北师大版选修4_4

[对应学生用书P24]

1．有向线段的数量

如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段的数量．

2．直线参数方程的两种形式

（1）经过点P（x0，y0）、倾斜角是α的直线的参数方程为：

（t为参数）．

其中M（x，y）为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示．

（2）经过两个定点Q（x1，y1），P（x2，y2）（其中x1≠x2）的直线的参数方程为（λ为参数，λ≠－1）．

其中M（x，y）为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：

动点M分有向线段的数量比.

①当λ>0时，M为内分点；

②当λ<0且λ≠－1时，M为外分点；

③当λ＝0时，点M与Q重合．

1．如何引入参数求过定点P（x0，y0）且与平面向量a＝（a，b）平行的直线的参数方程？

提示：

在直线l上任取一点M（x，y），因为∥a，由两向量共线的充要条件以及＝（x－x0，y－y0），可得＝，设这个比值为t，即：

＝＝t，则有：

（t∈R）．

2．问题1中得到的参数方程中参数何时与（t∈R）中参数t具有相同的几何意义？

提示：

当a2＋b2＝1时．

[对应学生用书P24]

直线参数方程的确定

[例1]　已知直线l过（3,4），且它的倾斜角θ＝120°.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．

[思路点拨]　本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．

[精解详析]　

（1）直线l的参数方程为

（t为参数），

即（t为参数）．

（2）把代入x－y＋1＝0，

得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0.

把t＝0代入得两直线的交点为（3,4）．

1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用（t为参数）．

2．已知直线过两点，求参数方程利用

3．已知直线经过的定点与其方向向量a＝（a，b）（或斜率），则其参数方程可为：

（t为参数）．

1．已知两点A（1,3），B（3,1）和直线l：

y＝x，求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．

解：

设直线AB与l的交点M（x，y），且＝λ，则直线AB的参数方程为（λ为参数且λ≠－1）．①

把①代入y＝x得＝，得λ＝1，

所以点M分AB的比为1∶1.

利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题

[例2]　写出经过点M0（－2,3），倾斜角为的直线l的参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标．

[思路点拨]　本题考查直线参数方程（t为参数）的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M0相距为2的点对应的参数t，然后代入参数方程求此点的坐标．

[精解详析]　直线l的参数方程为

（t为参数）．①

设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，M点对应的参数为t，则|M0M|＝|t|＝2，

∴t＝±2.将t的值代入①式：

当t＝2时，M点在M0点上方，其坐标为（－2－，3＋）；

当t＝－2时，M点在M0点下方，其坐标为（－2＋，3－）．

1．过定点P（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数），|t|的几何意义是有向线段的长度，即P与M间的距离．

2．过定点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程是（a，b为常数，t为参数）．当a2＋b2＝1时，|t|的几何意义是有向线段的长度，当a2＋b2≠1时，|t|的几何意义是的长度的.

2．过点A（1，－5）的直线l1的参数方程为（t为参数），它与方程为x－y－2＝0的直线l2相交于一点P，求点A与点P之间的距离．

解：

将直线l1的参数方程化为

（t为参数）．

2＋2＝1且＞0，令t′＝2t，则将t′代入上述方程得直线l1的参数方程的标准式为

（t′为参数）．代入x－y－2＝0得

－－2＝0，解得t′＝4，

∴|AP|＝|t′|＝4.

直线与圆锥曲线的位置关系

[例3]　已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，设线段AB的中点为M.

（1）求P，M两点间的距离；

（2）求线段AB的长|AB|.

[思路点拨]　本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如（t为参数）的方程，然后利用参数的几何意义求解．

[精解详析]　

（1）∵直线l过点P（1,0），倾斜角为，cosα＝，sinα＝.

∴直线l的参数方程为（t为参数）．①

∵直线l和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程

并整理得5t2＋2t－4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.

设这个二次方程的两个实根为t1，t2.

由根与系数的关系得：

t1＋t2＝－，t1t2＝－，

由M为AB的中点，根据t的几何意义，

得|PM|＝||＝.

（2）|AB|＝|t2－t1|＝＝＝.

1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便．

2．在求直线l与曲线C：

f（x，y）＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程代入f（x，y）＝0，可以得到一个关于t的方程f（x0＋tcosα，y0＋tsinα）＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.

（1）弦AB的长|AB|＝|t1－t2|.

（2）线段AB的中点M对应的参数t＝（解题时可以作为基本结论使用）．

3．（江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

解：

将直线l的参数方程（t为参数）代入抛物线方程y2＝4x，

得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.

所以AB＝|t1－t2|＝8.

本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．

[考题印证]

（湖南高考）在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：

（s为参数）和直线l2：

（t为参数）平行，则常数a的值为________．

[命题立意]　本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．

[自主尝试]　先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l1：

x－2y－1＝0，直线l2：

2x－ay－a＝0.因为两直线平行，所以1×（－a）＝－2×2，故a＝4，经检验，符合题意．

[答案]　4

[对应学生用书P26]

一、选择题

1．已知直线l过点A（1,5），倾斜角为，P是l上一动点，若以＝t为参数，则直线l的参数方程是（　　）

A.　　　　　B.

C.D.

解析：

选D　∵＝t，∴＝－t.

则参数方程为

即故选D.

2．直线（t为参数）的倾斜角是（　　）

A．20°B．70°

C．110°D．160°

解析：

选C　法一：

将原方程改写成

消去t，得y＝tan110°（x－3），

所以直线的倾斜角为110°.

法二：

将原参数方程化为

令－t＝t′，则

所以直线的倾斜角为110°.

3．直线（t为参数）上与点P（－2,3）的距离等于的点的坐标是（　　）

A．（－4,5）B．（－3,4）

C．（－3,4）或（－1,2）D．（－4,5）或（0,1）

解析：

选C　设直线上的点Q（－2－t,3＋t）与点P（－2,3）的距离等于，

即d＝＝.

解得t＝±.

当t＝时，

∴Q（－3,4）．

当t＝－时，

∴Q（－1,2）．

综上，符合题意的点的坐标为（－3,4）或（－1,2）．

4．直线l经过点M0（1,5），倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于（　　）

A.＋1B．6（＋1）

C．6＋D．6＋1

解析：

选B　由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），代入直线方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6（＋1）．

根据参数t的几何意义可知|MM0|＝6（＋1）．

二、填空题

5．过P（－4,0），倾斜角为的直线的参数方程为________．

解析：

∵直线l通过P（－4,0），倾斜角α＝，

所以直线的参数方程为

即

答案：

6．若直线（t为参数）与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

解析：

直线的斜率为－，

∴－×＝－1，k＝－6.

答案：

－6

7．已知直线l的参数方程是（t为参数），其中角θ的范围是，则直线l的倾斜角是________．

解析：

将原参数方程改写成消去参数t，

得y＋2＝（x－1）tan，由θ∈和倾斜角的范围可知直线l的倾斜角为－θ.

答案：

－θ

8．直线（t为参数）与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为（2，－1），则|PA|·|PB|＝________.

解析：

把直线的参数方程代入圆的方程，

得2＋2＝1，

即t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，

∴A（1,0），B（0,1）．

∴|PA|＝＝，|PB|＝＝2.

∴|PA|·|PB|＝×2＝4.

答案：

4

三、解答题

9．已知P为半圆C：

x2＋y2＝1（0≤y≤1）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.

（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M的极坐标；

（2）求直线AM的参数方程．

解：

（1）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，

故点M的极坐标为.

（2）M点的直角坐标为，A（1,0），故直线AM的参数方程为（t为参数）．

10．已知直线l经过点P（1,1），倾斜角α＝.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．

解：

（1）因为直线l过P（1,1），且倾斜角α＝，所以直线l的参数方程为（t为参数）．

（2）因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，得2＋2＝4，

整理，得t2＋（＋1）t－2＝0.

因为t1，t2是方程t2＋（＋1）t－2＝0的根，

所以t1t2＝－2.故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.

所以点P到A，B两点的距离之积为2.

11．已知圆锥曲线（θ是参数）和定点A（0，），F1，F2是圆锥曲线的左、右焦点．

（1）求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．

解：

（1）圆锥曲线化为普通方程是＋＝1，所以F1（－1,0），F2（1,0），则直线AF2的斜率k＝＝－，于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，直线l的倾斜角是30°，所以直线l的参数方程是（t为参数），

即（t为参数）．

（2）法一：

直线AF2的斜率k＝＝－，倾斜角是120°，设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，则根据正弦定理得＝，

即ρsin（120°－θ）＝sin60°，

即ρsinθ＋ρcosθ＝.

法二：

直线AF2的直角坐标方程是y＝－（x－1），

将代入得直线AF2的极坐标方程：

ρsinθ＝－ρcosθ＋，即ρsinθ＋ρcosθ＝.