高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版选修44.docx
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高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版选修44
高中数学第二章参数方程2-1直线的参数方程学案北师大版选修4_4
[对应学生用书P24]
1.有向线段的数量
如果P,M是l上的两点,P到M的方向与直线的正方向一致,那么PM取正值,否则取负值.我们称这个数值为有向线段的数量.
2.直线参数方程的两种形式
(1)经过点P(x0,y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为:
(t为参数).
其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数t的几何意义是从点P到M的位移,可以用有向线段的数量来表示.
(2)经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为(λ为参数,λ≠-1).
其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数λ的几何意义是:
动点M分有向线段的数量比.
①当λ>0时,M为内分点;
②当λ<0且λ≠-1时,M为外分点;
③当λ=0时,点M与Q重合.
1.如何引入参数求过定点P(x0,y0)且与平面向量a=(a,b)平行的直线的参数方程?
提示:
在直线l上任取一点M(x,y),因为∥a,由两向量共线的充要条件以及=(x-x0,y-y0),可得=,设这个比值为t,即:
==t,则有:
(t∈R).
2.问题1中得到的参数方程中参数何时与(t∈R)中参数t具有相同的几何意义?
提示:
当a2+b2=1时.
[对应学生用书P24]
直线参数方程的确定
[例1] 已知直线l过(3,4),且它的倾斜角θ=120°.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力,解答此题需要将条件代入得到直线的参数方程,然后与x-y+1=0联立可求得交点.
[精解详析]
(1)直线l的参数方程为
(t为参数),
即(t为参数).
(2)把代入x-y+1=0,
得3-t-4-t+1=0,得t=0.
把t=0代入得两直线的交点为(3,4).
1.已知直线经过的定点与其倾斜角,求参数方程利用(t为参数).
2.已知直线过两点,求参数方程利用
3.已知直线经过的定点与其方向向量a=(a,b)(或斜率),则其参数方程可为:
(t为参数).
1.已知两点A(1,3),B(3,1)和直线l:
y=x,求过点A,B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点M分AB的比.
解:
设直线AB与l的交点M(x,y),且=λ,则直线AB的参数方程为(λ为参数且λ≠-1).①
把①代入y=x得=,得λ=1,
所以点M分AB的比为1∶1.
利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题
[例2] 写出经过点M0(-2,3),倾斜角为的直线l的参数方程,并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标.
[思路点拨] 本题考查直线参数方程(t为参数)的应用,特别是参数几何意义的应用.解答此题需先求出直线上与点M0相距为2的点对应的参数t,然后代入参数方程求此点的坐标.
[精解详析] 直线l的参数方程为
(t为参数).①
设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点,M点对应的参数为t,则|M0M|=|t|=2,
∴t=±2.将t的值代入①式:
当t=2时,M点在M0点上方,其坐标为(-2-,3+);
当t=-2时,M点在M0点下方,其坐标为(-2+,3-).
1.过定点P(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数),|t|的几何意义是有向线段的长度,即P与M间的距离.
2.过定点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程是(a,b为常数,t为参数).当a2+b2=1时,|t|的几何意义是有向线段的长度,当a2+b2≠1时,|t|的几何意义是的长度的.
2.过点A(1,-5)的直线l1的参数方程为(t为参数),它与方程为x-y-2=0的直线l2相交于一点P,求点A与点P之间的距离.
解:
将直线l1的参数方程化为
(t为参数).
2+2=1且>0,令t′=2t,则将t′代入上述方程得直线l1的参数方程的标准式为
(t′为参数).代入x-y-2=0得
--2=0,解得t′=4,
∴|AP|=|t′|=4.
直线与圆锥曲线的位置关系
[例3] 已知直线l过点P(1,0),倾斜角为,直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,设线段AB的中点为M.
(1)求P,M两点间的距离;
(2)求线段AB的长|AB|.
[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用,解答此题需要求出直线的形如(t为参数)的方程,然后利用参数的几何意义求解.
[精解详析]
(1)∵直线l过点P(1,0),倾斜角为,cosα=,sinα=.
∴直线l的参数方程为(t为参数).①
∵直线l和椭圆相交,将直线的参数方程代入椭圆方程
并整理得5t2+2t-4=0,Δ=4+4×5×4>0.
设这个二次方程的两个实根为t1,t2.
由根与系数的关系得:
t1+t2=-,t1t2=-,
由M为AB的中点,根据t的几何意义,
得|PM|=||=.
(2)|AB|=|t2-t1|===.
1.在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中,若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题,利用直线参数方程中参数t的几何意义求解,比利用直线l的普通方程来解决更为方便.
2.在求直线l与曲线C:
f(x,y)=0的交点间的距离时,把直线l的参数方程代入f(x,y)=0,可以得到一个关于t的方程f(x0+tcosα,y0+tsinα)=0.假设该方程的解为t1,t2,对应的直线l与曲线C的交点为A,B,那么由参数t的几何意义可得|AB|=|t1-t2|.
(1)弦AB的长|AB|=|t1-t2|.
(2)线段AB的中点M对应的参数t=(解题时可以作为基本结论使用).
3.(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
解:
将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y2=4x,
得2=4,解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
本课时常考查直线参数方程的确定与应用,同时考查运算、转化及求解能力,高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题.
[考题印证]
(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:
(s为参数)和直线l2:
(t为参数)平行,则常数a的值为________.
[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系,以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法.
[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程.直线l1:
x-2y-1=0,直线l2:
2x-ay-a=0.因为两直线平行,所以1×(-a)=-2×2,故a=4,经检验,符合题意.
[答案] 4
[对应学生用书P26]
一、选择题
1.已知直线l过点A(1,5),倾斜角为,P是l上一动点,若以=t为参数,则直线l的参数方程是( )
A. B.
C.D.
解析:
选D ∵=t,∴=-t.
则参数方程为
即故选D.
2.直线(t为参数)的倾斜角是( )
A.20°B.70°
C.110°D.160°
解析:
选C 法一:
将原方程改写成
消去t,得y=tan110°(x-3),
所以直线的倾斜角为110°.
法二:
将原参数方程化为
令-t=t′,则
所以直线的倾斜角为110°.
3.直线(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(-4,5)B.(-3,4)
C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)
解析:
选C 设直线上的点Q(-2-t,3+t)与点P(-2,3)的距离等于,
即d==.
解得t=±.
当t=时,
∴Q(-3,4).
当t=-时,
∴Q(-1,2).
综上,符合题意的点的坐标为(-3,4)或(-1,2).
4.直线l经过点M0(1,5),倾斜角为,且交直线x-y-2=0于点M,则|MM0|等于( )
A.+1B.6(+1)
C.6+D.6+1
解析:
选B 由题意可得直线l的参数方程为(t为参数),代入直线方程x-y-2=0,得1+t--2=0,解得t=-6(+1).
根据参数t的几何意义可知|MM0|=6(+1).
二、填空题
5.过P(-4,0),倾斜角为的直线的参数方程为________.
解析:
∵直线l通过P(-4,0),倾斜角α=,
所以直线的参数方程为
即
答案:
6.若直线(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.
解析:
直线的斜率为-,
∴-×=-1,k=-6.
答案:
-6
7.已知直线l的参数方程是(t为参数),其中角θ的范围是,则直线l的倾斜角是________.
解析:
将原参数方程改写成消去参数t,
得y+2=(x-1)tan,由θ∈和倾斜角的范围可知直线l的倾斜角为-θ.
答案:
-θ
8.直线(t为参数)与圆x2+y2=1有两个交点A,B,若点P的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=________.
解析:
把直线的参数方程代入圆的方程,
得2+2=1,
即t2-6t+8=0,解得t1=2,t2=4,
∴A(1,0),B(0,1).
∴|PA|==,|PB|==2.
∴|PA|·|PB|=×2=4.
答案:
4
三、解答题
9.已知P为半圆C:
x2+y2=1(0≤y≤1)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解:
(1)由已知,M点的极角为,且M点的极径等于,
故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为,A(1,0),故直线AM的参数方程为(t为参数).
10.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆x2+y2=4相交于点A和点B,求点P到A,B两点的距离之积.
解:
(1)因为直线l过P(1,1),且倾斜角α=,所以直线l的参数方程为(t为参数).
(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,得2+2=4,
整理,得t2+(+1)t-2=0.
因为t1,t2是方程t2+(+1)t-2=0的根,
所以t1t2=-2.故|PA|·|PB|=|t1t2|=2.
所以点P到A,B两点的距离之积为2.
11.已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0,),F1,F2是圆锥曲线的左、右焦点.
(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线l的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程.
解:
(1)圆锥曲线化为普通方程是+=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率k==-,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率k′=,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是(t为参数),
即(t为参数).
(2)法一:
直线AF2的斜率k==-,倾斜角是120°,设P(ρ,θ)是直线AF2上任一点,则根据正弦定理得=,
即ρsin(120°-θ)=sin60°,
即ρsinθ+ρcosθ=.
法二:
直线AF2的直角坐标方程是y=-(x-1),
将代入得直线AF2的极坐标方程:
ρsinθ=-ρcosθ+,即ρsinθ+ρcosθ=.