高中数学计数原理综合检测试题及答案.docx
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高中数学计数原理综合检测试题及答案
高中数学计数原理综合检测试题及答案
第一章计数原理综合检测
时间120分钟，总分值150分。
一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．C7n＋1－C7n＝C8n〔nN*〕，那么n等于〔〕
A．14 B．12
C．13 D．15
[答案] A
[解析] 因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1.
7＋8＝n＋1，n＝14，应选A.
2．设f〔x〕＝〔2x＋1〕5－5〔2x＋1〕4＋10〔2x＋1〕3－10〔2x＋1〕3－10〔2x＋1〕2＋5〔2x＋1〕－1，那么f〔x〕等于〔〕
A．〔2x＋2〕5B．2x5
C．〔2x－1〕5D．〔2x〕5
[答案] D
[解析] f〔x〕＝C05〔2x＋1〕5〔－1〕0＋C15〔2x＋1〕4〔－1〕1＋C25〔2x＋1〕3〔－1〕2＋C35〔2x＋1〕2〔－1〕3＋C45〔2x＋1〕－1〔－1〕4＋C55〔2x＋1〕0〔－1〕5＝[〔2x＋1〕－1]5＝〔2x〕5.
3．〔2019济南高二期末〕将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为〔〕
A．18B．24
C．30D．36
[答案] C
[解析] 此题主要考察排列组合的知识．
不同分法的种数为C24A33－A33＝30.
4．〔1＋x〕＋〔1＋x〕2＋…＋〔1＋x〕n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn〔nN*〕，假设a0＋a1＋…＋an＝30，那么n等于〔〕
A．5B．3
C．4D．7
[答案] C
[解析] 令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有〔〕
A．20种B．30种
C．40种D．60种
[答案] A
[解析] 由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C35＝10〔种〕，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法数共有20种，应选A.
6．〔2019全国Ⅱ理，6〕将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，假设每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，那么不同的放法共有〔〕
A．12种B．18种
C．36种D．54种
[答案] B
[解析] 把标号为1,2的卡片作为一个整体，放入同一信封有C13种放法，然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．
7．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，那么小组中的女生数为〔〕
A．2B．3
C．4D．5
[答案] A
[解析] 由题意可用排除法，设有女生x人，那么有男生6－x人，于是有C36－C36－x＝16，即〔6－x〕〔5－x〕〔4－x〕＝24，将各选项逐个代入验证可得x＝2.
8．〔2020陕西理9〕从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕
A．300B．216
C．180D．162
[答案] C
[解析] 本小题主要考察排列组合的根底知识．
由题意知可分为两类，
〔1〕选“0〞，共有C23C12C13A33＝108，
〔2〕不选“0〞，共有C23A44＝72，
由分类加法计数原理得72＋108＝180，应选C.
9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不一样的分配方案共有〔〕
A．252种B．112种
C．20种D．56种
[答案] B
[解析] 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定．
有C27＋C37＋C47＋C57＝112种．
10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，那么这样的的子集共有〔〕
A．10个B．16个
C．20个D．32个
[答案] D
[解析] 〔1,10〕〔2,9〕〔3,8〕〔4,7〕〔5,6〕．C12C12C12C12C12＝32.
11．〔2019全国Ⅰ理，6〕某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有〔〕
A．30种B．35种C．42种D．48种
[答案] A
[解析] 可分以下2种情况：
〔1〕A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；〔2〕A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法．所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种．
12．直线ax＋by－1＝0〔a，b不全为0〕与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有〔〕
A．66条B．72条
C．74条D．78条
[答案] B
[解析] 先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有〔1,7〕〔5,5〕〔7,1〕，依圆的对称性知，圆上共有34＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C212＝66〔条〕，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72〔条〕．
二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上〕
13．假设把英语单词“good〞的字母顺序写错了，那么可能出现的错误共有________种．
[答案] 11
[解析] 因为good有两个一样字母，所以可能出现错误为A44－3A22A22－1＝11种．
14．〔21010四川理，13〕2－13x6的展开式中的第四项是________．
[答案] －160x
[解析] 2－13x6的展开式中第4项为
T4＝C3623－13x3＝－160x.
15．假如把两条异面直线看成“一对〞，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．
[答案] 24
[解析] 由六棱锥图形分析可知，一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线，故完成这件事分两步：
第一步从六条侧棱中任取一条，有六种方法；第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条，有四种方法．根据乘法原理，有64＝24〔对〕．
16．〔2019江西文，14〕将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆效劳，不同的分配方案有________种〔用数字作答〕
[答案] 90种
[解析] 此题考察了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C25C23C11A22，再把三组分配乘以A33得：
C25C23C11A22A33＝90种．
三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔本小题总分值10分〕设32＋133的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：
6，求展开式中的第7项．
[解析] T7＝C6n〔32〕n－61336，
Tn－7＋2＝Tn－5＝C6n〔32〕6133n－6.
由C6n〔32〕n－61336C6n〔32〕6133n－6＝16，化简得6n3－4＝6－1，所以n3－4＝－1，所以n＝9.所以T7＝C69〔32〕9－61336＝C39219＝563.
[点评] 〔1〕此题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能纯熟地应用通项公式写出所需的各项．
〔2〕此题的解题思路本质是利用方程思想列出方程，解出n，这是解此题的关键．
18．〔此题总分值12分〕A＝{x|1log2x3，xN*}，B＝{x||x－6|3，xN*}，试问：
从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
[解析] A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．
〔1〕从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有55＝25〔个〕，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有55＋5＋4＝34个不同的点；〔2〕AB＝{3,4,5,6,7,8}，C36＝20〔个〕；〔3〕A中取3，那么3不能作为首位有C35C13A33＝180〔个〕；A中不取3，相当于从4,5,6,7,8中取4个数的全排列有A45＝120〔个〕，共有300个符合要求的自然数．
[点评] 注意A，B两集合中一样的元素在组合为点的坐标时无顺序之分．
19．〔此题总分值12分〕求〔x－3x〕9的展开式中的有理项．
[解析] Tr＋1＝Cr9〔x〕9－r〔－3x〕r＝〔－1〕rCr9x27－r6.因为27除以6的余数为3，要使27－r6为整数，r必为3的奇数倍．因为09，所以需检验当r＝3和9时27－r6的值．当r为3和9时，27－r6分别为4和3，所以展开式中的有理项为T4＝〔－1〕3C39x4＝－84x4，T10＝〔－1〕9C99x3＝－x3.
[点评] 要求展开式中的有理项，必须观察展开式通项公式中x的指数，当r取什么值时，能使x的指数为整数．
[拓展] 在求使27－r6为整数的r值时，一方面要注意r的取值范围是09，另一方面还要尽可能观察、分析r需要满足的条件，以减少检验的次数，例如，假设仅注意到r为3的倍数，那么需检验r分别为0,3,6,9时，27－r6的4个值，然后再进展取舍．有时题中不是求出有理项，而是问第几项是有理项，这时应注意，求出的r表示第r＋1项是有理项．
20．〔此题总分值12分〕把7个大小完全一样的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．
〔1〕假如三个盒子完全一样，有多少种放置方法？
〔2〕假如三个盒子各不一样，有多少种放置方法？
[解析] 〔1〕∵小球的大小完全一样，三个盒子也完全一样，把7个小球分成三份，比方分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子，不管哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即〔7,0,0〕、〔6,1,0〕、〔5,2,0〕、〔5,1,1〕、〔4,3,0〕、〔4,2,1〕、〔3,3,1〕、〔3,2,2〕．
共计有8种不同的放置方法．
〔2〕设三个盒子中小球的和分别为x1，x2，x3，显然有：
x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，假设令yi＝xi＋1〔i＝1,2,3〕由y1＋y2＋y3＝0，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间的9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，不定方程的解有C29＝36组．
21．〔此题总分值12分〕某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？
[解析] 解法一：
除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：
〔1〕4个名额全部给某一个班级，有C16种分法；〔2〕4个名额分给两个班级，每班2个，有C26种分法；〔3〕4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A26种分法；〔4〕分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C16C25种分法；〔5〕分给四个班，每班1个，共有C46种分法．
故共有N＝C16＋C26＋A26＋C16C25＋C46＝126种分配方法．
解法二：
该问题也可以从另外一个角度去考虑：
因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个一样的球，要把这10个球分开成6段〔每段至少有一个球〕．这样，每一种分隔方法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间〔不含两端〕共有9个空位，如今要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C59＝126种放法．
故共有126种分配方法．
22．〔此题总分值12分〕3a－3an〔nN*〕的展开式的各项系数之和等于43b－15b5的展开式中的常数项，求3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数．
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
〞我加以肯定说“这是乌云滚滚。
〞当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
〞一会儿下起了大雨，我问：
“雨下得怎样?
〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨〞这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。
[解析] 对于43b－15b5：
Tr＋1＝Cr5〔43b〕5－r－15br＝Cr5〔－1〕r45－r.假设Tr＋1为常数项，那么10－5r＝0，所以r＝2，此时得常数项为T3＝C25〔－1〕2435－1＝27.令a＝1，得3a－3an展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n＝27，所以n＝7.对于3a－3a7：
Tr＋1＝Cr73a7－r〔－3a〕r＝Cr7〔－1〕r.假设Tr＋1为a－1项，那么5r－216＝－1，所以r＝3.所以3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数为C37＝35.
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
〞我加以肯定说“这是乌云滚滚。
〞当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
〞一会儿下起了大雨，我问：
“雨下得怎样?
〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨〞这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。
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