该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：
连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.
4）约数个数定理：
设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）
所有约数和：
（1+P1+P1
+…p1
）（1+P2+P2
+…p2
）…（1+Pk+Pk
+…pk
）
[讲解练习]：
1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。
（1996年小学数学奥林匹克初赛）
5）用[a,b]表示a和b的最小公倍数，（a,b）表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×（a,b）。
[讲解练习]：
两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。
（迎春杯刊赛第10题）
6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：
3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）
7）平方数的总结：
小生初四个考点：
1：
平方差A
-B
=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
[讲解练习]：
8
-7
+6
-5
+4
-3
+2
-1
=＿＿。
2：
约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：
1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：
质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：
a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:
平方和。
8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
公式需牢记
做题有信心！
9）周期性数字：
abab=ab×101
[讲解练习]：
2005×20062006-2006×20052005=＿＿。
四、典型例题解析
1数的整除
【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：
不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。
而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：
现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手
【解】：
5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。
这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【解】：
各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：
一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？
【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人？
【来源】：
12年理工附入学测试题
【解】：
男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
2质数与合数（分解质因数）
【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?
【解】：
先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。
由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。
而能分解出5的一定是5的倍数。
注意：
5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×401684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。
因此□里最小是4。
[拓展]：
2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____
【例6】（★★★）03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
【解】：
看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A
，04年的为B
，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B
-A
=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以B
-A
=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。
[拓展]：
一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？
（清华附中测试题）
3约数和倍数
【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【解】：
边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷847=2…308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数
【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？
【解】：
100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。
这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：
在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？
【例9】（★★★）1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？
【解】：
最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10个2。
【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）
【解】：
1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。
不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
4数论的综合题型
【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：
这一家的电话号码是什么数？
【解】：
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数（i=1,2,…,12）因此x是1，2，….12的公倍数
[1,2,…..12]=27720
所以x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4
所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1m取14合适；
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
[拓展]：
写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？
【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）
【解】：
1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。
不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）数的整除。
参见例1，2，3，4
2）质数与合数（分解质因数）。
参见例5，6
3）约数和倍数。
参见例7，8，9，10
4）数论的综合题型。
参见例11，12
【课外知识】
打开另一扇心窗
很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。
莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。
稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。
不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。
浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。
黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。
莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。
她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。
后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。
启迪：
莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。
不要总以为自己是最倒霉的。
其实，上苍很公平。
有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐
作业题
（注：
作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2
1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
解：
1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×（1+2+……+11）=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555
2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占
，得80～89分的人数占
，得70～79分得人数占
，那么得70分以下的有________人。
解：
有
、
、
，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。
从而70分以下的有：
42×
＝1人。
3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
解：
枚举法：
23，37，53，73，，有4个
4.（★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？
解：
这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）
和的最小值为31。
5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？
解：
设中间一个数为2x
那么5个数的和为10x=m^2
中间3个数的和为6x=n^3
设x=2^p×3^q×5^r
再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3
X=36000
因此所求为2x+4=72004
6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解：
A
-B
=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。
7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．
【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是
=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是
=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．
8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．
【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；
取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
不是整数；
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．
故5、7、59是满足题意的三个质数．
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