学生4份第1 讲 三角形的线段.docx

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学生4份第1讲三角形的线段

第1讲

与三角形有关的线段

知识精讲

知识点1.三角形

三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

知识点2.三角形的分类

三角形按边分类：

等边三角形是特殊的等腰三角形。

知识点3.三角形三边关系

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

用数学表达就是：

记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，

求第三边长度的范围：

|a－b|＜c＜a＋b

要求会的题型：

①、数三角形的个数

方法：

分类，不要重复或者多余

②、给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形

方法：

最小边＋较小边＞最大边（最小两边之和＞第三边）

③、给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形

方法：

从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围

方法：

第三边长度的范围：

|a－b|＜c＜a＋b

⑤、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长

方法：

因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

知识点4.三角形的高、中线、角平分线

1.三角形的高

从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2.三角形的中线

连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3.三角形的角平分线

∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：

三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”

要求会的题型：

①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度

方法：

利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

知识点5.三角形的稳定性

1.三角形具有稳定性

2.四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考点精讲

考点1、三角形、分类

例1、三角形是（　　）

A．连接任意三点组成的图形

B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形

C．由三条线段组成的图形

D．以上说法均不对

例2、如图所示，以BC为边的三角形共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3、下列说法正确的有（）

①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

A．①②B．①③④C．③④D．①②④

例4、若三角形三边之比为3：

4：

5，周长为24，则三角形的三边分别为．

例5、△ABC的周长为22cm，AB边比AC边长2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长.

举一反三：

1、三角形按边分类可分为（）

A、等腰三角形和等边三角形

B、钝角三角形、锐角三角形和直角三角形

C、等腰三角形和不等边三角形

D、等边三角形和不等边三角形

2、一位同学用三根木棒拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）

A．①B．②C．③D．④

3、三角形的周长为12，且三边a,b,c有如下关系a=b+1,b=c+1,则a,b,c的长分别为多少？

4、△ABC周长为120，已知CB比CA长28，CB比AB短4，求三边长各为多少？

5、已知△ABC的周长为38cm．最长边与最短边之差为7cm，最长边与最短边之和为27cm，求△ABC各边的长．

考点2、三角形的高、中线、角平分线：

例1、如图，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，MN∥BC，若AB=36，AC=24，则△AMN的周长是（　　）

A．60    B．66   C．72     D．78

例2、三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　）

A．中线    B．角平分线C．高线      D．中位线

例3、如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC="3"cm，BC="4"cm，AB="5"cm，则点C到AB的最短距离等于      cm。

例4、如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．

例5、如图，AD为△ABC的中线,

（1）作△ABD的中线BE；

（2）作△BED的BD边上的高EF；

（3）若△ABC的面积为60，BD=10，则点E到BC边的距离为多少？

举一反三：

1、钝角三角形的内心在这个三角形的（）

A．内部　　　B．外部　　　C．一条边上　　D．以上都有可能

2、如图,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,则∠BOC=_________.

3、如图，在

中,

，

分别是

和

的角平分线，且

，

，则

的周长是______

.

（2）（3）

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D.（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线后，求∠BDC的度数．

5、如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且

＝4，则

的值为多少?

考点3、三角形三边关系

例1、长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）

A．4B．5C．6D．9

例2、a、b、c为三角形的三边长，化简：

｜a+b+c｜-｜a-b-c｜-｜a-b+c｜-｜a+b-c｜，结果是（）

A、0B、2a+2b+2cC.4aD.2b－2c

例3、已知一个三角形的三边长都是整数，且其中两条边长分别为21和2002，则这样的三角形共有______个．

例4、已知a,b,c是△ABC的三边，a,b满足|a-4|+（b-2）²=0,c为奇数，求△ABC的周长

例5、如图，点O是△ABC内的一点，证明：

OA+OB+OC＞

（AB+BC+CA）

举一反三：

1、若△ABC的周长为20，则AB的长可能为（）

A．8B．10C．12D．14

2、三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（）

A.3＜x＜8B.5＜x＜13C.3＜x＜13D.8＜x＜13

3、△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有___个．

4、已知三角形三条边分别为a+4,a+5,a+6,求a的取值范围.

5、已知a，b，c分别为△ABC的三边长且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6

（1）求c的取值范围；

（2）若△ABC的周长为18，求c的值

考点4、三角形的稳定性

例1、如图，工人师傅砌门时，常用木条

固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A、两点之间直线段最短       B、矩形的稳定性

C、矩形四个角都是直角       D、三角形的稳定性

例2、如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）

A．A、C两点之间B．E、G两点之间

C．B、F两点之间D．G、H两点之间

（例2）（例3）

例3、如图，6根钢管交接成六边形钢架ABCDEF，要使钢架稳定且不能活动，最少还需    根钢管．

例4、工人师傅要将边长为4m和3m的平行四边形框架固定，现有下列长度的木棒，在木棒的两端钉上达到固定平行四边形的目的，不符合要求的是（）

A．2mB．3mC．4mD．8m

例5、如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接。

要求：

（1）在图

（1）、

（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同连接方案；

（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加几根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用？

（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是什么？

举一反三：

1、如图．小王爸爸用四根木条钉成一个平行四边形木架，要使木架不变形，他至少要钉上木条的根数为（）

A．0 根B．1根C．2根D．3根

2、在现实的生产、生活中有以下四种情况：

①用“人”字梁建筑屋顶；②自行车车梁是三角形结构；

③用窗钩来固定窗扇；④商店的推拉防盗铁门．

其中用到三角形稳定性的是（）

A．①②B．②③C．①②③D．②③④

3、下列图形中，不具有稳定性的是（）

A．

B．

C．

D．

4、六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）

练习

1、如图，共有三角形的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

2、三角形的角平分线是（）

A．直线B．射线C．线段D．以上均不对

3、下列说法错误的是（ ）

A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 

D．三角形的三条高可能相交于外部一点

 4、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）

5、若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）

A．6B．7C．11D．12

6、木匠师傅在做完门框后，为防止门框变形，常象如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（）

A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性

C．矩形的四个角时直角D．长方形的对称性

7、如图所示，图中有    个三角形，    个直角三角形．

8、如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80º，∠BCD=70º，则∠AED=  .             

9、如图，在∆ABC中，AM是中线，AD是角平分线，AH是高，则有下列结论：

（1）BM＝    ＝

    ;

（2）∠CAD＝∠   ＝

________;

（3）∠     ＝∠   ＝90°.

10、三角形的三边长分别为5，1+2x，8，求x的取值范围．

11、已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3：

2，求这个三角形各边的长．

12、△ABC中，AB=BC=CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H.求证OP+OM+ON=AH

13、已知a、b、c是三角形ABC的三条边长,试化简|a-b-c|+|a-b+c|+|a+b-c|。

14、CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,BC＝8cm,求边AC的长。

提高训练

1、甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为。

2、如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则：

（1）∠A1=______度；

（2）∠A2013=______度．

3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数；

（3）探究：

有同学认为，不论∠B，∠C的度数是多少，都有∠DAE=

（∠B-∠C）成立，你同意吗？

你能说出成立或不成立的理由吗？

4、如图，P为△ABC内任意一点，求证：

AB+AC＞PB+PC．

5、A，B，C三家工厂，B，C的产量为a吨，A厂产量为2a吨，现需建一仓库D，AD等于x千米，BD等于y千米，CD等于z千米，每吨货物运行1千米需要费用10元，则总费w与x之间的关系式为，D选在何处时w最小？

作业

1、如图，图中三角形的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

2、下列说法正确的是（）

A．直角三角形只有一条高    B．三角形的外角大于任何一个内角

C．三角形的角平分线是射线    D．三角形的中线都平分它的面积

 3、如图，D．E分别为∆ABC的边AC．BC的中点，则下列说法不正确的是（　）

A．DE是∆ABC的中线      B．BD是∆ABC的一条中线

C．CＥ是AB边上的中线    D．BD是边AC上的中线

 4、下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）

A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，10

5、下列说法错误的是（）

A．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分

B．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点

C．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点

D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部

6、如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，DF处加三根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）

A．长方形的四个角都是直角B．长方形的对称性

C．三角形的稳定性D．两点之间线段最短

7、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是

三角形．

8、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是______三角形.

9、过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；

（1）其中以AB为一边可以画出_________；

（2）其中以C为顶点可以画出_________．

10、如图：

（1）在△ABC中，BC边上的高是______．

（2）在△AEC中，AE边上的高是______．

（3）在△FEC中，EC边上的高是______．

（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC=______cm2，CE=______cm．

11、如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？

五边形木架和六边形木架呢？

如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上几根木条才能不变形呢？

请在下面画出草图．

12、如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．

13、已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是多少？

14、“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：

分米）的不同规格的三角形木框。

（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有_________种；

（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元?

分米，问至少需要多少钱购买材料？

（忽略接头）

15、如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．

（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE=______；

（2）若∠C-∠B=30°，则∠DAE=______；

（3）若∠C-∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；

（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：

角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：

∠DAE=-18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？

______；若∠DAE=-7°，则∠B-∠C=______°．