第一章三角形的证明汇编.docx

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第一章三角形的证明汇编

第一章三角形的证明

本章总体介绍

本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.

在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：

1.等腰三角形的性质和判定定理；

2.直角三角形的性质定理和判定定理；

3.线段的垂直平分线性质和判定定理；

4.角平分线性质定理和判定定理。

1.等腰三角形

（一）

一、教学目标：

1．知识目标：

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；

在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；

熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2．能力目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；

3．情感与价值目标

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；

培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

4．教学重、难点

重点：

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点：

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

二、教学过程

学生课前准备：

一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；

教师课前准备：

制作好的几何画板课件.

第一环节：

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。

活动目的：

经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。

活动效果与注意事项：

由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。

具体证明如下：

已知：

如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.

求证：

△ABC≌△DEF.

证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-（∠A+∠B），

∠F=180°-（∠D+∠E），

∴∠C=∠F（等量代换）。

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

第二环节：

折纸活动探索新知

活动内容：

在提问：

“等腰三角形有哪些性质？

以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？

”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。

具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

→

→

活动目的：

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

第三环节：

明晰结论和证明过程

活动内容：

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

活动目的：

和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。

第四环节：

随堂练习巩固新知

活动内容：

学生自主完成P4第2题：

如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

活动目的：

巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。

第五环节：

课堂小结

活动内容：

让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

活动目的：

形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。

第六环节：

布置作业

三、教学反思

1.等腰三角形

（二）

一、教学目标：

1．知识目标：

①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2．能力目标：

①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉；

3．情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

4．教学重、难点

重点：

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

二、教学过程

第一环节：

提出问题，引入新课

活动内容：

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

活动目的：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

第二环节：

自主探究

活动内容：

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

第三环节：

经典例题变式练习

活动内容：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

活动目的：

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

第四环节：

拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：

如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：

∠A=∠B=∠C=60°.

证明：

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

第五环节：

随堂练习及时巩固

活动内容：

在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

1.

如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

活动意图：

在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

第六环节：

探讨收获课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，

第七环节：

布置作业

三、教学反思

1.等腰三角形（三）

一、教学目标：

1．探索等腰三角形判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

4.培养学生的逆向思维能力。

二、教学过程

第一环节：

复习引入

活动过程：

通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？

这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？

活动意图：

设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。

学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。

第二环节：

逆向思考，定理证明

活动过程与效果：

教师：

上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?

也就是：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．

[师]你是如何想到的?

[生]由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．

[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．

[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．

[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：

等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．

第三环节：

巩固练习

活动过程与效果：

将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。

引导学生进行分析。

已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．

求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

第四环节：

适时提问导出反证法

活动过程与效果：

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?

我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?

如果成立，你能证明它吗?

有学生提出：

“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：

上一道面的证法有什么共同的特点呢?

引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义．

第五环节：

拓展延伸

活动过程与效果：

在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2个练习。

一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。

另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。

学生在独立思考的基础上再小组交流。

1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长..

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?

第六环节：

课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路

第七环节：

布置作业：

三、教学反思：

1.等腰三角形（四）

一、教学目标：

1．知识目标

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求

①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

①等边三角形判定定理的发现与证明.

②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

4．教学难点

①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

②引导学生全面、周到地思考问题.

二、教学过程

学具准备：

两个带30度角的三角板。

第一环节：

提问问题，引入新课

活动内容：

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课。

活动目的：

开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

活动效果：

在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。

这是教师可以适时提出问题：

如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

下面是实际教学中的部分师生活动实况：

[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．

[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．

（此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．）

[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!

[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?

下面同学们可在小组内交流自己的看法．

（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?

你能证明你的结论吗?

把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

第二环节：

自主探索

活动内容：

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等腰三角形（含等边三角形）

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

有一角是60°

等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

活动目的：

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

第三环节：

实际操作提出问题

活动内容：

教师直接提出问题：

我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：

含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?

能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

活动目的：

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

第四环节：

变式训练巩固新知

活动1：

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?

如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°

证明：

延长BC至D，使CD=BC，连接AD.

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

注意事项：

该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：

从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？

活动2：

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

分析：

观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=

AC=

×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

活动目的：

在例题求解中巩固新知。

第五环节：

畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：

布置作业

三、教学反思

2．直角三角形

（一）

一、教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．能力目标：

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．教学重点、难点

重点

①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

难点

勾股定理及其逆定理的证明方法．

二、教学过程

1：

创设情境，引入新课

通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?

B1C1呢?

解：

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，

∴BC＝

AB＝

×10＝5cm．

∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°

又∵∠A+∠B＝90°

∴∠BCB1＝∠A＝30°

在Rt△ACB1中，BB1＝

BC＝

×5＝

cm＝2．5cm．

∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5（cm）．

∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°

∴B1C1＝

AB1＝

×7.5＝3.75（cm）．

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：

“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?

”从而引入勾股定理及其证明。

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?

请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．

2：

讲述新课

阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．

（1）．勾股定理及其逆定理的证明．

已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：

a2+b2＝c2．

证明：

延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE（如图），则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．

∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE＝

（a+b）（a+b）＝

（a+b）2．

∴∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

∴S△ABE＝

c2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

∴

（a+b）2＝

c2+

ab+

ab,

即

a2+ab+

b2＝

c2+ab,

∴a2+b2＝c2

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?

师生共同来完成．

已知：

如图：

在△ABC中，AB2+A