外接球与内切球解题方法.docx
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外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球
一、有关定义
L球的定义；空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面*简称球。
Z外接球的定义：
若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上.则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
■内切球的定义:
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面
体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法
I.性质：
性质1：
过球心的平面截球面所得圆星大圆’大圆的半径与球的半径相等；
性质宀经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；
性质3:
过球心与小圆圆心的貞线垂直于小圆所在的平面（类比：
圖的垂径定理
性质4:
球心在大圆面利小圆面上的射影是相应圆的圆心：
性质攵在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比；在同圆中.两相交弦的中垂线交点是圆心）.
结论口长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2;若由长育体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论3：
长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆園心，换言之，就是：
底面的一条対角线与一条高｛檯）构成的直角三角形的外接圆是大圆;
结论4：
圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处i
结论5:
圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线I外接圆直径）是球的直径,
结论忙直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；
结论7;圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；
结论乩圆锥体轴裁面等腰三角形的外接圆是大圆，i亥三角形的外接圆直径是球的直径,
结论9:
侧梗相等的梗推的外接球与该槓锥外接圆锥有相同的外接球一
3.终极利器1勾股定理*正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度"
三、内切球的有关知识与有法
L若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直訂与直线切圆的结论有一致性）N内切球球心到多面体各面的距离均相等.外接球球心到多面休各顶点的距离均相等。
｛类比；与多边形的内切圖|
1正多面休的内切球和外接球的球心重合.
4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上i但不一左重合。
录基本方法:
（i）构造三角形利用相似比和勾股定理；
⑵体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.
四、八大模型
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（伙）牛寸，即
|求岀代
例1{1）己知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为斗*体积为"，则这个球的表面积是］C）
A.16-rB.20更C.24.TD.32jt
解：
r=£/'/?
=16,a-2,4/^=tj2+A2^4+4+16=24,S=24^,选C：
仪）若三樟锥的三个侧面两两垂首*目侧棲长均为"3.则且外接球的表面积是
解：
4宀3+23=9,"=4秋？
=加；
⑶在正三棱^tS-AHC中，饮N分别Stt.SC.BC
的中点，且卫M丄ME若侧梭浙=2石，则正三梭锥
—ABC外接球的表面积是.36^
⑶的“引理）
M：
引理：
正三棱锥的对棱互相垂直证明如下：
如
取AB^aC的中点D,£t连接A&CD,AEfD交于巧连接册、则H
是底面正二角形』的中心，
SH丄平面AHC,:
.SH丄AH,
VAC=BC,AD=BD,.\CD1AB,:
.AB丄平面SCD.
丄W,同理：
HC1SA,ACLSH,即正三按锥的对援互垂直,
本题图如图（3卜2,7AM丄MJSB;7,
/.AM±SH丄、目./.SitL平面SAC,
/.SB丄彭，SR丄5匸，■/SB丄X4,BCISA,
二站丄平面豳6二M丄虻，
故三檯锥.、-』啟曲三棱条侧棱两两互相垂直|
，■-（2/f）*=（2<3）2+（2V3）2十（2』1）'=3右,即H卅=36
M）&2
二正三棱锥S-AfiC^接
球的表面积是％厂
（4）在四面体S^ABC+,SALflhi.4/JCTZBAC=120；SA=AC^2,AB=1.!
!
l|iS
四面体的外接球的表面积为（D>
AAfi.7^/>—
33
外扌妾球直径为
>/72V7
sinABAC
2
（2/?
）--（2^）2+X43=
40
"紅在A/IB「中，fi€2=JC2+-2/lfl■/?
C■cm120^=7,flC=V7,MBC^
朽）如果三楼锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为4.3,那么它的外接球的表面积是解：
由已知得三条测橈两两垂竄，设三条侧核长分别为则
ab=\2
*be—8,ifbc—24、/.a=3t=4,u=（2/f）'=o'+bi1+c1—29t
uc=6
S=4叔-2%,
｛心已知臬几何体的三视图如图所示*三视图是腰长为1的等腥直角三角形和边长
为】的正方形.则该几何体外接球的体积为
解：
=£/+A2+r2=3,/?
=扌*
8
第二步：
设出长方体的长宽高分别为柑上《・AD
砧=「"=y,/KiDy,歹I］方程纟目,
类型二.对按相等模型（补形为长方体｝題设：
三樓锥4即四面体｝中.已知三组对棱分别相等.求外接球半径
AJ）=H（\AC=HD）[来源：
简单高中±dDjiandanlOOcn）]第一步：
画出一个恢方体，标出三组互为异面直线的对橈;
u?
+b7=jc1
「：
、2x2+v:
+z?
4B+c=y=>（2町-a~+扩+c=
2
22t
c+a
补充；图2J中，Viabc——（ibcx4-—abc.
63
2斎产戸，宀十，晴产書'求岀
1C思考：
如何求棱长为灯的正四面体体积，如何求其外接球体积？
例2｛】）如下图所示三樓锥A-in1）,其中AB=CD=5,AC=BD=（>yAJJ=B（h=7,
则该三棱锥外接球的表面积为解：
对棱相等.补形为长方体，如图2J,设长宽高分别为氐肛，
2（a:
+A?
+e2）=25+36+49=HO,a2+b-+c2=55,=55,S=55^
iilteFf
（2）在三棱锥才一*CD中，AB=CD=2tAD=BC=3tAC二RD",则三梗锥
A月「"外接球的表面积为
29—托
解；如图2-1,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为aj\c,则lP+//=9,
b'+e:
=4,e-+cty=16二2（/+//+以）二9+4丰16_29.
2（^+^+?
）-9+4+16-29,
丄“229“29”29
a*+b^+c'-——]4R=——,S=——K
“）正四面体的各条棱长都为、行，则该正面体外接球的体积为
解：
正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，汕二的，R更,
382
（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个珠面上，若过该球球心的一个截面
如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
心）题解落图
解：
如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为W面积是
类型三、汉堡模型（直梭柱的外接球、圆柱的外接球｝
题设匕如图X,图12图口•直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,
棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：
确定球心0的位置.。
是虫仍「的外心，则OQ丄平面ABC;
第二步：
算出小Hlq的半径A0}-r,0（^AAX=~也是园柱的高h
雋三步：
勾股定理：
OA2^（\A2+Op匸P二（少""二J宀（分I解出1<例3
（1）"个正六棱柱的底面上正六边形，其侧擡垂直于底面，已知诩六橈柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为？
，底面周长为趴则这个球的体积
8
为
解：
设正六边形边长为一正六搂柱的高为力，底面外接圆的半径为「则自=丄，
2
正六棱柱的底面积为空JFn®*卩=如空h丄，-.h=4^t
42888
4用=I-+（问】=4
也可炉=（¥尸+（》=订，/?
=1,球的体枳为
⑵直三橈柱ABCA^（\的各顶点都在同一球面上+若
AH-AC=AAx-2tZBAC=120°,则此球的表面积等于
JA
（3）已知AA4A所在的平面与矩形AHCD所在的平面互相垂直1EA卜”H=3,AD-2,-60’
则多面体E-ABCh的外接球的表面积
解：
折叠型
法一：
月"的外接圆半径为斤二VJ*（）（\=It/<=VF+3=2；
法二：
（）,y-上丄*a=O.D=^^~）R~=—+—=4,R=2*5\=I（
2244
法三：
补形为直三棱柱.可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略一换一种方式，通过筒圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：
（2/if=（2V3）:
+21=l6t=16sc;
⑷在直三棱柱AlfC-A^C,中，,则直三棱柱
AHC-A^（\的外接球的表面积为
160——宾
3
解:
法一:
H（1=16+36—2+4-6-丄=：
2趴执*=2寸7*2「二—^=~—fr=—f=~*2V3V3v3
2
5=28+4=40160
33F3
法二：
求圆柱的轴載面的对角线长得球頁径’此略
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂言且交于小圆直径一正弦定理求大圆
直径是通法｝
l•如图4<平面PACL平面ABC,且AB丄BC（即兄「为小圆的直径h且P的射影是A4H「的外心0三棱锥D眩的三条侧棱相等Q三橈P-ABC的底面「在圆锥的底上，顶点戶点也是圆锥萌顶点.
解题步骤：
第一步：
确定球心O的位翼'取也刃『「的外心Q,则Pg三点共线：
第二步：
先算出小圆"的半径g-心再算岀棱锥的高W,=A（也是圓锥的高）;
第三步：
勾股定理:
OA2=0.A-+O}O~R-=（h-R）1+r2,解岀心
事实上，乂屮的外接圓就是大圆，直接用正弦定理也可求解出出
Z如图4・2,平面旳「丄平面ABC,且ABLBC（即/!
「为小圆的直径），且
旳丄则
利用勾股定理求三棱锥的夕卜接球半径=
1（2Rf=PA1+（2r）5o2R=J户才+（"）：
；
2用"+0（）；OR二J宀（）0：
*如图4九平面阳「丄平面ABC.且M丄处（即祀为小圆的亶径）
OC2=Ol€-^（）l（）ioR，=宀0"oAC=2yjRl-0,（^
4题设：
如IB4气平面必「丄平面AHCt且AH1fiC（即M「为小圆的直径）
第一步：
易知球心和必是\PAC的外心，即MfAC的外接圆是大圆，先求出小圆
的直径AC=-r\[来源；管单髙中生（ID:
jiandaii]OOcii）]
第二步：
在M^AC中，可根据正弦定理~=^-=^_=2Ri求出乩
sinAsinJ?
sin（
例斗（I）正四棱锥的顶点都衽同一球面上*若该棱锥的高为I,底直边长为九3,
则该球的表面积为‘
解：
法一：
由正弦定理（用大圜求外接球直径）；法二：
找球心联合勾股定理、
2/f=7,鸟二4咄工二49抨匚
（2）正四棱锥XABCD的底面边低和各侧橈诠都为各顶点都在同一球面上,
则此球体积为
解;方法一：
找球心的位置'易加二—5故球心在正方形的中心ABCD
4jt
处，RJr=y
方法二：
大圆是轴戯面所的外接圆，即大圆是\SAC的外接圆、此处特殊'的斜边是球半径I2/e=2（/e=lfK=y
（盯一个正三棱锥的四个顶点都在半径为I的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上’则该正三棱锥的体积是｛
】2
解：
高ARI,底面外按圆的半径为用1,直径为2用2
设底面边长为"则述侖也“巧小冲宀乎三棱锥的体积
⑷在三複锥―加「中，P"吩H上忑舰棱阳与底面AHC所成的角为
GO',则该三棱锥外接球的体积为（
C4,t
A,JT
D竺
3
解:
选6由线面角的知识，得耳厅「的顶点AJkC在以尸-弓为半径的圆上.
在圆锥中求解，R二1;
⑸已知三棱锥片AHC的所有顶点都在球“的求面上曲冷*是边长为I的正三
角形为球门的直径，且M=2,则此棱锥的体积为（）A
cf
类型五.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1题设：
如图5,PAL平面ABCt求外接球半径.
解题步骤：
第一步：
将「画在小圆面上；"为小圆直径的一'^端点，作小圆的直径初，
连接蚀则户"必过球心f八
第二歩：
q为mm'的外心.所W（）（\丄平面Afi（,算出小圆q的半径
0D=/■（三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理■得」一二亠二亠二廿hsmAsinBsm（
g-PA
12
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
二PA7+（2尸『<=>2/?
=“才+（巧；
②RSOO：
0/?
=（宀00：
.
2题设：
如图头I至,8这七个图形，尸的射影是MBC的外心o三棱锥P-ABC
的三条侧棱相等o三棱锥P-AHC的底面在圆锥的底上，顶点P点也是
第一步：
确定球心o的位置，取V/?
「的外心f儿则pg三点共线；
第二步：
先算出小圆"的半径A（\=r,再算出棱锥的高W,=h（也是圜锥的高）;
第三步：
勾股定理匕O才二O*才+QCPnF二（方-尺尸+八，解岀R
方法二：
小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径
例5—个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
AM
~T
D.以上都不对
MH
解禅阁
解：
选C\
法一；（勾股定理）利用球心的位辽求球半径，球心在圆锥的高线上,
（—K）"+I—\R-厂,h~A/di■——/rj
v33
法二：
（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角
形叱的外接圆是大圆，于是址晶哙’下臥
类型六、折並模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如图时
图召
第一步：
先画出如图杓所示的图形，将八川和画在小圆上，找出A"「”和氐47?
门的外心耳和/;
第二步；过耳和分别作平面肌*和平面A/il）的垂线，两垂线的交点即为球
心0,连接0Ef0C；
第三步；解2口（算出在Rt\oai｛中，勾股定理：
0研YH；二g注：
易知。
垃工J珀四点共面且四点共圆.证略
例6
（1）三按锥户-初「中，平面/MCI平面AHC,△FK和△肋「均为边长为
2的正三甬形，则三棱锥尸■畀丹「外接球的半径为.
24?
孤如图，2尸2駅圖=药，宀飞3=7T
法二QH二击
1
-i
=JO2=j//-+01//-+0|0i=|（R=¥
⑵在直角梯形AHCJ）中，Afi/ICDTZJ=WtZ（'=45\M二川）二］,沿对角线折成四面体Ar-HCD,It平面ArHD1平面fiCI）,若四面体H的
顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为4站
解：
如图，易知球心在肚的中点处，二二斗"
（3）在四面体S-AHC中，川/J丄fi（\AB=BC=42t二面HS-AC-H的余弦值为一丫t则四面捽-V-ABC的外接球表面积为解：
如图*法一：
cosZSQB=cos（Z（X）/J_,十中=——
叫吕矿咯心吩弓—点皿
法二：
延长甘□到D使DQ二放彳二「由余弦定理得闕=屁S"二血，大圆
宜径为2R-SB-;
«4）在边长为2J亍的菱形ABCD中，/朋门二&『，滔对角线RD折成二面角
A-HD-C为120"的四面体AH
（1）*则此四面体的外接球表面积为
解：
如图*取*D的中点AAHD和AC"的外接圆半径为斤二&二2,MRD
和加呦的外心00到弦肋的距离（弦心距）为<7,=<=1,
法一；四边也OO,M02的外接圆直径0M-2,/e-^'7,5-28^；
法二:
00{=71t/?
=7?
；
法三：
作出A（fil）的外接圆直径CEJi]（、E=4,A/A=1,
cos=
7+16-271
2‘斤42y[l
sinZAEC=出真
2V7
（5）在四AJit1）中，Z/n^=120,Z/J/X=I50,CD=f
二面角』Hl）C的平面角的大小为120,则此四面体的外接球的体积为解：
如图，过两小圆圜心件相应小园所在平面的垂线确定球心.
朋=2石，E",弦心距二石，〃「二打二弦心距O.V=2^3.
；S—t?
.R-OD-=A77J?
=29TR二炳*\=31
法二：
OOi=OXf2-O.\r=25t二F二亦*+00；=29,R=^29t
r_116^29,7
球二；
类型七*两亶角三角形拼接在一起（斜边相同•也可看作矩形沿对角线折起所得三
棱锥）模型
题设：
如图儿乙甘8-厶（书-90,求三棱锥P-ABC外接球半径（分析取公
共的斜边的中点＜7,连接OP,OCf9HOA^OH=OC=OP=~AH..\0为三棱锥
2
P-ABC^接球球心，然后在f"屮中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值一例7
（1）在矩形ABCD中，AB=4tHC=3,沿如？
将拒形ABCL）折成一个直二面
角—AC-6则四面体ARC!
）的外接球的体积为（）赂⑴如y叔十•宦罟，选c
（2）在矩形ABCD中，朋二2,B€=3.沿赵）将矩形肋CD折离连接所
得三棱锥A-nCD的外接球的表面积为
解：
用）的中点是球心f人2R二用、=品、K二试二E
类型八、锥体的内切球问题
如图乩1,三棱锥戶-「上正三棱维，求其内切球的半径,
第一步:
先现出内切球的截面图，分别星两个三角形的外心;
第二妇
求!
）H=-HD・PO^PH-r.尸D是侧面的高;
3
第三步:
由A/弋址相似干,建立等式：
—
DH
2.题设：
如图離2,四棱锥尸-初「是正四棱锥，求其内切球
的半径
第一涉：
先现出内切球的截面图，/\OJ｛三点共线;
第二步：
求=PO=PH-r,Pb是侧面AT的
2
高;
第三步：
由A/W；相似于、建立等式：
—
H卜P卜
解出
工题设：
三檯锥rA/f＜是任意三挾锥,，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步：
设内切球的半径为尸，建立等式：
F"=5九虻尸巧再"小•尸r3j
J*i42K"*I^PAC+'空BC、'尸
Ar
第三涉：
解岀〜$弋
例S
（1）棱长为门的正四面体的内切球表面积是
解：
设正四面体内切球的半径为r将正四面体放入棱长为订的正方体中（即补
形为正方体h如图*则
又丁认亦二4舟24+半口
334
”加心盏宀内切球的表面积为
防呪—竺（注；还有别的方法，此粉
6
（2｝正四棱锥S-ABCD的底面边长为2、侧橈长为3,则其内切球的半径为
解：
如图’正四棱锥畀AHCD的高h=y[7,正四棱it-YAHCI）的体积为
S-.iBCD''§
侧面斜高/?
=2>2.正四棱锥冉Ati（D的表面积为片=4+呂
正四棱锥S-AH（l）的体积为
4+8^2
4+&V24万
_4^7V7_77（2^2-1）2714-^7
^4+8^21+2V2~7
⑶三棱锥e-AHC中，底面是边长为2的正三角形，尸彳丄底面AB（'t
lfA=2,则该三棱锥的内切球半径为
解：
如图*-P~-1'心P=
T3+V7+4
三棱锥尸-AfiC的体积为冷眦=牛
aJ
另一裏达炼积的方式是卜；_拥广=、'尹=厲+f+"
IgJaJ
习题;
l若三棱锥XABC的三条侧棱两两垂直，且W4,则该三槓锥的外接球半径为（}
A3B.6C36D.9
解：
[A]（2R）2=V4+16+L6=6,R=3
【三棱锥有一侧梭垂直于底面I且底面足直角三角形】【共两种】
2*三棱锥再朋厂中|侧棱超丄平面ABC.底面初厂是边长为的的正三角形,
站=人紅则该三按锥的外接球体积等于
3"
解：
2尸=-^—=2,（2Ai）:
=4+）2=16tR2=4,k二2,外接球体积4立g二绘兀sin60"33
【外心法I加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
M正三棱-ABC中，底面厂是边长为朽的正三角形，侧橈长为2.则该
解：
⑷「外接圆的半径为，三棱锥S-AHC的直径为2R=」一二芈，外接sin60V3
?
球半径R—、
V3
或止R=*外接球体积F二殳咸、兰小季二^^,
Vs333J327
4三棱锥P-AHC中*平面幻「丄平面ABC,APA（'边长为2的正三角形，
则三棱锥P-ABC外接球的半径为.-
解；AA4「的外接圆是大圆*二事，R_*、
sin60右<3
5,三檯锥P-AHC^，平面旳「丄平面ARJAC-2,PA-=3tAH丄丹「,
则三^P-AHC外接球的半径为-
cosZ/*-
9
9+9-47
23-3~9
&三核锥厂-初「中，平面PAC1.平面AB（\A（'=2,PALP（\•仍丄卩「.
则三棱锥尸-初「外接球的半径为.
解：
川’是公共的斜边,AC的中点是球心球半径为舟“
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