人教版数学一轮课后限时集训40 直线平面平行的判定及其性质.docx

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人教版数学一轮课后限时集训40直线平面平行的判定及其性质

课后限时集训（四十）　

（建议用时：

60分钟）

A组　基础达标

一、选择题

1．（2018·长沙模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．m∥α，n∥α，则m∥n

B．m∥n，m∥α，则n∥α

C．m⊥α，m⊥β，则α∥β

D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C　[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；

对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B不正确；

对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；

对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．]

2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③　　　　　　B．②③

C．①④D．②④

C　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]

3．若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；

②EF∥平面BC1D1；

③FG∥平面BC1D1；

④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

A　[因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，

因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，

所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；

因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；

因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

所以FG∥BC1，

因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故③正确；

因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误，故选A.]

5．（2019·黄山模拟）E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点（不与端点重合），BD1∥平面B1CE，则（　　）

A．BD1∥CE

B．AC1⊥BD1

C．D1E＝2EC1

D．D1E＝EC1

D　[如图，设B1C∩BC1＝O，

可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO，

∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，

∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1，故选D.]

二、填空题

6．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

　[由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为

.]

7．（2019·株洲模拟）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.

M∈FH　[∵HN∥DB，FH∥D1D，

∴平面FHN∥平面B1BDD1.

∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，

故M∈FH.]

8．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的命题是________．

①③④　[由题图，显然①是正确的，②是错误的；

对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH（水面）．

所以③是正确的；

对于④，因为水是定量的（定体积V），

所以S△BEF·BC＝V，即

BE·BF·BC＝V.

所以BE·BF＝

（定值），即④是正确的．]

三、解答题

9．（2019·合肥模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

（1）求证：

平面BDM∥平面EFC；

（2）若AB＝1，BF＝2，求三棱锥ACEF的体积．

[解]　

（1）证明：

如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，

又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.

∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，

∴MN∥平面EFC.

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF

DE，

∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.

∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，

∴BD∥平面EFC.

又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.

（2）连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.

又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF，

又N是AC的中点，∴V三棱锥ANEF＝V三棱锥CNEF，

∴V三棱锥ACEF＝2V三棱锥ANEF＝2×

×AN×S△NEF＝2×

×

×

×

×2＝

，

∴三棱锥ACEF的体积为

.

10．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

[解]　存在点M为线段AB的中点，使直线DE∥平面A1MC，证明如下：

如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C与AC1的交点．

由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MD

AC，OE

AC，

因此MD

OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，

则DE∥MO.

因为DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），

使DE∥平面A1MC.

B组　能力提升

1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

C　[因为截面PQMN是正方形，

所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，

由线面平行的性质知MN∥AC，

则AC∥截面PQMN，

同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，

则AC⊥BD，故A，B正确．

又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]

2．在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M，N分别为线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（　　）

A．无数条B．2条

C．1条D．0条

A　[法一：

取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H，在D1E上任取一点M，

取D1E的中点O，

连接OH，

在平面D1HE中，作MG平行于HO，交D1H于G，

连接DE，取DE的中点K，连接KB，OK，则易证得OH∥KB.

过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，

所以GM∥平面ABCD，

同理，NG∥平面ABCD，又GM∩NG＝G，

由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD.

由于M为D1E上任意一点，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条．故选A.

法二：

因为直线D1E，C1F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD，故选A.]

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝

BD1.则以下四个说法：

（1）MN∥平面APC；

（2）C1Q∥平面APC；

（3）A，P，M三点共线；

（4）平面MNQ∥平面APC.

其中说法正确的是________．（填序号）

（2）（3）　[

（1）连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，

易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；

（2）由

（1）知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，

所以C1Q∥平面APC是正确的；

（3）由

（1）知A，P，M三点共线是正确的；

（4）由

（1）知MN⊂平面PAC，

又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．]

4．（2018·长沙模拟）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1.

（1）求证：

AB1∥平面A1C1C；

（2）求多面体ABCA1B1C1的体积．

[解]　

（1）证明：

如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，

∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1，

∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1，

∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，

∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D，

又B1D⊄平面A1C1C，C1C⊂平面A1C1C，

∴B1D∥平面A1C1C.

在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1，

∴C1D∥AA1，C1D＝AA1，

∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AD∥A1C1.

又AD⊄平面A1C1C，A1C1⊂平面A1C1C，

∴AD∥平面A1C1C，

∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C，

又AB1⊂平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C.

（2）在正方形ABB1A1中，A1B＝

，

∵△A1BC是等边三角形，∴A1C＝BC＝

，

∴AC2＋AA

＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，∴AA1⊥AC，AC⊥AB.

又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，

易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1.

易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱锥CADC1A1组成的，

直三棱柱ABDA1B1C1的体积为

×

×1＝

，

四棱锥CADC1A1的体积为

×

×1×

＝

，

∴多面体ABCA1B1C1的体积为

＋

＝

.