平面向量知识点归纳与例题练习.docx
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平面向量知识点归纳与例题练习
:
知识框架图;
平面向量
"表示法仔臥几何型标)1
I在几何学中的丽1正弦、余弦定理药丽
二、详细知识要点讲解;
重点知识回顾
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:
•
44
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③平面向量的坐标表
、,一、、4-
示:
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a,由平
-H4
面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a二xi•yj,(x,y)叫做向量a的(直
角)坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,‘=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)。
a=Jx2+]2;若A(x1,y1),B(X2,y2),则AB=仪2-为』2-y1,ab=(X2=xj2—(yzPyj2
3.零向量、单位向量:
①长度为的向量叫零向量,记为0;②长度为个单位长
—*
度的向量,叫单位向量•(注:
就是单位向量)
|a|
4.平行向量:
①方向的向量叫平行向量;②我们规定与任一向量平行•
4扌彳十一,,4扌4_十一亠耳一「「亠冃
向量a、b、c平行,记作a//b//c.共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量.
5.相等向量:
相等且相同的向量叫相等向量•
6.向量的基本运算
(1)向量的加减运算
几何运算:
向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算:
设a=(xi,yi),b=(x2,y2)贝Va+b=,a-b=。
(2)平面向量的数量积:
a*b=。
设a=(xi,yi),b=(x2,y2)贝Ua«b=。
f'f
(3)两个向量平行的充要条件」//:
二一:
=入「(b不是零向量)
若_:
=(xi,y”,.■=(x2,y2),贝U一:
//-:
「;‘
rrr
(4).两个非零向量垂直的充要条件是&丄DUd•D_。
‘rff
设-■=(xi,y1),.■=(x2,y2),贝U一:
丄一:
.向量的加法、减法:
1求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向
量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:
a-b=玄+(-b);
差向量的意义:
0A=a,OB=b,贝UBA=a_b
一4叩彳啤
3平面向量的坐标运算:
若a=(为,yj,b=(X2,y2),则ab=(xix2,yiy?
),
呻d_
a_b—(Xi-x?
yi_y2),.‘“a=(/-x^■-y)。
4向量加法的交换律:
a+b=b+a;向量加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
7.实数与向量的积:
实数入与向量a的积是一个向量,记作:
入a
(i)I入a|=|入||a|;
(2)入>0时入a与a方向相同;入<0时入a与a方向相反;入=0时入
a=0;(3)运算定律入(0)=a,(入+卩)3=,入(a+b)=。
(X<0)
8.向量共线定理向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是:
有且只有
个非零实数入,使b=a。
9.平面向量基本定理:
如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平
面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2使a=入ie+入2e2。
(1)不共线向量g、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将
任一向量a在给出基底e、曳的条件下进行分解(4)基底给定时,分解形式惟一.入1,入2
是被a,e,e2唯一确定的数量。
10.向量a和b的数量积:
①a•b=其中二€[0,n]为a和b的夹角。
②
|b|cos^称为b在a的方向上的投影。
③a•b的几何意义是:
b的长度|b|在a的方向上的
投影的,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。
4若a=(x1,%),b=(x2,y2),则a・b二x1x2-y1y2
5运算律:
a•b=b•a,(入a)•b=a•(入b)=入(a+b)•c=
a■b
6a和b的夹角公式:
cosB=^,4,=
d
11.两向量平行、垂直的充要条件设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
ffHf呻
1a丄b:
=a•b=0,a_b=a=x1x2+%y2=0;
2a//b(a丰0)充要条件是:
有且只有一个非零实数入,使b=入a。
—F-—F
a//b二細2-乂2屮=0
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。
三:
难点、易错点;
1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度,
角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。
四:
考点举例及配套课堂练习(例题讲解)
(一)基础知识训练
1.下列命题正确的是
(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等
(C)平行向量不一定是共线向量(D)模为0的向量与任意向量共线
2.已知正六边形ABCDEF中,若AB=a,FA=•b,则BC=()
111
(A)—(a-b)(B)—(ab)(C)a-b(D)—ab
222
3.已知向量0=0,■•R,a=0••e2,b=2e“若向量a与b共线,则下列关系一定成立是()
(A),=0(B)e2=0(C)e1//e(D)e1//e2或,=0
4.若向量a=(—1,x),B=(—x,2)共线且方向相同,x=。
5.设0・:
:
v:
:
:
2二,已知两个向量OR=cosr,sinr,
OP2=(2+sin日,2—cos日),则向量丽长度的最大值是()
A.、2B.、3C32D.23
(二).典例分析例1:
(1)设a与b为非零向量,下列命题:
①若a与b平行,则a与b向量的方向相同或相反;
错解:
(1)有学生认为①②③④全正确,答案为4;也有学生认为①或④是错的,答案为2
或3;
(2)A或B或Co
分析:
学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。
第
(1)小题中,正确的应该是①④,答案为2。
共线向量(a与b共线)的充要条件中所存在的常数■可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量;若a,b为非零向量,则共线的a与b满足a与b同向时:
=|:
|乂,:
与b反向时:
一。
I冋b1
第
(2)小题中,正确答案为(D)。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法,并进行正确互化。
例2设a、b是两个不共线向量。
AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2b
AB、D共线则k=(k€R)
解:
BD=BC+CD=+b+a-2b=2a-b
2a+kb=入(2a-b)=2入a-入b
2=2入且k=-入
•••k=-1
例3梯形ABCD且|AB|=2|DC|,M、N分别为DCAB中点。
AB=aAD=b用a,b来标DGBCMN
11
解:
DC=AB=a
22
11
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=b-a+a=b-a
22
MN=DN-DM=a-b-1a=丄a-b
244
例
4
|
a|=10b=(3,-4)且a//b求
a
解:
设
a=(x,y)则x+y=100
(1)
由
a//b得-4x-3y=0
(2)
解
(1)
(2)得x=6y=-8
。
或x=-6y=8
•-a=(6,-8)或(-6,8)
五.归纳小结
1.向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间的关系。
2.对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是()
A.若|a|=0,则a=0B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
C.若a||b,则|a|=|b|D.若a=0,则-a=0
2、已知平行四边形ABCD勺三个顶点A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),则顶点D的坐标为()
A.(1,2)B.(2,2)C.(2,1)D.(-2厂2)
—»—■—b
3、设|a|=m(m0),与a反向的单位向量是g,则a用g表示为
正确命题的个数是(
1-
①ADa
2
④ADBECF二0。
A.
5、化简:
CE+AC—DE—AD=。
6、已知向量a=3,b=(1,2),且a丄b,则a的坐标。
7、若a2=1,b2=2,a-b^0,则a与b的夹角为
8、已知向量a=須-2e2,b=4ee2,其中®=(1,0),e2=(0,1)
求
(1)ab;a+b的值;
(2)a与b的夹角的余弦。
9、如果向量a与b,c的夹角都是60,而b_c,且|a|=|b|=|c|=1,求(a-2c)・(b,c)
的值。
课堂练习答案
基础知识训练:
9,-1
《平面向量》测试题
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知e1、e2是两个单位向量,下列命题中正确的是()
22
A.e1e2=1B.e1_e2C.e1=e2D.e1〃e2
2.下列命题中:
①若a与b互为负向量,则a+b=0;②若k为实数,且ka=0,则a=0或k=0;③若ab=0,贝Ua=0或b=0;④若a与b为平行的向量,则ab=|a||b;⑤若|a|
=1,贝Ua=±1.其中假命题的个数为()
A.5个
B.4个
C.3个
D.
2个
3.在AABC中,a
=5,b=8,C=60,则BCCa的值等于
()
A.20
B.-20
C.20..3
D.
-20..3
4.设|a|=1,|b|=2,且a、b夹角
120。
,则|2a+b|等于
(
)
A.2
B.4
C.12
D.
2一3
5.已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(—2,-1),C(4,5),D在BC上,且S'abc^3Sabd,则AD的长为()
A.寸2
B.
2^2C.3豆
D.
2
6.
已知a=
(2,1),b=
(3,入),若(2a—b)丄b,则入的值为
(
)
A.3
B.
—1C.—1或3
D.
—3或1
7.
向量a=
=(1,—2),
|b|=4|a|,且a、b共线,则b可能是
(
)
A.(4,
8)
B.
(—4,8)C.(—4,—
8)
D.
(8,4)
―15
AB
=a,
AC=b,ab<0,S出bc=一,
a=3,
b=5
,贝Ua与
b的夹角为
8.
已知△ABC中,
4
(
)
A.30°
B.
—150°C.150°
D.
30°或150°
9.
若a_b
=J41-20、$,a
=4,b=5,则a,b=(
)
A.1^3
B.
-10^3c.1072
D.
10
44
4I4
4
10.
已知向量a,b满足
a=1,'b=4,且ab=2,则a与b的夹角为
JI
JI
JtJt
A.—
B.-
C.-D.-
6
4
—*
32
:
(2,1)平行,且|b|=2V5,贝
—1-
11.
若平面冋量b与冋量
a二
出b=
(
)
A.(4,2)B.(Y,—2)C.(6-3)D.(4,2)或(—4,—2)
12.下列命题正确的是()
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量()
C.|a+b|=|a-b|,则Xb=0^
D.若ao与bo是单位向量,则aobo-1
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.向量a=(2k+3,3k+2)与b=(3,k)共线,则k=
14.已知a
=|,k,b=[k,8,且a与b为互相平行的向量,则k的值为
15.已知向量a=(cosB,sin日),向量b=(j3,_1),则2a-b'的最大值是
16•若向量|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a-b|=
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(本小题满分12分)
—孑———予
设0为原点,0A=3,1,0B二-1,2,0C—OB,BC//OA,试求满足ODOA=OC的OD的
坐标.
18.(本小题满分12分)
设e1和e2是两个单位向量,夹角是60°,试求向量a=2e1e2和b二-302e2的夹角.
19.已知向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a•2b).(a-3b)=-72,求向量a的模。
TTTT
20.已知点B(2,-1),且原点O分AB的比为-3,又b=(1,3),求b在AB上的投影。
21.已知
(1)
a驾%b匚(-3,2),当k为何值时,
kab与a-3b垂直?
(2)kab与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
参考答案
1.C2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.C9.A10.C
b=k霁(2k,k),,而|b|=2j5,则•,5k2=2、、5,k=_,b=(4,2),或(-4,-2)
解析:
单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;
Ia•b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
13321。
14一6;
4..6由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
f+謂+弹一寸2=2;护+2;b?
二怜+孑=2£2+2庸一;玄一住'=2+2汉4一4=6
、17.解:
设OD二x,y,则OC=ODOA=x3,y1
BC=OC〔OB4,y-1由OC_OB得:
-x32y1]=0,即x2y1=0①
?
—亨
由BC〃OA得3y-1-x•4=0,即x-3y-7=0……②由①,②联立,解得x=11,y=6,即OD坐标为11,6.
18.解:
a=|2e1+e2,b=—3e1+2e2
e2
2
=4^
=414111=7,
2
222
b=9e1+4e2-12e1-e2
丄1
=94—12117.
2
丁ab=(2e<|+e2卜(一3e<|+2e2)—6e12十^e2+2e22
'■"曲日=崙=厂7
|a||b|4747
故0=120°
2一2旨—24=0,
(a'-
20.解:
设A(x,y),竺二―3,得AO=-3OB,即(-x,-y)二一3(2,-1),x=6,y=—3
OB
21.解:
kab=k(12)(-3,2)=(k-3,2k2)a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)
(1)(kab)_(a「3b),
得(kabL(a-3b)=10(k-3)-4(2k2)=2k-38=0,k=19
1
(2)(kab)//(a-3b),得-4(k-3)=10(2k2),k-
1041
此时kab十亍十(10_),所以方向相反。