数学同步人教B必修2刷题首选卷知识对点练+课时综合练 62.docx

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数学同步人教B必修2刷题首选卷知识对点练+课时综合练62

第三章　单元质量测评

对应学生用书P77　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（　　）

A．0°＜α＜45°B．45°＜α＜90°

C．90°＜α＜135°D．135°＜α＜180°

答案　B

解析　∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°．

2．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（　　）

A．y＝－x＋2B．y＝－x－2

C．y＝x＋2D．y＝x－2

答案　A　

解析　由题可知直线方程为y＝tan135°·（x－2），即y＝－x＋2．

3．若三点A（4，3），B（5，a），C（6，b）共线，则下列结论正确的是（　　）

A．2a－b＝3B．b－a＝1

C．a＝3，b＝5D．a－2b＝3

答案　A

解析　由kAB＝kAC可得2a－b＝3，故选A．

4．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点（　　）

A．B．

C．D．

答案　D

解析　由已知得n＝2m－1，代入直线mx－3y＋n＝0得mx－3y＋2m－1＝0，即（x＋2）m＋（－3y－1）＝0，由解得所以此直线必过定点，故选D．

5．设点A（－2，3），B（3，2），若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）

A．∪

B．

C．

D．∪

答案　B

解析　直线ax＋y＋2＝0过定点C（0，－2），kAC＝－，kBC＝．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a的取值范围为－＜－a＜，解得a∈．

6．和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为（　　）

A．5x＋4y＋1＝0B．5x＋4y－1＝0

C．－5x＋4y－1＝0D．－5x＋4y＋1＝0

答案　A

解析　设所求直线上的任一点为（x′，y′），则此点关于x轴对称的点的坐标为（x′，－y′）．因为点（x′，－y′）在直线5x－4y＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x＋4y＋1＝0．

7．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD（　　）

A．平行B．垂直C．不确定D．相交

答案　D

解析　易知A（2，1），B（4，2），原点O（0，0），∴kOA＝kOB＝，∴直线AB过原点，同理，C（2，lg2），D（4，2lg2），kOC＝kOD＝≠，∴直线CD过原点，且与AB相交．

8．过点M（1，－2）的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为（　　）

A．2x＋y＝0B．2x－y－4＝0

C．x＋2y＋3＝0D．x－2y－5＝0

答案　B

解析　设P（x0，0），Q（0，y0）．∵M（1，－2）为线段PQ的中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为＋＝1，即2x－y－4＝0．故选B．

9．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（　　）

A．B．C．2D．2

答案　A

解析　由解得

把（1，2）代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，

∴m＝－5－2n，∴点（m，n）到原点的距离d＝

＝＝≥，

当n＝－2时等号成立，此时m＝－1．

∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．故选A．

10．点F（，0）到直线x－y＝0的距离为（　　）

A．B．mC．3D．3m

答案　A

解析　由点到直线的距离公式得点F（，0）到直线x－y＝0的距离为＝．

11．若直线l经过点A（1，2），且在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是（　　）

A．

B．∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪

D．（－∞，－1）∪

答案　D

解析　在平面直角坐标系中作出点A（1，2），B（－3，0），C（3，0），过点A，B作直线AB，过点A，C作直线AC，如图所示，则直线AB在x轴上的截距为－3，直线AC在x轴上的截距为3．因为kAB＝＝，kAC＝＝－1，所以直线l的斜率的取值范围为（－∞，－1）∪．

12．已知△ABC的边AB所在的直线方程是x＋y－3＝0，边AC所在的直线方程是x－2y＋3＝0，边BC所在的直线方程是2x－y－3＝0．若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A．B．C．D．

答案　B

解析　联立直线方程，易得A（1，2），B（2，1）．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为________．

答案　x＝3

解析　直线y＝x＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l的倾斜角是已知直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，所以直线l的倾斜角为90°，直线l的斜率不存在，所以直线l的方程为x＝3．

14．直线＋＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________．

答案　±

解析　直线与x，y轴的交点分别为（3t，0）和（0，4t），所以线段长为＝1，解得t＝±．

15．已知点A（2，4），B（6，－4），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P有且仅有1个，则实数λ的值为________．

答案　58

解析　设点P的坐标为（a，b）．∵A（2，4），B（6，－4），

∴|PA|2＋|PB|2＝[（a－2）2＋（b－4）2]＋[（a－6）2＋（b＋4）2]＝λ，即2a2＋2b2－16a＋72＝λ．

又∵点P在直线3x－4y＋3＝0上，

∴3a－4b＋3＝0，∴b2－b＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P有且仅有1个，∴Δ＝2－4××（90－λ）＝0，解得λ＝58．

16．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

答案　－

解析　因为y＝|x－a|－1＝

所以该函数的大致图象如图所示．又直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则2a＝－1，即a＝－．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知Rt△ABC的顶点坐标A（－3，0），直角顶点B（－1，－2），顶点C在x轴上．

（1）求点C的坐标；

（2）求斜边所在直线的方程．

解　

（1）解法一：

依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B（－1，－2），

∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1．

又∵A（－3，0），∴kAB＝＝－，

∴kBC＝－＝，

∴边BC所在的直线的方程为y＋2＝（x＋1），即x－y－3＝0．

∵直线BC的方程为x－y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C（3，0）．

解法二：

设点C（c，0），由已知可得kAB·kBC＝－1，即·＝－1，

解得c＝3，所以点C的坐标为（3，0）．

（2）由B为直角顶点，

知AC为直角三角形ABC的斜边．

∵A（－3，0），C（3，0），

∴斜边所在直线的方程为y＝0．

18．（本小题满分12分）点M（x1，y1）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x1∈[2，5]时，求的取值范围．

解　＝的几何意义是过M（x1，y1），N（－1，－1）两点的直线的斜率．点M在直线y＝－2x＋8的线段AB上运动，其中A（2，4），B（5，－2）．

∵kNA＝，kNB＝－，

∴－≤≤，

∴的取值范围为．

19．（本小题满分12分）已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0．

（1）求直线l的方程；

（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

解　

（1）联立两直线方程

解得则两直线的交点为P（－2，2）．

∵直线x－2y－1＝0的斜率为k1＝，所求直线垂直于直线x－2y－1＝0，那么所求直线的斜率k＝－＝－2，

∴所求直线方程为y－2＝－2（x＋2），即2x＋y＋2＝0．

（2）对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0则x＝－1，则直线与x轴交点坐标A（－1，0），

令x＝0则y＝－2，则直线与y轴交点坐标B（0，－2），

直线l与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB，

∴S＝|OA||OB|＝×1×2＝1．

20．（本小题满分12分）一条光线经过点P（2，3）射在直线l：

x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q（1，1），求：

（1）入射光线所在直线的方程；

（2）这条光线从P到Q所经路线的长度．

解　

（1）设点Q′（x′，y′）为点Q关于直线l的对称点，

QQ′交l于点M．∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，

∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1·（x－1），

即x－y＝0．

由解得

∴交点M，

∴

解得∴Q′（－2，－2）．

设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，

又∵P（2，3），Q′（－2，－2），

∴入射光线所在直线的方程为＝，

即5x－4y＋2＝0．

（2）|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|

＝＝，

即这条光线从P到Q所经路线的长度为．

21．（本小题满分12分）设直线l经过点（－1，1），此直线被两平行直线l1：

x＋2y－1＝0和l2：

x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．

解　设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点分别为C（xC，yC），D（xD，yD），

则解得

∴C（1，0）

解得

∴D．

则C，D的中点坐标为，

即直线l经过点．

又直线l经过点（－1，1），由两点式得直线l的方程为

＝，即2x＋7y－5＝0．

22．（本小题满分12分）已知三条直线l1：

2x－y＋a＝0（a＞0）；l2：

－4x＋2y＋1＝0；l3：

x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是．

（1）求a的值；

（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

解　

（1）直线l2的方程等价于2x－y－＝0，

所以两条平行线l1与l2间的距离d＝＝，即＝．又因为a＞0，解得a＝3．

（2）假设存在点P，设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：

2x－y＋c＝0上，且＝·，解得c＝或，

所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0．

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

得＝·，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0．

若点P满足条件①，则3x0＋2＝0不合适．

解方程组

得不符合点P在第一象限，舍去．

解方程组得符合条件①．

所以存在点P同时满足三个条件．