高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步.docx
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高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步
第十三讲概率初步
日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出
现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的.
尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：
今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；
中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；
一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小.
为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学.（当时他们通过信件讨论了社会
上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题）
概率基本概念
概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：
投掷一枚硬币，正面和反面出
1
现的可能性相同，所以概率均为丄；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所
12以概率均为-•
6
|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值.冷
1
关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为-，并
12不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面.
2
虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比
例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）.（这
个特点在概率论中被称为大数定律）
换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此，在17世纪概率刚
创始的年代，人们提出了古典概率模型.
古典概率模型
古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况
总量”除以“全部情况数量”即可.
等可能
某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量
1
2反”但概率都不是-，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A和B,那
3
么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）.
而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）
从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果
必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）•为了
计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4,假设红球是1号
到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是10.
11
例题1.4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：
（1）女生恰好站在一起的概率是多少?
（2）女生互不相邻的概率是多少？
（3）男生互不相邻的概率是多少？
「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？
练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：
（1）关羽站
在正中间的概率是多少？
（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？
（3）关羽和张飞中间恰
好隔着一个人的概率是多少？
例题2.一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球•从口袋中任取一个球，请问：
（1）这个球是红球的概率是多少？
（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多
少？
（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？
「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数.
练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4个男生、3个女生，请问：
（1）选出3个男生的概率是多少？
（2）选出2男1女的
概率是多少？
例题3.一次投掷两个骰子，请问：
（1）两个骰子点数相同的概率是多少？
（2）两个骰子点
数和为5的概率是多少？
（3）两个骰子点数差是1的概率是多少？
「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从1到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案.
练习3、一次投掷3枚硬币，请问：
（1）出现3个正面的概率是多少？
（2）出现1正2反的概率是多少？
例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？
不同色的概率是多少？
「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？
其中有多少同色情况？
练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球.从中任取两个球，请问：
取出2个黑球的概率是多少？
取出1红1黄的概率是多少？
取出1黄1黑的概率是多少？
概率的独立性
如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：
A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积.
例题5.神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？
都没命中的概率是多少？
「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可.
需要分步计算的概率问题
有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球,
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄.
3236
在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球”和“有放回拿球”的区别，它关系到每步的概率计算结果.例如：
一个盒子中装有形状大小相•
同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中111
取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是224.
例题6.3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，
那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？
「分析」分步计算概率即可.
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽
11112
到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是111．
3236
在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球”和“有放回拿球．”
的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：
一个盒子中装有形状大小相
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽
11112到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是111.
3236
在分步拿球的问题中，大家还要注意“无.放.回.拿.球.”和“有.放.回.拿.球.”
的区别，它关系到每步的概率计算结果.例如：
一个盒子中装有形状大小相
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽
11112
到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是111．
3236
在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球”和“有放回拿球．”
同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是
然后把它放回去，再从盒子中
11．
24．
的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：
一个盒子中装有形状大小相
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽
11112
到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是111．
3236
在分步拿球的问题中，大家还要注意“无．放．回．拿．球．”和“有．放．回．拿．球．”
同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是
然后把它放回去，再从盒子中
11．
24．
的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：
一个盒子中装有形状大小相
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽
11112
到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是111．
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在分步拿球的问题中，大家还要注意“无．放．回．拿．球．”和“有．放．回．拿．球．”
的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：
一个盒子中装有形状大小相
同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，
取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是
然后把它放回去，再从盒子中
11．
24．
古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”，下面我们先用几个
简单例子来看一下古典概型的用法：
1.A、B、C排成一排，共有6种排法，其中A占排头的方法共2种，所以A站排
1
头的概率是*123*5.
3
2.从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法,
3
其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是一.
10
3.3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法
3
共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是-.
5
上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再
看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件
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