三角形的中位线.docx

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三角形的中位线

三角形的中位线马文新　2011/9/2211:

00:

10　石嘴山市第二中学　150　1

设计理念

新课程指出，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

所以，数学学习不仅要考虑数学自身的特点，还应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观等方面得到进步和发展。

基于以上的理解，本节课设计理念是：

（1）内容的选择注重与学生已有的学习经验的密切联系。

（2）内容的呈现注重知识的发生与发展过程，体现“数学是过程”的理念。

（3）学习方式的选择上体现“思中做，做中学，学中做”，突出学生的主体地位。

（4）教学方法上注重数学知识与思想方法整合。

教材分析

一、教材所处的地位及作用

本节课的教学内容是新人教版八年级第二学期第十九章《四边形》第一节《平行四边形》中的第五课时《三角形的中位线》．它是在学生学完了三角形、四边形内容之后作为三角形和四边形知识的应用和深化．三角形中位线定理的论证是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用．三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下后继学习梯形的中位线定理的证明起到很好的铺垫作用。

因此，这节课无论在知识上，还是在对学生各种能力的培养及情感教育等方面都有着比较关键的作用。

二、教学目标

根据课程标准的要求和学生的实际情况，制定了以下教学目标。

（一）知识与技能目标：

理解三角形中位线的概念，知道三角形的中位线与中线的区别，掌握它的性质及初步应用．

（二）过程与方法目标：

经历三角形的中位线定理的探索过程，体会转化的数学思想方法。

（三）情感目标：

1、通过积极参与数学学习的活动，初步形成乐于探究的态度和团队合作的精神。

2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

三、教学的重点和难点

教学重点：

三角形的中位线定理及运用定理进行简单的几何计算和论证。

教学难点：

三角形的中位线定理的证明。

学情分析

我所任教班级约一半以上的学生个性活泼，思维活跃，具有独立思考，积极交流的习惯和能力；以八年级学生的心理素质和认知水平，通过实验几何、论证几何的学习，学生的思维能力有了提高，初步掌握了简单的推理论证和演绎证明的方法，逻辑推理的能力也有了提升；但对几何语言的规范表达和新旧知识迁移的感悟上有所欠缺。

教法、学法分析

在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学原则，通过师生互动，生生互动，来体现这一教学原则的落实，在整个教学过程中我特别关注学生的有效活动,紧紧抓住学生“动”这条主线、充分利用学生感官来突破难点、关注发展学生的动手能力、动口能力和动脑能力．采用以启发讨论、引导探究、多媒体辅助教学等多种方法相结合的策略组织教学过程．

根据课程标准的指导思想，本着“思路让学生想，疑难让学生议，规律让学生找，结论让学生得，小结让学生讲”的原则，在学习过程中通过学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题等环节，努力培养学生体验感悟、比较学习、猜测论证、交流归纳等学习方法，努力实现学生由“学会”到“会学”的学习方式的转变。

教学环节设计

为体现“以学生发展为本”的教学理念，我在教学过程中设计了如下五个环节：

一、实验操作；二、猜测论证；三、巩固训练；四、交流小结；五、作业布置．

教学流程：

一、实验操作

我认为：

“眼过千遍不如手过一遍”．学习的最佳途径是由自己去发现，自己去亲身体会的，这样才会理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系．因此，在课堂教学中我设置了实验操作“一张三角形纸片，能否沿一条直线把它分割成一个四边形和一个小三角形，且使所得的四边形和小三角形恰好拼成一个平行四边形？

”这一环节的设置不仅是为了导出三角形的中位线的定义，也是为后面三角形的中位线定理的证明方法作铺垫的，有利于突破三角形的中位线定理证明的难点．

二、猜测论证

在认识了三角形中位线的概念之后，由其定义学生可以发现三角形的一条中位线平分与它相交的两条边，那么它与第三条边会不会也存在一些特殊的关系呢？

在这里我设置了问题：

猜测“三角形的中位线DE与BC有怎样的位置关系？

又有怎样的数量关系？

”这样可以激发学生的求知欲，考虑到部分学生有自己的想法而信心不足，因此我通过几何画板演示三角形的中位线与第三边的数量关系与位置关系，引发学生仔细地观察DE与BC的长度变化关系，并观察∠ADE、∠ABC的大小关系，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识“三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边”，这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法．这时我又及时指出，猜测和实验不能代替证明，那么如何证明这些猜想呢？

这里先让学生讨论如何证明猜想的结论：

“DE=BC”，证明线段的倍半关系学生会想到应用“截长”、“补短”法，但由实验操作学生自然而然地想到了延长DE来添加辅助线的方法，构建中心对称图形并利用三角形全等及平行四边形的性质证明了这个猜想，从而突破了证明三角形的中位线定理的难点．回顾定理的形成，经历了“提出问题――观察实践――得到猜想――证明猜想”四个步骤，感受了实验几何到论证几何的演进过程，培养了学生严谨的科学态度，提高了学生的逻辑思维能力和推理论证及规范的表达能力．

三、巩固训练

 在巩固训练中我设置了三个层次的练习：

在“试一试”中，让学生熟悉三角形的中位线定理的简单运用；“典型例题”的要求在原先基础上有了提升，题目要求学生先根据题意画出图形，然后再证明．几何的画图对初中学生来说是一个难点，因此我在这里分两步完成：

首先，要求学生画图，在学生的画图过程中，教师发现错误及时给予纠正；然后引导学生学会根据已知条件巧妙构造三角形后运用三角形的中位线定理解题，并注意几何论证的规范表达；在“练一练”中，为使学生进一步巩固对定理的理解及语言的规范，让学生学会书写简单的证明过程，并能一题多解；让学生感受成功的喜悦，增强学好数学的信心．

四、交流小结

在小结中，我设计了两个问题：

你感悟到什么？

还有什么疑惑？

“悟”的设置是让学生回顾课堂中学到的知识，并畅谈由此受到的启发，在倾听学生的声音同时注意适时的归纳总结，合作小结有助于训练学生概括归纳能力，又有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化；“惑”的设置是希望学生对所学知识进一步深化，并注重对知识的迁移与拓展，这样可以增强学生学习过程中的反思意识，培养了他们良好的学习习惯，也为师生提供了再次讨论、进一步交流的机会．

五、作业布置

我设计了分层作业，必做题是巩固课堂学习成果，选做题有助于激发学生自主探究的热情，使不同层次的学生都能有所收获．

教学设备或教辅工具

多媒体及电子白板、直尺、三角形纸片若干

教学过程

教学流程

教学内容

设计说明

（一）

实验

操作

情景创设：

怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？

活动一:

1、动手操作：

①剪一个三角形，记为ΔABC

②分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE

③沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180°得四边形DBCF（如下图）

2、观察思考：

（1）上图中有哪性质？

①   四边形BCFD是平行四边形吗？

请说明理由。

②   从边上考虑？

从角上考虑？

……　　　……

              　观察探索得出：

边：

AD=BD、AE=EC、DE=EF、BD=CF、DF=BC

   DF∥BC、DE∥BC、EF∥BC

角：

∠B=∠F、∠ADE=∠B、∠AED=∠C……

……　　……

（2）上图中哪些线段较特殊，为什么？

     DF平行且等于BC

     EF平行且等于BC的一半

     DE平行且等于BC的一半

 通过学生操作为三角形中位线定理的证明作铺垫．

（二）

猜测

论证

活动二、探索三角形中位线的性质

（1）（板书）概念：

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。

如图图中线段DE是连接ΔABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为ΔABC的中位线。

问题1：

你能说出三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？

画图说明

【设计意图：

这两个概念容易混淆，通过画图比较，巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯。

】

（2）探索：

《几何画板》演示并猜想：

如图，ΔABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？

为什么？

问题2：

你能直观感知它们之间的关系吗？

用三角板验证。

问题3：

你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系？

理解三角形中位线的概念，并能区分三角形的中位线与中线．

通过演示，让学生大胆猜测，有利于激发学生探究的兴趣．

【设计意图：

先由直观的方法感知DE与BC的位置与数量上的关系，再用说理的方式来证这一关系，此举既满足了学生探求新知的欲望，获得成功的体验，又刺激学生进行更深入的探求】

3．证明三角形的中位线定理．

已知:

    已知：

如图,在△ABC中,AD=BD,AE=CE;

求证:

DE= BC且DE∥BC.

证明：

延长DE到F，使EF=DE，连接CF.

∵AE=EC,∠AED=∠CEF,

∴△AED≌△CEF,

∴∠A=∠ECF,AD=CF,

∴AB∥CF,即BD∥CF,

∵AD=DB,AD=CF,∴DB=CF.

∴四边形BCFD是平行四边形.

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DF=BC，且DF∥BC,

∴DE= BC，且DE∥BC.

由学生讨论得到添加辅助线的方法，并进一步掌握定理的规范表达，培养学生严谨的科学态度．

4.归纳三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

结合图形给出数学表达形式：

在△ABC中,

∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE∥BC，且DE= BC.

渗透数形结合思想方法，培养学生的口头表达能力和归纳能力．

（三）

巩固

训练

1.试一试：

①如图1：

在△ABC中，DE是中位线

（1）若∠ADE=60°，则∠B=          度，为什么？

（2）若BC=8cm，则DE=            cm，为什么？

②如图2：

在△ABC中，D、E、F分别   是各边中点，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=_______cm

强化双基训练,让更多的学生获得成功,并增强学习的自信．

③如图，C、B两地被一池塘阻隔，为测量C、B两地间的距离，在地面上选一点A，连接AC和AB，分别取AC和AB的中点F、E。

（1）若FE的长为28m，，则B、C两点间的距离为          ；

（2）如果F、E两点间还有阻隔，你有什么解决的办法？

2.典型例题：

例题：

在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？

为什么？

操作：

请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。

问题1：

猜想探索