25矩形菱形与正方形.docx

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25矩形菱形与正方形

矩形菱形与正方形

一、选择题

1.（2014•黑龙江龙东,第18题3分）如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（　　）

　A．4B．

C．

D．2

2.（2014•黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．

其中正确的个数是（　　）

　A．2B．3C．4D．5

3.（2014•黑龙江绥化,第18题3分）如图，在矩形ABCD中，AD=

AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，

其中正确的有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

4.（2014•湖南衡阳,第12题3分）下列命题是真命题的是（　　）

　A．四边形都相等的四边形是矩形

　B．菱形的对角线相等

　C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

　D．对角线相等的梯形是等腰梯形

5.（2014•广西来宾，第6题3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（　　）

A．

8

B．

4

C．

8

D．

16

6．（2014•广西来宾，第9题3分）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（　　）

A．

等腰梯形

B．

矩形

C．

菱形

D．

正方形

7．（2014•青岛，第7题3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（　　）

A．

4

B．

3

C．

4.5

D．

5

8.（2014•山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

　A．

a2B．

a2C．

a2D．

a2

9.（2014•攀枝花，第9题3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（　　）

A．

点F

B．

点E

C．

点A

D．

点C

10.（2014•丽水，第7题3分）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：

分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）

A．

矩形

B．

菱形

C．

正方形

D．

等腰梯形

11．（2014年黑龙江牡丹江）（2014•黑龙江牡丹江,第8题3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：

①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　　）

第1题图

　A．3B．4C．1D．2

12.（2014年湖北黄石）（2014•湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（　　）

第2题图

　A．30°B．60°C．90°D．120°

13.（2014年湖北黄石）（2014•湖北黄石,第8题3分）以下命题是真命题的是（　　）

　A．梯形是轴对称图形

　B．对角线相等的四边形是矩形

　C．四边相等的四边形是正方形

　D．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形

14.（2014年湖北黄石）（2014•湖北黄石,第9题3分）正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（　　）

第4题图

　A．（2，0）B．（3，0）C．（2，﹣1）D．（2，1）

15．（2014•陕西,第9题3分）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）

　A．4B．

C．

D．5

16．（2014•四川绵阳,第9题3分）下列命题中正确的是（　　）

A．

对角线相等的四边形是矩形

B．

对角线互相垂直的四边形是菱形

C．

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

D．

一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

17．（2014衡阳，第12题3分）下列命题是真命题的是【】

A．四条边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等

C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形

二、填空题

1.（2014•黑龙江龙东,第9题3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是　　．

2.（2014•黑龙江绥化,第11题3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　．

3.（2014•湖南衡阳,第15题3分）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为　　．

4.（2014•莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为　　．

5.（2014•乐山，第15题3分）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=　　．

6（3分）（2014•贵州黔西南州,第19题3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=　　°．

第1题图

7.（2014•黑龙江哈尔滨,第17题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为　　．

第2题图

8.（2014•黑龙江哈尔滨,第19题3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为　　．

第3题图

9．（2014•黑龙江牡丹江,第20题3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是　　．

第4题图

10.（2014•湖北黄冈,第15题3分）如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：

等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为　，，　cm2．

第5题图

11．（2014•重庆A,第15题4分）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　　．

12．（2014•重庆A,第18题4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为　　．

13．（2014•四川成都,第24题4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　　．

14．（2014衡阳，第15题3分）如图，在矩形

中，

，

，则

的长为。

15、（2014•无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　　．

16、（2014•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。

若

，AB=2，则图中阴影部分的面积为______.

17、（2014•宁夏，第10题3分）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=　　cm．

18、（2014•宁夏，第15题3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为　　．

三、解答题

1.（2014•海南,第23题13分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．

（1）求证：

△OAE≌△OBG；

（2）试问：

四边形BFGE是否为菱形？

若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）试求：

的值（结果保留根号）．

2.（2014•黑龙江绥化,第26题9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：

PG=

PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

3.（2014•湖北宜昌,第23题11分）在矩形ABCD中，

=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，

①填空：

∠HGA=　　度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；

（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

4.　（2014•湖南永州,第23题10分）在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．

小明做了如下操作：

将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：

（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；

（2）连接EF，CD，如图③，求证：

四边形CDEF是平行四边形．

5.（2014•广西来宾，第21题8分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规左图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：

DE=BF．

6．（2014年广西钦州，第20题7分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：

CE=DF．

7．（2014年贵州安顺，第23题12分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

8．（2014•莱芜，第21题9分）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．

（1）求证：

BE=CD；

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

9.（2014•青岛，第21题8分）已知：

如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：

△AOD≌△EOC；

（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=　　°时，四边形ACED是正方形？

请说明理由．

10.（2014•青岛，第24题12分）已知：

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：

S菱形ABCD=17：

40？

若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

11.（2014•山西，第19题6分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝形．所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似．

定义：

两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD

判定：

①两组邻边分别相等的四边形是筝形

②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形

显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点

如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：

如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：

（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；

（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：

①顶点都在格点上；

②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；

③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．

．

12.（2014•山西，第23题11分）课程学习：

正方形折纸中的数学．

动手操作：

如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．

数学思考：

（1）求∠CB′F的度数；

（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；

解决问题：

（3）如图3，按以下步骤进行操作：

第一步：

先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；

第二步：

沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；

第三步：

设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．

13.（2014•乐山，第19题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：

BE=CE．

14.（2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2

，求CE的长．

15.（2014•丽水，第23题10分）提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：

AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

综合运用：

（3）在

（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

16．（2014•黑龙江牡丹江,第26题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：

CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？

请说明你的理由．

第1题图

　17．（2014•四川广安,第19题6分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：

∠PDC=∠PEC．

18．（2014•浙江绍兴,第23题6分）

（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：

EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

　19．（2014•随州，第18题7分）已知：

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：

△ABM≌△DCM；

（2）填空：

当AB：

AD=　　时，四边形MENF是正方形．

20、（2014•江西，第23题8分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。

第一次操作：

将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：

将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去…

（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为____，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。

①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______。

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。