房价问题数学建模论文.docx
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房价问题数学建模论文
装订线
第九届西北工业大学数学建模竞赛暨
全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目
B题
密封号
2011年5月3日
剪切线
密封号
2011年5月3日
理学院第019队
队员1
队员2
队员3
童辉
王旭东
欧阳冰娇
班级
11011002
11011002
12031001
房价问题的数学模型
摘要
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
经过剖析我们将问题细化为以下四个方面：
1.房价合理性2.未来走势预测3.具体措施4.对经济的影响。
针对问题一，我们通过研究城市房价合理性模型，找出了判断房价合理性的标准，同时拟出了同一地区成本、销售面积、人均GDP之间的关系。
在解决这一问题时，我们采用了多元线性回归模型对相关变量进行了分析与处理，最终确定了判断房价合理性的标准。
对于问题二，我们通过分析确定了可以利用灰色模型来进行求解。
通过确定变量，建立模型，最终我们通过预测得到了市接下来四年的房价（元/平方米）数据：
2011
2012
2013
2014
23418.3435
30813.7366
37824.6341
46430.6864
6571.56034
7578.93868
8831.92657
10292.06464
第三问中，我们通过分析确定了使得房价合理的几种具体措施，包括防止炒房，提高居民购买力，减少土地价格。
为了得到最有效的措施，我们通过层次分析模型对各种具体措施对房价合理性的影响的权重系数进行了求解，比较各个系数大小，最终得出最有效的措施为防止炒房。
针对第四问，我们通过对地区房价，土地交易价格指数的分析，找出相关数据，利用matlab软件进行拟合，得到土地交易价格指数与房价的关系图。
并在结果分析中做出了具体而详实的分析,使它们之间的关系更为明晰。
关键字：
房价多元线性回归灰色模型层次分析
一、问题重述
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
二、问题分析
通过对题目的分析，我们总结出有四个问题需要解决。
●对我国具有代表性的几类城市房价的合理性进行定量分析；
●对这些城市的房价的未来走势进行定量分析；
●探讨使得房价合理的具体措施；
●探讨问题三中的具体措施可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
问题一分析
本问是要求我们通过查询并分析与房价密切相关的数据，判断房价的合理性。
考虑到不同城市可能有不同的结果，我们选取了一线城市——和二线城市——。
我们想通过房地产卖房子的利润与人均GDP的比值来反映房价的合理性。
如果该比值随年份上升趋势较缓，表明房价的上涨在居民的承受围，房价比较合理。
如果该比值随年份上升趋势较陡，表明房价的上涨不符合人均GDP的上涨，超出了居民的承受围，房价不合理。
问题二分析
本问是对房价的走势进行估计和预测。
房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，也是百姓生活中关注比较多、比较重要的问题之一。
较为准确的预测未来房地产的销售价格，对社会经济发展和人民生活极其重要，可以为经济决策提供参考，故其研究意义重大。
首先，根据题目显示，我们需要确定视具体研究那一座城市的房价情况，然后再继续考虑接下来的数据挖掘步骤。
针对本问，我们一定要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段的房价走势。
经分析可知，本问要用到相关的数据模型为灰色模型，据大量学者的经验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。
问题三分析
本问主要研究对于房价所应该采取的措施。
我们都知道，房价是现在国家管理的一个重要难题，国家必须通过一点的措施来抑制住房价的过快增长。
通过对一些数据的了解，我们可以了解到主要可以通过以下几个方面来进行，如优化供需关系，严格限制国家的炒房热，减少土地价格以及提高人民群众的购买力。
通过了解以上因素，我们可以建立相应的层次模型，来通过各个因素的加权数了解各个因素对房价影响的比重，以此来得出国家应该采取的正确措施抑制国家房价的过快增长。
从而达到更加合理的政策和更加有效的措施。
问题四分析
本问主要研究采取的措施对经济发展的影响，即房价的变化对经济发展的影响。
考虑到经济发展是多方面、多层次的，我们选择经济发展中的某一具体方面（土地交易价格指数）来定量分析，通过土地交易价格指数的变化来反映经济发展的变化。
为此，我们可以调查2003-2010年的房价和土地交易价格指数，并建立房价和土地交易价格指数与年份的模型，然后得到房价和交易价格指数的关系，也就得到了房价变化对经济发展的影响。
三、模型建立与求解
3-1-1：
问题1的模型假设与符号说明
假设：
假设1：
房地产每年的销售面积为一个定值。
假设2：
不考虑市场供需对房价的影响，只考虑人均GDP和成本对房价的影响。
假设3：
近五年的成本为一个定值，且与的成本相等。
假设4；不考虑房地产未卖出的房子，即房地产的亏损。
符号说明：
P：
利润（元）
A：
房价（元/平方米）
B：
成本（元/平方米）
N：
销售面积（平方米）
G：
人均GDP（元）
3-1-2：
问题1的模型建立与求解。
通过分析我们了解到：
要判断房价的合理性，就要了解房价与人均GDP的关系，考虑到不同城市可能有不同的结果，我们选取了一线城市——和二线城市——，并且调查了近五年和的房价以及人均GDP。
首先来求房地产的利润，P=（A-B）*N,我们用y来表示房地产的利润与人均GDP的比值关系，即y=P/G。
我们用x表示年份，x【20062007200820092010】，并建立了表格如下：
年份
2006
2007
2008
2009
2010
GDP（元）
50467
56044
63029
68788
76544
房价（元）
10323
11377
13222
15050
22310
Y
0.1154*N
0.1227*N
0.1384*N
0.1534*N
0.2327*N
“市2006-10年GDP、房价和年份的关系”
年份
2006
2007
2008
2009
2010
GDP（元）
16159
21017
25703
32370
34099
房价（元）
3089
3599
4032
5002
5398
Y
0.0055*N
0.0285*N
0.0402*N
0.0618*N
0.0703*N
“市2006-10年GDP、房价和年份的关系”
根据以上数据我们拟合出‘y-x’的变量曲线
西安Y与年份的关系
我们先分析，通过图像可知06-09年曲线上升趋势较缓，而2010年上升趋势较陡，根据拟合函数可以得出在2011年的y/N值为0.1718。
显而易见2010所得数据为0.2327和所预测的数据差别比较大，根据
函数和数据的综合了解，从而可以从整体上得出的房价在09年及以前的上升趋势比较具有合理性，而09-10年的房价有了一个很大的提升，如果政府和人民不采取正确的措施，可以预测出房价会有更大的提升。
从而导致出更加不合理的房价。
我们再分析，通过图像可知06-10年整体呈平稳的上升趋势，根据拟合函数可以得出在2011年y/N的值为0.1102，与图像所得数据相差不大。
从图像和数据的综合考虑，得出市的房价的整体变化趋势具有较强的稳定性，这是比较合理的房价发展趋势。
结果分析：
通过对假设的实际验证，我们确定了判断房价合理性的标准，即（销售价-成本）*销售额/人均GDP
售价与成本的差值乘以销售额在不考虑其他因素的情况下即为商家所获利润也就是从买家那赚的钱，人均GDP反应了某一地区的平均经济实力。
其比值越大，说明商家所获利润越高而人们的经济实力越低，这就表明房价明显超出了人们经济承受能力，故房价越不合理。
比值的增长趋势越陡，表明房价的增长越脱离人们经济实力的增长，因此房价的增长越不合理。
综上所述，基本可以判定我们得出的房价是合理增长而房价不合理增长的结论是可靠的
3-2-1：
问题二的模型假设与符号说明
假设：
假设1：
选取的数据是市2003-2010年房产的完全均价；
假设2：
所取数据不考虑政策等各种人为因素的干扰；
假设3：
数据的波动属于合理的围；
假设4：
“信息不完全”是绝对的。
符号说明：
a:
待估参数向量；
x0：
原始数据序；
x1：
x0的生成数据序列；
z1：
x1的紧邻均值生成；
X1：
x1的模拟值序列；
X0：
为x0的模拟值序列；
|s|：
x的灰色关联度；
|S|：
X的灰色关联度；
ε：
小误差概率；
3-2-2：
问题二的模型的建立与求解。
首先，我们找到了03-10年的房产均价数据，如下图表：
年份
房价（元/平方米）
年份
房价（元/平方米）
2003
5300
2007
11377
2004
6683
2008
13222
2005
6776
2009
15050
2006
10323
2010
22310
“市2003-10年房价表”
下面我们来建立GM（1,1）模型
我们可以记原始数据序列x0为：
x0={x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,…,x0（8）}
=（5300,6683,6776,10323,11377,13222,15050,22310）
其相应的生成的数据序列为：
x1={x1
（1）,x1
（2）,x1（3）,…,x1（8）}
=（5300,11983,18759,29082,40429,53681,68731,91041）
Z1为x1的紧邻均值生成序列：
Z1={z1
（1）,z1
（2）,…,z1（8）}
其中：
z1（k）=0.5x1（k）+0.5x1（k-1）,k=1,2,…n
Z1=（5300,8641.5,15371,23920.5,34770.5,47070,61206,79886）
于是有:
接下来，我们就可以确定模型：
x1/
t+0.205x1=4299.0
以及时间响应式：
X1（k+1）=（x0
（1）-b/a）eak+b/a=26270.73171*e0.205k-20970.73171
那么可以求出x1的模拟值
X1=（5300，14134.86299，23753.52912，34225.53508，45626.58670，58039.10618，71552.82797，86265.44753）
还原x0的模拟值，由X0（k+1）=X1（k+1）-X1（k）
得：
ε=（1+|s|+|S|）/（1+|s|+|S|+|s-S|）
=（5300,8834.86299,9618.66613,10472.00596,11401.05162,12412.51958,13513.72179,14712.61956）
e0=x1-X0
=（0,3148.13701,9140.33387,18609.99404,29057.94838,41268.4042,55217.27821,76328.38044）
下面求x0的标准差s1和e0的标准差s2.
根据指标临界值精度表，c=0.207<0.35,表明所建立的模型精度为一级，可以用X1（k+1）=26270.73171*e0.205k-20970.73171，进行预测。
到此模型已建立完成。
那么未来几年的房价可以这样预测：
当k=7时，X1（k+1）=114459.3435元,x0（k+1）=23418.3435元；
当k=8时，X1（k+1）=145273.0801元,x0（k+1）=30813.7366元；
当k=9时，X1（k+1）=183097.7142元,x0（k+1）=37824.6341元；
当k=10时，X1（k+1）=229528.4006元,x0（k+1）=46430.6864元。
总结可得：
2011年房价为23418.3435元/平方米；
2012年房价为30813.7366元/平方米；
2013年房价为37824.6341元/平方米；
2014年房价为46430.6864元/平方米。
接着，我们又找到了03-10年的房产均价数据，如下图表：
年份
房价（元/平方米）
年份
房价（元/平方米）
2003
1769
2007
3599
2004
1800
2008
4032
2005
2871
2009
5002
2006
3089
2010
5398
“房价随时间变化的表格”
与预测未来几年的房价一样，我们可以记原始数据序列x0为：
x0={x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,…,x0（8）}
=（1769，1800，2871，3089，3599，4032，5002，5398）
其相应的生成的数据序列为：
x1={x1
（1）,x1
（2）,x1（3）,…,x1（8）}
=（1769，3569，6440，9529，13128，17160，22162，27560）
Z1为x1的紧邻均值生成序列：
Z1={z1
（1）,z1
（2）,…,z1（8）}
其中：
z1（k）=0.5x1（k）+0.5x1（k-1）,k=1,2,…n
Z1=（1769，2669，5004.5，7984.5，11382.5，15144，19661，24861）
于是有：
接下来，我们就可以确定模型：
x1/
t-0.153x1=1791.8
以及时间响应式：
X1（k+1）=（x0
（1）-b/a）eak+b/a=13480.11111*e0.153k-11711.11111
那么未来几年的房价可以这样预测：
当k=7时，X0（k+1）=34131.56032元，x0（k+1）=6571.56034元；
当k=8时，X0（k+1）=41710.49901元，x0（k+1）=7578.93868元；
当k=9时，X0（k+1）=50542.42558元，x0（k+1）=8831.92657元；
当k=10时，X0（k+1）=60834.49022元,x0（k+1）=10292.06464元。
总结可得：
2011年房价为6571.56034元/平方米；
2012年房价为7578.93868元/平方米；
2013年房价为8831.92657元/平方米；
2014年房价为10292.06464元/平方米。
结果分析：
中国社会的高速发展，社会财富的迅猛增加，在中国高速发展的大背景下，导致房价在长期趋势中的单边上升是必然的趋势，道理很简单，社会财富以每年10%左右的速度增加，单位货币就以相同的速度缩水，以该货币标价的房价自然应该上涨。
然后国家对货币投放量的增加，使社会资金供应十分充裕，这就直接导致了房价的上涨。
前几年国家各种鼓励投资和消费政策出台，包括二手房的税收优惠，大力支持房贷，甚至对于按揭降低首付款比例、降低利率，这一切都引导着资金流向房地产。
纵观近几年房价的趋势，2009年、地区总发展速度高于2008年，2010年、地区的各项经济指标仍高于2009年，因此上升的大体方向是不变的。
但国家经济，近来已减少了货币的投放量，取消了对二手房税收的优惠，在一定程度上抑制了炒房，从而抑制了房价上涨速度。
从上面的分析我们可以确定的看出，以后几年、的房价已让存在上涨空间，但上涨速度将会变缓。
到此，我们可以肯定在本题通过我们模型的建立的求解所预测的与未来四年房价走势是合理的。
3-3-1：
问题3的模型假设与符号说明
假设：
假设1：
城市封闭，不与外界发生交流；
假设2：
不考虑各个地区的不同土地价格；
符号说明：
λmax：
最大特征值；
CI：
一致性指标；
CR：
一致性比率；
W：
特征向量；
Y：
权重值
3-3-2：
问题3的模型的建立与求解
（1）建立层次模型如下：
（2）构建判断矩阵，求出最大特征值、一致性指标和随机一致性比率。
O-C判断矩阵：
O
C1
C2
C3
W
C1
C2
C3
1
5
3
1/5
1
1/3
1/3
3
1
0.106
0.633
0.261
计算得出最大特征值为λmax=3.308，一致性指标为CI=（3.038-3）/（3-1）=0.019
得出一致性比率为CR=0.019/0.58=0.033<0.1,因此通过一致性检验，可作为一个权值。
C1-P判断矩阵：
C1
P2
P3
W
P2
P3
1
5
1/5
1
0.167
0.833
计算得出最大特征值为λmax=2，CI=0,显然通过了一致性检验。
C2-P判断矩阵：
C2
P1
P3
W
P1
P3
1
3
1/3
1
0.25
0.75
计算得最大特征值为λmax=2，CI=0,可知其通过一致性检验。
C3-P判断矩阵：
C3
P1
P2
W
P1
P2
1
1/2
2
1
0.667
0.333
计算得最大特征值λmax=2,CI=0,通过。
（3）各方案队总目标的层次总排序：
CP
C1
0.106
C2
0.633
C3
0.261
Y
P1
0.667
0
0.25
0.1360
P2
0.333
0.167
0
0.1410
P3
0
0.833
0.75
0.7230
结果分析：
从上面的分析结果可得：
在简单的探究了几种对房价合理性进行优化的方案中，防止炒房行为的总权重最大为0.7230，减少土地价格的总权重为0.1360，提高居民购买力为0.1410。
这与我们日常感受也基本符合，所以国家应在防止炒房上多下功夫，这其中包括了颁布限购限贷政策，对房贷利率进行合理化改进等，这样才可以更加合理的抑制住房价。
但要想很好的控制住房价，不仅这三个方面，还是有很多方面需要我们认真去考虑斟酌的。
3-4-1：
问题4的模型假设与符号说明
假设：
假设1：
在同一地区房价为销售均价，没有街道区域差异；
假设2：
在同一地区土地交易价格指数不受其它因素影响，以均值计算。
符号说明：
X：
房价
Y：
土地交易价格指数
3-4-2：
问题4的模型建立
1、根据题目要求，我们首先找到以下数据：
年份
房价（元）
土地交易价格指数
2003
5300
100.6
2004
6683
102.5
2005
6776
103.8
2006
10323
105.3
2007
11377
109.4
2008
13222
111.6
2009
15050
114.7
2010
22310
117.5
根据以上数据我们拟出的变动曲线和的土地交易价格指数与年份的变动曲线，如下:
房价与年份
土地交易价格指数与房价
2、由以上数据，我们利用matlab软件对其两两进行拟合，找出土地交易价格指数与房价的关系。
以上数据我们可以分别作线性拟合，即对多项式：
进行拟合。
3-4-3：
问题4的模型求解
据以上式子和数据，并经过多次拟合后，最终得出土地交易价格指数与房价的关系，其结果如下：
结果分析：
通过对问题4中的各项数据的多次拟合，我们得到了一个不太稳定的线性关系，但整体上走势还是正相关。
如果房价不能得到有效地控制，疯狂的上涨，这可能会导致土地交易价格指数的上涨。
而土地交易价格指数反映的是地价在时间上的平均变动和综合变动方向及其程度的相对指标，显示了土地市场的行情及其发展趋势。
这表明土地市场会产生混乱。
如果能够有效的控制房价的上涨，例如颁布限购限贷政策，对房贷利率进行合理化改进。
四、总结
房价的模型建立存在着许多的客观因素,在处理过程中有许多的变量未给于充分的考虑从而导致了模型建立和求解过程中的一些较大误差存在，如果在模型中多考虑一些客观的因素，相信我们的模型会更加的完美。
本模型的最大优点就是问题分割讨论，将所提出的问题分割成几个小问题从而得以一个一个的解决。
这样既可以简便模型，还可以把问题分析得更加透彻，即可以得到更加好的模型建立及求解效果。
而且利用灰色模型和层次分析模型使得模型的求解更加的具有合理性。
对于未来房价的基本走势也可以比较准确的预测，这是运用较合理的知识的结果。
通过对以上的模型的建立和求解，可以得出我国的房价发展趋势以及一些国家应该采取的措施。
对我国解决房价问题具有一定的积极意义。
参考文献：
1、2003年——2010年《中国统计年鉴》
2、《统计年鉴》
3、《西方经济学〔微观部分〕》，主编：
高鸿业，中国人民大学
4、《实用数学建模与软件应用》,主编：
肖华勇，西北工业大学
5、《MATLAB基础及其应用教程》，主编：
管爱红、红梅、铁军，电子工业
附录：
【1】灰色模型：
如果一个系统具有、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。
具有灰色性的系统成为灰色系统。
在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统部事务连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。
【2】层次分析模型：
层次分析法是美国运筹学家T.L.Saaty在20世纪70年代吃初提出来的，它是将半定性，半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。
把复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关键因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
它特变适用于那些难以完成用定量方法进行分析的复杂问题。
因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到了广泛的应用。
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