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北大版金融数学引论第二章答案

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存

款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。

计算X。

解：

S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%

50000−1000s20¬p7%

s10¬p7%

=651.72

2．价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：

每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解：

设首次付款为X，则有

10000=X+250a48¬p1.5%

解得

X=1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。

试计算该年金的现值。

解：

PV=na¬npi

1−vn

（n+1）nn2−nn+2

（n+1）n

4．已知：

a¬np=X，a2¬np=Y。

试用X和Y表示d。

解：

a2¬np=a¬np+a¬np（1−d）n则

Y−X

d=1−（

）

5．已知：

a¬7p=5.58238,a11¬p=7.88687,a18¬p=10.82760。

计算i。

解：

a18¬p=a¬7p+a11¬pv7

解得

6.证明：

1−v=

¬+a¬。

s¬

i=6.0%

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第1页

证明：

s10¬p+a∞¬p

（1+i）−1+1

s10¬p

（1+i）−1

1−v10

7．已知：

半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半

年200元，然后减为每次100元。

解：

PV=100a¬8p3%+100a20¬p3%=2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

解：

设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%

解得

9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。

X=8101.65

解：

d=10%，则i=1

10.求证：

（1）¨¬np=a¬np+1−vn；

1−d−1=19

¨¬8p=（1+i）

1−v8

=5.6953

（2）¨¬np=s¬−np1+（1+i）n

并给出两等式的实际解释。

证明：

（1）¨¬np=1−dv=1−v=1−v

i+1−vn

所以

（2）¨¬np=（1+i）−1

¨¬np=a¬np+1−vn

（1+i）−1=（1+i）−1

n−1

i+（1+i）

所以

¨¬np=s¬−np1+（1+i）n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利

率6%，计算：

1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终

值。

解：

PV=100a49¬p1.5%−100a¬2p1.5%=3256.88

AV=100s49¬p1.5%−100s¬2p1.5%=6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。

年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为Y，在第11－20年中没有。

已知：

v10=1，计算Y。

解：

因两种年金价值相等，则有

a30¬pi+a10¬piv10=Ya30¬−piYa10¬piv10

所以Y=3−v−2v

1+v−2v=1.8

14.已知年金满足：

2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另

外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。

计算i。

解：

由题意知，

2a2¬npi+3a¬npi=36

2a¬npivn=6

解得

a¬7p

a¬3p+sX¬p

i=8.33%

15.已知

a11¬p

aY¬p+sZ¬p

。

求X，Y和Z。

解：

由题意得

解得

1−v7

1−v11

（1+i）X−v3

（1+i）Z−vY

16.化简a15¬p（1+v15+v30）。

解：

X=4,Y=7,Z=4

a15¬p（1+v15+v30）=a45¬p

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第3页

17.计算下面年金在年初的现值：

首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解：

年金在4月1日的价值为P=1+4.5%

4.5%×2000=46444.44，则

PV=

（1+i）2+

=41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：

设递延时间为t，有

解得

t=−ln（1+lniPi）

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。

从第三十年底开始每年领取一

定的金额X，直至永远。

计算X。

解：

设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

1000¨20¬pi=

v29

解得

X=1000（（1+i）30−（1+i）10）

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：

前n年，A、B和C三人

平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。

如果四人的遗产份额的现值相

同。

计算（1+i）n。

解：

设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值

为i

3a¬npi

，而D得到遗产的现值为vn。

由题意得

所以

1−vn

（1+i）n=4

=vn

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。

已知：

C与A的份额之比为0.49，

求B与D的份额之比。

解：

由题意知

那么

PVC

PVA

PVB

a¬npv2n

a¬np

a¬npvn

13n

=0.49

=0.61

PVD

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最

后一次的还款大于100元。

计算最后一次还款的数量和时间。

100a¬np4.5%v4<1000

解：

100an+1¬p4.5%v4>1000

解得n=17

列价值方程

解得

100a16¬p4.5%+Xv21=1000

X=146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。

如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：

两年金现值相等，则4×a36¬pi=5×18，可知v18=0.25

由题意，（1+i）n=2解得n=9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：

每月底还100元，5年还清；k个月后一

次还6000元。

已知月结算名利率为12%，计算k。

解：

由题意可得方程

100a60¬p1%=6000（1+i）−k

解得

25.已知a¬2pi=1.75，求i。

解：

由题意得

解得

k=29

1−v2=1.75i

i=9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。

如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。

计算年利率。

解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支

取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。

已知：

在第4、5、6和7年底分别取出K元，

且第十年底的余额为一万元，计算K。

解：

由题意可得价值方程

10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4%+10000v10

则K=10000−10000v

105a¬v+a¬v=979.94

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。

第一次的还款额为后面还款的一半，

前四年半的年利率为i，后面的利率为j。

计算首次付款金额X的表达式。

解：

选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P（1+i）=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj（1+i）−4

所以

P（1+i）

1+2a¬4pi+2a¬5pj（1+i）−4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：

每两年付

款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：

前5年每季度初支付400元，然后增为600元。

已知

年利率为12%。

（缺命令）

解：

PV=4×400+4×600v5=11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：

在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：

PV=

s¬4pi

a24¬piv3=

（1+i）24−1

（1+i）27[（1+i）4−1]

a28¬−pa¬4p

s¬3p+s¬1p

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第6页

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末

年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解：

设年实利率为i，则（1+2%）2=1+i。

有题意得

750

s20¬pii

=Ra30¬pi

解得

R=1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解：

由题意知

解得

i=20%

is¬3pi

125

35.已知：

1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年

金，计算R。

解：

由题意得

解得

R=1.95

20=

a¬2pii

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。

试用贴现率表示递延

时间。

（2）

解：

设贴现率为d，则1+i

（1−d）

设递延时间为t，由题意得

10000=2×500vt¨

（2）∞¬p

解得

ln20+ln（1−（1−d））

ln（1−d）

37.计算：

3a¬

（2）np=2a

（2）2¬np=45s¬

（2）1p，计算i。

解：

3×a¬npi=2×

a¬npi=45×

s¬1pi

解得：

vn=1

（2）

。

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第7页

38.已知i（4）=16%。

计算以下期初年金的现值：

现在开始每4个月付款1元，

共12年。

（问题）

解：

39.已知：

δt=1+1t。

求¯¬np的表达式。

解：

¯¬np=

∫n

e−Rδdsdt=ln（1+n）

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支

付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：

第一种年金的现值为

∫1

vtdt=

1−e−δ

第二种年金的现值为e−δt，则

所以t=1+1δlnδi

1−e−δ

=e−δt

41.已知：

δ=0.08。

计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现

值。

（结果和李凌飞的不同）

解：

设季度实利率为i。

因a（t）=eδt，则eδ=（1+i）所以

1−v80

PV=100¨80¬pi=100（1+i）

=4030.53

42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。

同时每年以2400元的固定

速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解：

设年实利率为i，则i=eδ−1

设基金可维持t年，由两现值相等得

40000=2400a¬tpi

解得

t=28

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第8页

43.已知某永久期末年金的金额为：

1，3，5，...。

另外，第6次和第7次付款的现值

相等，计算该永久年金的现值。

解：

由题意：

（1+i）=（1+i）⇒i=112

PV=v+3v2+···+（2n−1）vn+···

=v[1+PV+2（v+v2+···）]

=v（1+PV+2v

解得:

PV=66

1−v）

44.给出现值表达式Aa¬np+B（Da）n|所代表的年金序列。

用这种表达式给出如

下25年递减年金的现值：

首次100元，然后每次减少3元。

解：

年金序列：

A+nB,A+（n−1）B,...,A+2B,A+B

所求为25a25¬p+3（Da）25|

45.某期末年金（半年一次）为：

800,750,700,...,350。

已知半年结算名利率

为16％。

若记：

A=a10¬p8%，试用A表示这个年金的现值。

解：

考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

2×（10−A）

300a10¬p8%+500（Da）10|8%=300A+

（2）

=6250−325A

46.年利率8％的十年储蓄：

前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。

计算第

十年底的余额。

解：

由题意：

AV=1000s¬5p8%（1+8%）6+（1000×1.05×1.085+

1000×1.052×1.084+···+1000×1.055×1.08）

=1000

（1+8%）5−1

1.086+1000×1.05×1.085

1（1.05

1.08）5

11.05

1.08

=16606.72

47.已知永久年金的方式为：

第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年

底各300元，依此类推。

证明其现值为:

100

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i−vd

第9页

解：

把年金分解成：

从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久

年金...。

从而

PV=v4

100

=100v4

=100

a¬2pi

i1−v2

i−vd

48.十年期年金：

每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

证明其现值为：

1600¨10¬p（I（4）¨）（4）1|元

证：

首先把一年四次的付款折到年初：

m=4,n=1,R=100m2=1600

从而每年初当年的年金现值：

1600（I（4）¨）（4）元

再贴现到开始时：

1600¨10¬p（I（4）¨）（4）1|元

49.从现在开始的永久年金：

首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利

率8％，计算现值。

解：

半年的实利率：

j=（1+8%）−1=3.923%

PV=1+

1.03

1+j

1.03

1.032

（1+j）2

+···

=（1−

1+j

）−1

=112.59

50.某人为其子女提供如下的大学费用：

每年的前9个月每月初500元，共计4年。

证明当前的准备金为：

6000¨¬4p¨（12）9/12|

证：

首先把9个月的支付贴现到年初：

m=12,n=9/12,R=500m=6000从而

每年初当年的年金现值：

6000¨（12）

贴现到当前：

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9/12|

6000¨¬4p¨（12）9/12|

第10页

51.现有如下的永久年金：

第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三

个k年每年底还3R；依此类推。

给出现值表达式。

解：

把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n=0,1,2,···）:

每个年金的值为

Ra∞¬p

在分散在每个k年的区段里：

Ra∞|

ak|

再按标准永久年金求现值：

R（a∞|）2

ak|

52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款

从第三年底开始的永久年金：

1,2,3,···的现值。

计算贴现率。

解：

由题意：

X=1

i1+i

20X=（1

解得：

i=0.05

i+i）（1+i）

即：

d=i

1+i=0.04762

53.四年一次的永久年金：

首次1元，每次增加5元，v4=0.75，计算现值。

与原答

案有出入

解：

（期初年金）

PV=1+6v4+11v9+···=

（期末年金）

∑∞

（5n−4）v（4n−4）=

i=1

（1−v4）2

−4

1−v4

=64

PV¨=v+6v5+11v10+···=v·PV=59.5587

54.永久连续年金的年金函数为:

（1+k）t，年利率i，如果：

金现值。

与原答案有出入

解：

由于0

PV=

∫∞∫∞

（1+k）te−δtdt=（

1+k

1+i

）tdt=

ln（1+i）−ln（1+k）

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第11页

55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t2−1，利息力为（1+t）−1，计算该年

金现值。

与原答案有出入

解：

PV=exp（−

∫1

1+t

dt）

∫14

（t2−1）exp（−

∫t−1

1+s

ds）dt=47.43

56.给出下列符号的表达式:

∑n

（Ia）t|和

t=1

解：

由（Ia）t|表达式有：

∑n

（Da）t|

t=1

∑n

（Ia）t|=

t=1

∑

¨tp¬−tvt

t=1

1∑n1∑

¨¬−tp

ntvt

t=1

1∑n

[（1+i）−vt−1]−

（Ia）n|展开求和即得

由（Da）t|表达式有：

∑n

t=1

[n（1+i）−2¨¬np+nvn]

∑nt−a¬tp

t=1

（Da）t|=

t=1

∑n

t=1

t−

∑

t=1

1−vt

1n（n+1）−1

i2i2

（n−a¬np）

2n（n+1）−n+a¬np

57.现有两种永久年金：

A－金额为p的固定期末年金；B－金额为q,2q,3q,···的

递增期末年金。

分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利

率。

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第12页

解：

年金现值分别为：

PVA=pa∞¬pi=

PVB=q（Ia）∞|=

（1）当PVA=PVB时有：

ip=iq+q

i=q

解得：

p−q,p>q

i不存在,p≤q

（2）令f（i）=pi−qi−iq

f（i）=−

解得：

i=2q

p−qp>q

58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单

价增加X。

如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年

增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？

（缺少利率?

下面的计算年利

率i=5%）（与原答案有出入）

解：

用9年一周期的产品，则有支付的现值为：

PV1=2×[1+（

1.04

1.05

）9+（

1.04

1.05

）18+（

1.04

1.05

）27]

用15年一周期的产品，则有支付的现值为：

1.04

PV2=（2+X）×[1+（

由PV1=PV2有：

X=0.6992

1.05

）15+（

1.05

）30]

59.计算

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