B．存在实数x0，使x
－3x0－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x
>4
答案 B
解析 t＝
时
＝
，此时
>t，所以A错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x0＝－1或x0＝4时，x
－3x0－4＝0，故B正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x<－2或x>2，所以D错．
二、填空题
7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．
（1）________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；
（2）________α，β∈R，使cos（α－β）＝cosα－cosβ；
（3）________a，b∈R，使方程组
，有唯一解．
答案
（1）∀
（2）∃ （3）∃
8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．
（1）任意一个整数都是有理数，________.
（2）实数的绝对值不小于0，________.
（3）存在一实数x0，使x
＋1＝0，________.
答案
（1）∀x∈Z，x∈Q
（2）∀x∈R，|x|≥0 （3）∃x0∈R，x
＋1＝0
三、解答题
9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？
若是，并判断其真假．
（1）∃x0，x0－2≤0；
（2）矩形的对角线互相垂直平分；
（3）三角形两边之和大于第三边；
（4）有些素数是奇数．
解
（1）特称命题，真命题；
（2）全称命题，假命题；
（3）全称命题，真命题；
（4）特称命题，真命题．
10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．
解 所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
知识点一 全称命题的否定
写出下列全称命题的否定：
（1）p：
∀x>1，log2x>0；
（2）p：
∀T＝2kπ，k∈Z，sin（x＋T）＝sinx；
（3）p：
直线l⊥平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.
解
（1）綈p：
∃x0>1，log2x0≤0.
（2）綈p：
∃T0＝2kπ，k∈Z，sin（x＋T0）≠sinx.
（3）綈p：
直线l⊥平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直．
【反思感悟】 全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定是“∃x0∈M，綈p（x0）”，全称命题的否定是特称命题．
写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：
不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
（2）p：
菱形的对角线互相垂直；
（3）p：
三角形的内角和为180°.
解
（1）这一命题可表述为p：
对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根，其否定为綈p：
存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．
（2）綈p：
有的菱形对角线不垂直．
显然綈p为假命题．
（3）綈p：
三角形的内角和不全为180°.（或存在一个三角形，其内角和不等于180°）显然綈p为假命题．
知识点二 特称命题的否定
写出下列特称命题的否定：
（1）p：
∃x0>1，使x
－2x0－3＝0；
（2）p：
若an＝－2n＋10，则∃n∈N，使Sn<0；
（3）p：
a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.
解
（1）綈p：
∀x>1，x2－2x－3≠0；
（2）綈p：
若an＝－2n＋10，则对∀n∈N，有Sn≥0；
（3）綈p：
a，b是异面直线，则∀A∈a，B∈b，有AB不与a垂直，或不与b垂直．
【反思感悟】 特称命题“∃x0∈M，p（x0）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，特称命题的否定是全称命题．遇到“且”命题否定时变为“或”命题，遇到“或”命题否定时变为“且”命题．
写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）p：
有些三角形的三条边相等；
（2）p：
存在一个四边形不是平行四边形；
（3）p：
∃x0∈R,3x0<0.
解
（1）綈p：
所有三角形的三条边不全相等．
显然綈p为假命题．
（2）綈p：
所有的四边形都是平行四边形．
綈p是假命题．
（3）綈p：
∀x∈R.3x≥0
綈p为真命题．
知识点三 全称命题、特称命题的应用
已知函数f（x）＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
（2）若存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>0成立，求实数m的取值范围．
分析 可考虑用分离参数法，转化为m>－f（x）对任意x∈R恒成立和存在一个实数x0，使m>f（x0）成立．
解
（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），
即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.
要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
（2）不等式m－f（x0）>0可化为m>f（x0），若存在一个实数x0，使不等式m>f（x0）成立，只需m>f（x）min.
又f（x）＝（x－1）2＋4，∴f（x）min＝4，
∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．
【反思感悟】 对任意的实数x，a>f（x）恒成立，只需a>f（x）max.若存在一个实数x0，使a>f（x0）成立，只需a>f（x）min.
若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解 ∵cos2x＋2sinx＋a＝0，
∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2（sin2x－sinx）－1，
∴a＝2（sinx－
）2－
.
又－1≤sinx≤1，∴－
≤2（sinx－
）2－
≤3.
故当－
≤a≤3时，方程a＝2（sinx－
）2－
有实数解，所以，所求实数a的取值范围是[－
，3].
课堂小结：
1.全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.具有性质p变为具有性质瘙_綈_p.
2.实际应用中,若从正面证明全称命题“x∈M，p（x）”不容易，可证其反面“x∈M“x0∈M，綈p（x0）”是假命题,反之亦然.
一、选择题
1．“a和b都不是偶数”的否定形式是（ ）
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
答案 A
解析 在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.
2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是（ ）
A．某些平行四边形不是矩形
B．任何平行四边形是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
答案 C
解析 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.
3．命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是（ ）
A．原函数与反函数的图象关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图象关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图象关于y＝x对称
答案 C
解析 要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．
4．命题“有的函数没有解析式”的否定是（ ）
A．有的函数有解析式
B．任何函数都没有解析式
C．任何函数都有解析式
D．多数函数有解析式
答案 C
5．将a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2改写成全称命题是（ ）
A．∃a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
B．∃a<0，b>0，使a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
C．∀a>0，b>0，使a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
D．∀a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
答案 D
解析 因a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2本身隐含着对任意的实数a，b等式都成立，等式本身就是一个全称命题，只是没用量词表达．
6．以下三个命题：
①∀α∈R，在[α，α＋π]上函数y＝sinx都能取到最大值1；
②若∃a∈R，且a≠0，f（x＋a）＝－f（x）对∀x∈R成立，则f（x）为周期函数；
③∃x∈（－
π，－
π），使sinxA．0B．1C．2D．3
答案 B
解析 ①错，因为当α＝
π时，y＝sinx在[
π，
π]上的最大值为
.③错，在同一坐标系中，画出y＝sinx和y＝cosx的图象，可得出：
∀x∈（－
π，－
π），sinx>cosx.②正确，用x＋a替换x，则f（x＋2a）＝－f（x＋a）＝f（x），故函数f（x）的一个周期为2a.
二、填空题
7．给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________（填序号）．
答案 ③④
解析 ①是真命题，故其否定为假命题，②是真命题，故其否定为假命题，③④都是假命题，故其否定是真命题．
8．写出命题“若a和b都大于0，则a＋b>0”的否定为
________________________________________________________________________.
答案 存在a和b都大于0，使a＋b≤0成立
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）q：
存在一个实数x0，使得x
＋x0＋1≤0；
（2）r：
等圆的面积相等，周长相等；
（3）s：
对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解
（1）这一命题的否定形式是綈q：
对所有实数x，都有x2＋x＋1>
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