形式语言与自动机答案蒋宗礼.docx
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形式语言与自动机答案蒋宗礼
形式语言与自动机答案蒋宗礼
【篇一：
形式语言第四章参考答案（蒋宗礼）】
p>解：
所求正则表达式为：
（0+1）*。
+
⑵{0,1}。
解：
所求正则表达式为：
（0+1）+。
⑶{x│x∈{0,1}且x中不含形如00的子串}。
解：
根据第三章构造的fa，可得所求正则表达式为：
1*（01+）*（01+0+1）。
⑷{x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串}。
+
++
q1为终态时的正则表达式：
0*1（1*（0（10）*111*1）*（0（10）*00*1）*）*q2为终态时的正则表达式：
0*11*0（（10）*（111*11*0）*（00*11*0）*）*
q3为终态时的正则表达式：
0*11*0（10）*1（11*11*0（（10）*（00*11*0）*）*1）*q4为终态时的正则表达式：
0*11*0（10）*11（1*（11*0（（00*11*0）*（10）*）*11）*）*
将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺{x│x∈{0,1}且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1
且x≠0时，x的首字符为1}。
解：
先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情
形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
由题设，x=0时，│x│=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。
下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。
q:
输入1，模5是1，进入q1。
+
q0:
设x=5n。
输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0
输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1
q1：
设x=5n+1。
输入0，x=（5n+1）*2=10n+2，模5是2，故进入q2输入1，x=（5n+1）*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3q2：
设x=5n+2。
输入0，x=（5n+2）*2=10n+4，模5是4，故进入q4输入1，x=（5n+2）*2+1=10n+5，模5是0，故进入q0q3：
设x=5n+3。
输入0，x=（5n+3）*2=10n+6，模5是1，故进入q1
输入1，x=（5n+3）*2+1=10n+7，模5是2，故进入q2
q4：
设x=5n+4。
输入0，x=（5n+4）*2=10n+8，模5是3，故进入q3
输入1，x=（5n+4）*2+1=10n+9，模5是4，故进入q4则状态转移图如下：
则所求的正则表达式为：
1（010*1+（1+001*0）（101*0）*（0+110*1））*（1+001*0）（101*0）*⑻{x│x∈{0,1}+且x的第10个字符是1}。
解：
所求正则表达式为：
（0+1）1（0+1）*。
⑼{x│x∈{0,1}+且x以0开头以1结尾}。
解：
所求正则表达式为：
0（0+1）*1。
⑽{x│x∈{0,1}+且x中至少含两个1}。
解：
所求正则表达式为：
（0+1）*1（0+1）*1（0+1）*。
⑾{x│x∈{0,1}*和如果x以1结尾，则它的长度为偶数；如果x以0结尾，则它的长度为奇数}。
解：
所求正则表达式为：
（0+1）2n+11+（0+1）2n0（n∈n）
或0+（0+1）（（0+1）（0+1））*1+（0+1）（0+1）（（0+1）（0+1））*0。
⑿{x│x是十进制非负实数}。
解：
首先定义∑＝{.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}则所求正则表达式为：
（0+1+?
+9）*.（0+1+?
+9）*。
9
*********************************************************************************
2.理解如下正则表达式，说明它们表示的语言
（1）（00+11）+表示的语言特征是0和1都各自成对出现
（2）（1+0）*0100表示的语言特征是以010后接连续的0结尾（3）（1+01+001）*（?
+0+00）表示的语言特征是不含连续的3个0
（4）（（0+1）（0+1））*+（（0+1）（0+1）（0+1））*表示所有长度为3n或2m的0，1串（n?
0,m?
0）（5）（（0+1）（0+1））*（（0+1）（0+1）（0+1））*表示所有长度为3n+2m的0，1串（n?
0,m?
0）（6）00+11+（01+10）（00+11）*（10+01）表示的语言特征为长度为偶数n的串.当n=2时，是00或11的串。
+
n?
4时，是以01或10开头，中间的子串00或11成对出现，最后以10或01结尾的串
*********************************************************************************************4.3.证明下列各式褚颖娜02282072
（1）结合律（rs）t=r（st）（r+s）+t=r+（s+t）
1）证明对?
x∈（rs）t总可以找到一组x1x2x3使得x=x1x2x3其中x3∈tx1x2∈rs且x1∈r,x2∈s,
则x2x3∈st因此x1（x2x3）∈r（st）即x1x2x3∈r（st）x∈r（st）得证因此（rs）t?
r（st）同理可证r（st）?
（rs）t则（rs）t=r（st）成立
2）证明对?
x∈（r+s）+tx∈（r+s）或x∈t对于x∈r+s?
x∈r或r∈s，因此x∈r或x∈s或x∈t?
x∈r或x∈（s+t）?
x∈r+（s+t）所以（r+s）+t?
r+（s+t）同理可证r+（s+t）?
（r+s）+t则（r+s）+t=r+（s+t）成立
（2）分配律r（s+t）=rs+rt（s+t）r=sr+tr
1）证明对于?
x∈r（s+t）总可以找到x1x2使得x=x1x2其中x1∈r,x2∈（s+t）
由x2∈（s+t）?
x2∈s或x2∈t
则x1x2∈rs或x1x2∈rt所以r（s+t）?
rs+rt
对于?
x∈rs+rt?
x∈rs或x∈rt且总可以找到一组x1x2使得x=x1x2其中x1∈r,x2∈s或x1∈r,x2∈t?
x1∈r，x2∈s或x2∈t?
x1∈r，x2∈（s+t）?
x1x2∈r（s+t）所以rs+rt?
r（s+t）则r（s+t）=rs+rt
2）证明对于?
x∈（s+t）r总可以找到x1x2使得x=x1x2其中x1∈（s+t），x2∈r
由x1∈（s+t）?
x1∈s或x1∈t
则x1x2∈sr或x1x2∈tr所以（s+t）r?
sr+tr
对于?
x∈sr+tr?
x∈sr或x∈tr且总可以找到一组x1x2使得x=x1x2其中x1∈s,x2∈r或x1∈t,x2∈r?
x1∈s或x1∈t,x2∈r?
x1∈（s+t）,x2∈r?
x1x2∈（s+t）r所以sr+tr?
（s+t）r
则（s+t）r=sr+tr
（3）交换律r+s=s+r
证明对于?
x∈r+s?
x∈r或x∈s?
x∈s或x∈r?
x∈s+r所以r+s?
s+r同理可证s+r∈r+s
则r+s=s+r（4）幂等律r+r=r
证明对于?
x∈r+r?
x∈r或x∈r?
x∈r所以r+r?
r
对于?
x∈r?
x∈r或x∈r?
x∈r+r所以r?
r+r因此r+r=r
（5）加法运算零元素：
r+?
=r
证明对于?
x∈r+?
?
x∈r或x∈?
?
x∈r所以r+?
?
r
对于?
x∈r?
x∈r或x∈?
?
x∈r+?
所以r?
r+?
因此r+?
=r
（7）乘法运算零元素：
r?
=?
r=?
证明：
∵对?
x?
rx?
=?
x=?
∴r{?
}={?
}r=r
∴r?
=?
r=?
*
由第一章的作业1.30中的第八题（l2∪l1）*=（l2*l1*）*其中l1、l2为正则语言
又r、s为正则表达式正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有（r+s）*=（r*s*）*成立即（r*s*）*=（r+s）*
成立
（11）（r*）*=r*
由第一章的作业1.30中的第三题（l1*）*=l1*其中l1为正则语言
又r为正则表达式正则语言可以用正则表?
达式表示，因此显然有（r）=r成立
**
**
*
*
*
*
*
*********************************************************************************
4下面各式成立吗？
请证明你的结论
（1）（r+rs）*r=r（sr+r）*证明：
成立。
如果对所有的k=0,（r+rs）kr=r（sr+r）k成立，则（r+rs）*r=r（sr+r）*肯定成立可以用归纳法证明（r+rs）kr=r（sr+r）k对所有的k=0成立
i.k=0时候，（r+rs）0r=r=r（sr+r）0
nn
ii.假设k=n时候（r+rs）r=r（sr+r）成立，往证k=n+1时候结论成立（r+rs）n+1r=（r+rs）n（r+rs）r=（r+rs）n（rr+rsr）=（r+rs）nr（r+sr）=r（sr+r）n（r+sr）
=r（sr+r）（sr+r）=r（sr+r）
这就是说，结论对k=n+1成立，即证明了（r+rs）kr=r（sr+r）k对所有的k=0成立，所以（r+rs）*r=r（sr+r）*
（2）t（s+t）r=tr+tsr
证明：
不成立。
不妨取r=0,s=1,t=2,则t（s+t）r=2（1+2）0=210+230,但tr+tsr=20+210.（3）rs=sr
证明：
不成立。
不妨取r=0,s=1,显然rs=01,而sr=10.
（4）s（rs+s）*r=rr*s（rr*s）*
不成立，假设r,s分别是表示语言r，s的正则表达式，例如当r={0}，s={1},l（s（rs+s）*r）是以1开头的字符串，而l（rr*s（rr*s）*）是以0开头的字符串.l（s（rs+s）*r）?
l（rr*s（rr*s）*）所以s（rs+s）*r?
rr*s（rr*s）*,结论不成立（5）（r+s）*=（r*s*）*证明：
结论成立。
i.l（r+s）=l（r）?
l（s）,l（r）=l（rs0）?
l（r*s*）,l（s）=l（r0s）?
l（r*s*）那么l（r+s）=l（r）?
l（s）?
l（r*s*），（l（r+s））*?
（l（r*s*））*,
n
n+1
l（（r+s）*）?
l（（r*s*）*）,所以（r+s）*?
（r*s*）*ii.（r+s）*=（（r+s）*）*,
对任意m,n=0,rmsn?
（r+s）m+n，所以r*s*?
（r+s）*（r*s*）*?
（（r+s）*）*=（r+s）*
由i，ii可以知道（r*s*）*?
（r+s）*，（r+s）*?
（r*s*）*得到（r+s）*=（r*s*）*
（6）（r+s）*=r*+s*
不成立，假设r,s分别是表示语言r，s的正则表达式，例如当r={0}，s={1},l（（r+s）*）={x|x=?
或者x是所有由0,1组成的字符串}
l（r*+s*）=l（r*）?
l（s*）={?
0,00,000,……}?
{?
1,11,111,……}l（（r+s）*）?
l（r*+s*）,例
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