第3节等式性质与不等式的性质.docx

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第3节等式性质与不等式的性质

第3节等式性质与不等式的性质

考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

a－b>0?

a>b，

（1）作差法a－b＝0?

a＝b，a－b<0?

a

ab>1（a∈R，b>0）?

a>b（a∈R，b>0），

（2）作商法

a

b＝1?

a＝b（a，b≠0），ba<1（a∈R，b>0）?

a0）.

2.等式的性质

（1）对称性：

若a＝b，则b＝a.

（2）传递性：

若a＝b，b＝c，则a＝c.

（3）可加性：

若a＝b，则a＋c＝b＋c.

（4）可乘性：

若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.

3.不等式的性质

（1）对称性：

a>b?

b

（2）传递性：

a>b，b>c?

a>c；

（3）可加性：

a>b?

a＋c>b＋c；a>b，c>d?

a＋c>b＋d；

（4）可乘性：

a>b，c>0?

ac>bc；a>b，c<0?

acb>0，c>d>0?

ac

>bd；

（5）可乘方：

a>b>0?

an>bn（n∈N，n≥1）；

（6）可开方：

nn

a>b>0?

a>b（n∈N，n≥2）.

[常用结论与微点提醒]

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.

2.有关分式的性质

bb＋mbb－m

（1）若a>b>0，m>0，则aa－m（b－m>0）.

11

（2）若ab>0，且a>b?

a

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）a>b?

ac2>bc2.（）

（2）a＝b?

ac＝bc.（）

a

（3）若b>1，则a>b.（）

111

（4）0

b

解析

（1）由不等式的性质，ac2>bc2?

a>b；反之，c＝0时，a>b?

ac2>bc2.

（2）由等式的性质，a＝b?

ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc?

a＝b.

a

（3）a＝－3，b＝－1，则b>1，但a

B.ad

dc

ab

C.c>d

答案

（1）×

（2）×（3）×（4）√

答案>

4.（2020沈·阳调研）实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是（）

A.xy<1B.2－x<2－y

22

C.lg（x－y）>0D.x2>y2

解析由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.

答案B

5.（2020广·东执信中学月考）若a，b∈R，且a>|b|，则（）

A.a<－bB.a>b

2211

C.a2

ab

解析由a>|b|可知，当b≥0时，a>b；当b<0时，a>－b，则a>0>b，综上可知，当a>|b|时，a>b恒成立，故选B.

答案B

6.（多选题）（2020商·丘九校联考）已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（）

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.x|y|>|y|z

解析因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，y的符号无法确定，对于A，因为x>z，若y<0，则xy<0z，x>0，所以xy>xz，故B正确；对于C，因为x>y，z<0，所以xzz，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确.

答案ACD

考点一比较两个数（式）的大小

S3S5

【例1】

（1）已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则S3与S5的大小关

a3a5

系为.

ln3ln4ln5

（2）（一题多解）若a＝3，b＝4，c＝5，则（）

B.c

A.a

C.c

D.b

S3S5S3S5

解析

（1）当q＝1时，aS33＝3，aS55＝5，所以aS330且q≠1时，S3－S5＝a1（1－q3）－a1（1－q5）a3－a5＝a1q2（1－q）－a1q4（1－q）q2（1－q3）－（1－q5）－q－1＝q4（1－q）＝q4<0，

所以aS33

（2）法一易知a，b，c都是正数，ba＝34llnn34＝log8164<1，所以a>b；cb＝54llnn45＝log6251024>1，所以b>c.即c

法二构造函数f（x）＝lnxx，则f′x）（＝1－xl2nx，

xx由f′x）（>0，得0e.∴f（x）在（0，e）为增函数，在（e，＋∞）为减函数.∴f（3）>f（4）>f（5），即a>b>c.

S3S5

答案

（1）aS33

（2）B

规律方法1.作差法一般步骤：

（1）作差；

（2）变形；（3）定号；（4）结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

2.作商法一般步骤：

（1）作商；

（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）结论.

3.函数的单调性法：

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.

4.特殊值法：

对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

【训练1】

（1）若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3a2b＋ab2（用符号>、<、

≥、≤填空）.

a＋b

（2）（2020黑·龙江海林检测）若a>0，b>0，则p＝（ab）2与q＝ab·ba的大小关系是

解析

（1）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b），

∵a>0，b>0且a≠b，∴（a－b）2>0，a＋b>0，∴（a3＋b3）－（a2b－ab2）>0，

即a3＋b3>a2b＋ab2.

1，a－b>0，则qp>1；若01；若a＝b，则pq＝1.综上，p≥q，故选A.

q

答案

（1）>

（2）A

考点二不等式的性质

【例2】

（1）（多选题）设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是（）

11

11

A.a2－c

ab

a＋2a22

C.>D.ac2

b＋2b

11111

（2）（组合选择题）若a<1b<0，给出下列不等式：

①a＋1b0；③a－1a

a＋2a

b＋2－b＝（b＋2）b>0，所以b＋2>b.

当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立，故选ABC.

11

（2）法一因为a0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.

1111

法二由<<0，可知b0，所以<0，

aba＋bab

11

>0.故有a＋1b

2中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；

1111

3中，因为b－>0，

abab

11

所以a－1>b－1，故③正确；

ab

4中，因为ba2>0，而y＝lnx在定义域（0，＋∞）上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.

答案

（1）ABC

（2）C

规律方法解决此类题目常用的三种方法：

（1）直接利用不等式的性质逐个验证；

（2）利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；

（3）利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.

【训练2】

（1）（2020抚·顺调研改编）已知a，b，c满足c

A.ab>acB.c（b－a）<0

44

C.cb40

（2）（2019武·汉联考）下列命题中正确的是（）

A.若a>b，c∈R，则ac>bc

ab

B.若a>b，cd

C.若a>b，c>d，则a－c>b－d

11

D.若ab>0，a>b，则a

（1）因为a，b，c满足cc，a>0，所以ab>ac，故A正确；对于B，因为b0，故B不正确；对于C，因为c0，所以ac（a－c）<0，故D不正确，故选A.

（2）A中，当c＝0时不成立，c<0时也不成立，故A不正确.B中，当c<0

b，（－c）<（－d），不满足不等式的同向相加性，故C不正确.D中，因为ab>0，所以a，b同号，所以当a>b时，11

<，故D正确.故选D.

ab

答案

（1）A

（2）D

考点三不等式及其性质的应用多维探究

角度1不等式在实际问题中的应用

【例3－1】（2017·北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（1）男学生人数多于女学生人数；

（2）女学生人数多于教师人数；（3）教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为.

②该小组人数的最小值为.

解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4

答案①6②12

角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移

【例3－2】（经典母题）已知－1

3x＋2y的取值范围是.

解析因为－1

答案（－4，2）（1，18）

【迁移1】将本例条件改为“－1

所以－3<－y<1，－4

【迁移2】将本例条件改为“已知－1

解设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），

即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，

∴3x＋2y＝21（x－y）＋25（x＋y）.

∵－1

11515

∴－12<21（x－y）<2，5<25（x＋y）<125，

91519

∴2<2（x－y）＋2（x＋y）<2.

919

故3x＋2y的取值范围是29，129.

规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.

2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：

一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过

“一次性”不等关系的运算求解范围.

【训练3】

（1）已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

甲

乙

设用甲、乙两种食物各xkg、ykg配成至多100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为.

11a

（2）（2019青·岛测试）已知实数a∈（1，3），b∈8，4，则b的取值范围是

解析

（1）x，y所满足的关系为

x＋y≤100，x＋y≤100，

2x＋y≥155，x≥0，y≥0.

600x＋700y≥56000，

800x＋400y≥62000，

x≥0，y≥0，

1a

（2）依题意可得4

x＋y≤100，

6x＋7y≥560，x≥0，y≥0

A级基础巩固

一、选择题

1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过

40km/h，写成不等式为（）

解析由汽车的速度v不超过40km/h，即小于等于40km/h，即v≤40km/h，故选D.

答案D

11

2.（多选题）下列四个条件，能推出a

11

解析运用倒数性质，由a>b，ab>0可得a<1b，B、D正确.又正数大于负数，

A正确，C错误，故选A，B，D.答案ABD

3.若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的（

1

数，但函数g（x）＝x＋x在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，所以，当

6.（一题多解）（2019全·国Ⅱ卷）若a>b，则（）

A.ln（a－b）>0B.3a<3b

C.a3－b3>0D.|a|>|b|

解析法一由函数y＝lnx的图象（图略）知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b

法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln（a－b）<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.

答案C

111ab

7.（2020山·东齐鲁名校联考）已知0

A.M>NB.M

C.M＝ND.不能确定

1

解析∵00，1＋b>0，1－ab>0.

1－a1－b2（1－ab）

∴M－N＝1＋a＋1＋b＝（1＋a）（1＋b）>0，∴M>N，故选A.答案A

8.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c.且0

A.c≤3B.3

C.69

解析由f（－1）＝f（－2）＝f（－3）

a＝6，

解得

b＝11，

－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，

－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，

则f（x）＝x3＋6x2＋11x＋c，

由0

、填空题

11

解析分母有理化有51－2＝5＋2，6－15＝6＋5，显然5＋2<6＋5，

11所以1<1.

5－26－5

答案<

10.设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f

（1）≤4，则f（－2）的取值范围是

解析设f（－2）＝mf（－1）＋nf

（1）（m，n为待定系数），则4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），

即4a－2b＝（m＋n）a＋（n－m）b.

m＋n＝4，m＝3，

于是得解得

n－m＝－2，n＝1.

∴f（－2）＝3f（－1）＋f

（1）.又∵1≤f（－1）≤2，2≤f

（1）≤4.∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.答案[5，10]

11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：

1若ab>0，bc－ad>0，则c－d>0；

ab

cd

2若ab>0，ac－db>0，则bc－ad>0；

cd

3若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

ab

其中正确的命题是（填序号）.

解析∵ab>0，bc－ad>0，

∴bc－ad>0，∴②正确；

∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.

答案①②③

1

12.若0

解析∵0

1

∴a<21且2a<1，

212111∴a<2b·a＝2a（1－a）＝－2a2＋2a＝－2a－2＋2<2.即a<2ab<2.

22211

又a＋b＝（a＋b）－2ab＝1－2ab>1－2＝2，

即a2＋b2>21.

∵12

∴（a2＋b2）－b＝［（1－b）2＋b2］－b＝2b2－3b＋1＝（2b－1）（b－1）<0.

答案a<2ab<21

B级能力提升

13.（2020长·沙周南中学模拟）若a>1>b>0，－1

A.2b<2aB.logab

C.a2

解析A中，函数y＝2x在R上单调递增，∵a>b>0，∴b>0>－a，∴2b>2－a，故A错误.B中，函数y＝logax（a>1）在（0，＋∞）上单调递增，∵0logb1＝0.∴logabb>0，∴a2>b2，故C错误.D中，∵－1logba，故D错误.故选B.

答案B

a，a≤b，

14.（2019大·连模拟）设a，b∈R，定义运算“?

”和“⊕”如下：

a?

b＝

b，a>b，b，a≤b，

a⊕b＝若m?

n≥2，p⊕q≤2，则（）

a，a>b.

A.mn≥4且p＋q≤4B.m＋n≥4且pq≤4

C.mn≤4且p＋q≥4D.m＋n≤4且pq≤4

m≥2，n≥2，解析结合定义及m?

n≥2可得或

m≤nm>n，

即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；

p≤2，q≤2，结合定义及p⊕q≤2，可得或

p>qp≤q，

即q

15.已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是

b2>1，

解析因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；

b<1，

b2<1，

当a<0时，b2<1

b>1，

综上知实数b的取值范围是（－∞，－1）.

答案（－∞，－1）

c

16.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f

（1）＝0，且a>b>c，则的取值范围是

a

解析因为f

（1）＝0，所以a＋b＋c＝0，

所以b＝－（a＋c）.又a>b>c，

所以a>－（a＋c）>c，且a>0，c<0，

所以

2c

<－

1，

解得－2

－2，

c1即ca的取值范围为－2，－12.

1

答案－2，－12

C级创新猜想

17.（多选题）若0c>1，则（）

a

b

A.c>1

c－ac

B.b－－a>cb

C.ca1

a0

解析对于A，∵b>c>1，∴b>1.∵0cb＝1，故正确.对于B，

ccc

c－ac

若>，则bc－ab>bc－ac，即a（c－b）>0，这与0c>1矛盾，b－ab

故错误.对于C，∵0c>1，∴ca－1>ba－1，故错误.对于D，∵0c>1，∴logca

答案AD

18.（开放题）给出三个不等式：

①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是（答案不唯一，写出一个即

可）.

解析使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，（a－b）2－（a－b）2＝2ab－2b＝2b（a－b），

∵a>b>0，∴2b（a－b）>0，

所以（a－b）2－（a－b）2>0，即a－b>a－b.

答案a>b>0（答案不唯一）

2.（老教材必修5P66A3

（2）改编）若a>b>0，c

A.ad>bc

dc

ab

D.c

1111

解析因为cc*1>1d，两边同乘－1，得－d1>－c1>0，又a>b>0，

故由不等式的性质可知－a>－b>0.两边同乘－1，得a

d