尺规作图ruler and compass construction.docx

尺规作图ruler and compass construction.docx

《尺规作图ruler and compass construction.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《尺规作图ruler and compass construction.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

尺规作图rulerandcompassconstruction

尺规作图

rulerandcompassconstruction（geometry） 

一：

规定

二：

分析

三：

常规的尺规可以做的图

四：

拓展

五：

尺规作图的意义

一：

规定

仅有两种尺规作图方法：

1：

作直线。

尺可以作过两点的直线，；

2：

作圆。

规可以以任一点为圆心，做过任意其他一点的圆。

二：

分析

1：

最终还是做边。

直线-----规可以截距（在圆上或者直线线段上）---都是线段的概念---即：

边----没有提到角。

可见关于角度的作图都是通过边来实现的。

（譬如等边三角形可以构造出60度角；直角边是斜边一半构造出30度；等腰直角三角形构造出45度；利用半角和倍角等做法构造出其他角度；）

2：

关于边的长度的比例既然不能通过刻度来作，那就通过一些几何定理来达成。

（譬如利用相似三角形+旋转；重心截中线成1:

2；平行四边形对边相等，对角线平分；特殊角度对应的边长比；对角线上到两边的距离相等）

3：

圆是边和角内部以及两者之间的桥梁，既可以乾坤大挪移把角和边飞来飞去的平移和旋转（圆本身就是一种旋转）；（同弦上的圆周角相等，圆上各点到圆心距离相等）；还可以把角的关系变成边的关系（如直径对的圆周角是90度，圆心和弦中点的连线垂直平分弦）

三：

常规的尺规可以做的图：

1.1，尺规可以做等角。

1.2，尺规可以做角平分线。

1.3，尺规可以做中点。

1.4，尺规可以做过一点的垂线，可以做过一点的平行线。

1.5，尺规可以做过三点的圆。

例题：

1:

三等分线段

由于尺规作图法的要求，在将线段三等分的过程中，应该尽最大可能利用特殊角度、特殊三角形、三角形全等、三角形相似、平行线、中线、垂线及其性质。

通过这些性质使得线段之间出现2倍、3倍、1/2倍、1/3倍的关系，从而推进线段AB的三等分。

1利用平行线分线段成比例定理作图

1.过给定线段AB的任意一端端点作射线（例如射线BO）；

2.利用圆规依次在射线BO上截取三段等长线BM、MN、NL；

3.连接LA过M、N做平行于LA的直线交AB于C、D；

则点C、点D即是给定线段AB的三段分点。

4.连接DF与DG，直线DF、直线DG分别与直线AB相交于点P和点N

则P、N即为线段AB的三段分点。

3.3利用三角形重心性质作图

1.已知给定直线AB，以A为圆心，半径任意做圆弧；过点A作直线，与圆弧相交于点C、D；

2.连接点C、B、D，得到三角形CBD（A为CD的中点）；

3.尺规作图找出线段DB的中点E，连接CE，交线段AB于F

4.同样方法找出线段BF的中点G

则点F、G即为线段AB的三等分点。

3.4利用特殊角度作图

1.已知给定线段AB，过A点利用三角板作出射线AO与直线AB的夹角呈60度；作∠OAB的角平分线AC；

2.过B点作线段AB的垂线交AC于点D，则有

；

3.作∠ADB的角平分线，与线段AB交于点E，则有

即AB=3EB，E为线段AB的三等分点。

3.5利用三角形全等作图

1.已知给定线段AB，以AB为平行四边形的对角线作出平行四边形ACBD

2.分别在边AC、DB上找中点E、F

3.分别连接ED、CF，交线段AB于G、H

即G、H点为线段AB的三等分点。

3.6利用三角形相似作图

1.已知线段AB，分别过点A、点B作一组不平行于AB的平行线i、j；

2.在j上过B点取定长的线段BD，在i上过A点截取2BD长的线段AC；连接CD交AB于点E

即E为线段AB的三等分点。

2：

七等分圆面积。

图中那样依次作出12个半圆弧。

做一些简单的计算就可以验证，这些半圆弧形成的七个区域的面积确实是相等的。

另外，值得一提的是，这个切分方法还有一个神奇的性质：

它的每一部分的周长都是相等的

3：

尺规作图正五边形

考虑此三角形，显然BD=BC=AD=x，三角形ABC相似于三角形BCD

所以AB/BC=BC/CD即1/x=x/（1-x）得x=（sqrt（5）-1）/2

令任意长为1，用勾股定理x可以做出来，三角形ABD就能做出来，得到了36度角，放到圆里。

。

。

4：

为什么高斯能尺规作图出正十七边形

因为可以用尺规做出下面的数字。

四：

拓展

尺规作图可以实现代数运算（本质等同于代数运算，作图就是作数）

1：

三大历史问题

每个线段长度是一个实数。

因此给定两个实数可以用尺规做出和与差。

（截补）

给定两个线段和1以后，就可以做出以其为乘积的线段了：

图中设AC、BC是给定的两个线段，,1给定。

过C任作一直线，直线上取E使得CE=1。

做以ABE三点确定的圆（1.5），延长EC交此圆于D，CD即为以AC*BC为长度的线段。

除法。

设给定线段长度为a和b，想要做出a/b，由于乘积的做法已

其中AC=BC=1，过C任作直线，取直线上一点D使得CD=b，做ABD三点确定的圆，延长DC交此圆于E，CE即为以1/b为长度的线段。

有了乘积和除法，就有了整数幂的乘方（包括正整数幂和负整数幂，当然，和零次幂）。

接下来是开方。

设有实数a，当然给定1，如下可以做出长度为的线段：

如图，设AC=a，延长AC，直线AC上取B使得BC=1。

取AB中点O，作以AB为直径的圆。

过C做AB的垂线（1.4），交此圆于D。

CD即为以为长度的线段。

综上，从1和实数a、b出发

-------------》可以用尺规做出他们的和、差、积、商、以及开方等代数运算。

------------》任何可以用有限次加减乘除和开方算出的实数，都可以用尺规作图做出----------》而且仅限于此

有了上面的结论，我们就可以来着手对付尺规作图三大问题。

这三个问题在未解决之前，困扰了很多数学家很多年。

而且也因此发展了很多附属学科。

这三个问题后来都被证明为不可作，下面逐一介绍。

1：

三等分角问题：

给定一个任意角，如何用尺规将其三等分？

2：

倍立方问题：

给定一个正方体，如何做出其二倍体积的正方体？

3：

圆化方问题：

给定一个圆，如何做出与其面积相等的正方形？

1：

三等分角，则是用1和a，作出4

-3x+a=0的根

如图：

设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C 。

过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ， 

令OD＝m ,OE=x ,则m=cos（3a） ,x=cosa ,代入三角恒等式中：

cos（3a）= 4*（cosa）^3 - 3*cosa 得：

4x^3 -3x -m = 0 

由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根（艾森斯坦因判别法） 

2：

倍立方，给定变成为1，要求变成为

，而这个数是加减乘除开平方所无法形成的，所以，无法尺规作图。

3：

反过来看，给定一个方，要变成圆π是超越数，不是任何整系数有限次方程的根

2：

人类的好奇心促使人们又开始了新的作死（探究）：

如果尺规作图不能用尺子，我们可以作什么？

:

人们把这个问题的研究叫做单规作图。

1673年，丹麦人摩尔证明了，用一只圆规，可以作出所有尺规能作的点！

3：

又出现了新的作死（探究）：

假设一只圆规生锈了，它的两条腿间的距离不能调整。

:

我们用锈规能做什么？

这个问题被叫做锈规作图。

再次放结论：

1987年由中国数学家侯晓荣先生证明了，所有单规能做的事情，一只锈规同样可以做！

（此处侯先生参考了张景中等院士在1970年的研究结果）

五：

尺规作图的意义

1：

尺规作图的研究意义是什么？

尺规作图的研究历史不短，研究过程中也新兴了一些学科。

这些对数学的发展也是起到一些作用的。

再者，人类对数学的研究不仅仅是因为“需要”，有时也是因为“有趣”。

在大学里学数学的人们，当初之所以选择数学系，一半以上是因为对数学有浓厚的兴趣吧。

某种意义上，是兴趣支撑着大部分学科的发展：

数学家如果只研究物理上需要的偏微分方程、立体解析几何，未免太枯燥了；但把这二者的部分内容抽象出来，产生了实变函数、拓扑学，则相对来说有意思的多了。

尺规作图的研究，开篇我就说了：

越是看上去不太能有大作为的事物，人们越要看看它能有多大的作为。

所以与其强行（傲娇地）说是“为了模拟在作图工具还不发达的过去，人们怎么准确的作出想要的图纸”这样的目的，倒不如乖乖的承认，研究它，一开始就只是为了好玩。

再说了，单规作图，锈规作图，现如今就更加没有研究的“必要”了，但是大家也还是乐此不疲~

所以，研究意义？

一开始是为了好玩，但是中途有了意外的收获。

数学的研究对象，如果不“好玩”，如果不能让数学家产生研究的兴趣，那么数学的某些学科的发展肯定不像现在这么快吧。

-----主要摘抄自知乎齐昱北师数学系，理科思维的理科生

------三等分线段主要来自XX文库对于尺规作图法将线段三等分研究希乐HALT