地理信息系统空间数据的变换算法.docx

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地理信息系统空间数据的变换算法

土

♦3.1

♦3.2

♦3.3

♦3.4

平面坐标变换球面坐标变换仿射变换

地图投影变换

3.4地图投影变换

+

"341

>3.4.2

>3.4.3

概述

地球椭球体的相关公式地图投影变换

3.4.1概述

地图投影变换的实质足建立两平场z间的■对

实现「种地图投影点的g标变换为另一种地图投影点的坐标

就是要找出上述关系式…其方法为：

解析变换法

数值变换法数值解析变换法

这类方法足找出两投影间坐标变换的解析计算公式。

采用的计算方法不同，又可分为反解变换法和正解变换法。

反解变换法（又称间接变换法）是…种中间过渡的方法,即先解出原地图投影点的地理坐标X、Y,对于X、y的解析关系式，将其代入新图的投影公式中求得其坐标。

aiJ：

X,y

X,Y

正解变换法（乂称直接变换法）足种不盂要反解出原地图投影点的地理朋标的解析公式，而足直接求出两种投影点的a角坐标关系式。

即：

X,y

>数值变换法

如果原投影点的坐标解析式不知道，或不易求出年之间坐标的直接关系，可以采用多项式逼近的方法，即用数值变换法來建立两投影间的变换关系式.例如，可采用二元-:

次多项式进行变换。

二元三次多项式为：

+$磺+%卞+臼|<^+®护+虽0^'+耳諾戸+耳2沪

通过选抒10个以上的两种投影之间的共同点，并组成最小一乘法的条件式，即：

“

n为点数；Xi、Yi为新投影的实际『丁一七尸=mm

变换值：

Xi\YJ为新投影的理论值。

J

根据求极值原理，可得到两组线性方I夕（七-r尸=…⑺

程，即町求得各系数的值。

I令’’

、数值解析变换法

k

当己知新投够的公式，但不知原投影的公式时，可先通过数值变换求出原投影点的地理坐标cp,入.然后代入新投影公式屮，求出新投影点的坐标。

up：

我国所采用的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数5以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。

2d•=—h

•--Z?

=

'•“=C'aZ1—Y=眾a/1-"W-vJT二/

大地坐标系空间直角坐标系子午平面直角坐标系大地极坐标系

少A2地球椭球体的相关公

2.地球椭球参薮间的箱互关系

山前而式子得：

（1一/）（1+“2）=1

推紂:

同理可得：

=ctyf

e*—eyf\»

VwViI

©—

（1）大地坐标系

卩点的了午iftiNPS与起始子午向¥GS所构成的：

|fn7fj叫做P点人地经度,P点的法线Pll与赤道面的夹角B叫卩点的犬地纬度,P点的位代用（1八B）表小：

（2）空间直角坐标系

以椭球屮心O为原点，起始了午而与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴1E交的方向为Y轴，椭球体的駅转轴为Z轴，构成右『坐标系o・XY乙在该坐标系中，P点的位置川X、Y、Z表示

©一

（3）子午面直角坐标系

设P点的人地经度为L，在过P点的了午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建"x,yf-lftlfL角朋标系。

在该坐标系屮，卩点的位世用L,X,y表示

（4）大地极坐标系

M为椭鬪体面匕任意■点，MN%过M点的子午线，S为连结MP的人地线氏，A为人地线在M点的人地方位角。

以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。

P点位置用S、A衣示。

acosn

J\■e"sin^liW

n（l—）siiiZ?

a,/jsin/?

✓「、

y=j-=—（!

-<*'）sinR=（1/

J—"r?

"WV

（e）（f）两式即为了午面直角他标X、y同人地纬度B的关系式。

NN

HZQ\/）

sin7?

过椭球面匕任总一点町作一条垂直于椭球面的法线.包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球而的交线叫法截弧（线）。

包禽椭球面•点的法线可作无数个法截面，相应仃无数个法截弧。

椭球面上法栽线的曲率半径不同J：

球而上的法哉线（大园弧）曲率半径（都等丁圆球的半径），而足不同方向的法截弧的曲率半從都不相同。

子午圈曲率半径

o

在子午椭圆的一部分上取•微分弧长DK二dS,和应i

而直角坐标系）坐标增lltdx,点门是微分弧dS的曲率中心，则线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用'1表示。

由平面曲线的曲率半径定义公式可得：

（3-1）

dS

M=^―

tin

由微分三％形DKE可得:

（3-2）

DE-dxclS==

sinHsinH

（dx取负号，是因为在了午而直角坐标系中，点的横坐标随纬度B的增大而缩小），（3-1）式代入（3-2）式，

dx1

M=

dlisinH

B=OB（在亦逍处〉

-I•

A/q—初（I_f•）士

V'（l+c'）

OB（B（90B

a（\e*）

耶&B的增大fftfW大

*t55

w=I-tsinB

dli

（38）代入（3-3）则曲率半径为:

（3-9）

山前而0=+戸

B-90B（在极点处〉

卯酉圈曲率半径

r=TVcos/?

过椭球而上•点的法线，可作无数个法截而，其中个与该点了午而相垂直的法截而同椭球而相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈。

PEE/即为过P点的卯西圈，半径JUN农示©

过p点作以0，为屮心的平行圈PIIK的切线PT,该切线位丁•垂直于了午而的平行圈V而内。

因卯西圈也垂直丁•了午而，故PT也足卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直J-Piu所以PT足平行圈PIIK及卯西圈在卩点处的公切线。

山麦尼尔定理知，假设通过曲而上•点引两条截引心截弧、■为斜截弧，且在该点上这两条截弧貝冇公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平而夹角的余弦。

BIJ：

（3-10）

平行圈平面与卯酉圈平而之间的夹角即为人地纬度B,平彳亍圈半径T就等丁屮点的横塑标X,GIJ：

由此可得卯西圈半径为:

（3-12）

顾及“（J-"IWv7l-r\则上式乂可写为

山图看出,

cos«

P

Pn-N■

cosliCOR/i（314）

也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球而和短轴之间的•段法线的长度，亦即卯西圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。

N与B冇关，是纬度B的函数，J1随B的増人而増人，变化规律如下农

B

N

说明

Bpo

Zq-a

卯呻圈变为赤道

0"BC90Q

a

N随B的増大而增大

B=90°

N.=<'

卯啊圈变为子午圈•N二C

上述M和M足两个互和垂直的法截弧的曲率半径，在微分儿何中统称为主曲率半径。

平均曲率半径

平均曲率半径R等r主法截而曲率半径的几何中数：

R=JmN二借Ju-宀

即椭球而上任意•点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的儿何平均值。

M、N、R的关系

椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内呈取，其长度通常是不相等的，出前面公式町知它们有如下关系：

N>R>M只有在极点上，它们才相等，

且均等于极曲率半径6即:

N*=Rg=Mg=c

N

V

C

R

<・

M

V*

椭球面上的弧长计算

我们知道，孑午椭闘的■半，其端点与极点

相取介。

而赤道乂把f午线分成对称的两部分,

因此，我们只推导从赤道开始到己知纬度B了午

线弧氏的计算公虫。

取子午线上某微分弧，令F点纬度为B,严点纬度为

P点的了午圈曲率半径为'I,于是有dx=Mdli

要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长，必须求出下列积分值:

23

X=rMdli=f=}[（Ifsin?

dfi

将积分因子按1项雇理展开为级数'形式

-2315

-=1+二"sin’A/sG"”*…

椭球面上的弧长计算

28

为积分方便，将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数•贝

Kinli二———e<>s27?

22

.3II

sinFt■——一cqs2Z?

卜—eos4/J«2X

Hli

X»<7<1—<•）A———sill28-*sin4Z/一…

积分后得山赤道至子午线上某点的了午弧氏公式:

旋转桅球体的平行圈是一个闘，梵半径就是闘上任点一企的了午ihiI工角坐标X,厂=,2“5=js”

VIcQsin^/<

如果平行圈上的两点，其经差，|『訂11¥彳」・圈弧氐公式:

为子午线弧长和平行圈弧长变化的比％

从农中可以看山，单位纬差的了午线弧长随B的增犬而缪慢Jlk增大：

而单位经差的平行圈弧反则随B的增大而急剧缩短。

同时还知，子午弧长10约7J110KM,1/约为1-8KM,1//约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长人体相当，随若B的增人它们的差值愈來愈人。

B

7午线弧K

fhtelAK

A«-r

1〃

】〃

0°

1lO5^6m

18-12,9J

30.716

111321

1855,36

30.923

15°

110656

18-1126

30.738

0552

1792.54

29.876

30®

110863

1817,71

30,795

96488

1608,13

26・802

45®

Him

1852.39

30・873

78848

1311.11

21902

600

111423

1857.0-1

30.951

55801

930.02

15.500

75。

111625

186042

31.007

2S902

181.71

&028

9i

111696

1861.eo

3h0271

0

0.00

0.000

ya

由于地球表面足一个可展为平面的曲面，在将这不可展的曲而转换为平面的过程中，必然引入投影变形。

为了描述方便，引入长度、而积和度3个虽来衡量投影变形。

I?

IV

岁图投影过弹中出现的问题

pnf

■■Pdhja

IftWWKJ

:

aSSSZBdSBKBja

GIS中地图投影的选择■

地图投影与GIS的关系

<打我国GIS中地图投影的选择门亠

\ZrriH*

<*\高斯一克吕格投影（横切椭圆柱等角投影》

依照国际惯例并结合我国的具体实际悄况，目前对甘大彭数已、在建和待建的各种GIS采用了与我国基本地图系列•致的地图投影系统，即大中比例尺时的髙斯克吕格投影（横轴等角切（椭）圆柱投影）和小比例尺时的Lambert投影（正轴等九割圆锥投影）O

O

^¥央子午线投影后为直线，且长度不变；其余子午线］的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线〔为对称轴，投影后有长度变形

高斯投影的特性

i赤道线投影后为直线，但有长度变形；其余纬线，投I瞬为凸向赤遵的曲线，并纠赤遵岁对称瓠

经线与纬线投影后仍然保持正交,即投影后无角度变形

所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1,离中央子午线愈远，长度变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上

面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大

高斯投影必须满足:

X

平行

赤道

□

y

子午线

中央子午线

中央广午线投滋后为rt

线.H•为投影的对称轴

j

M斯投影为正形投影,即等角投影

〔屮央子午线投影后K度不变

Y=/]SA）f-v=y;（4,z）=力y=丿；（卩2）

■

LA为2的做函数

y=.以炉几）二｛./三为2的金函效

0

（B,L）

高斯-克吕格投影正解公式

（X,Y）,原点经度Lo

式中:

Nttr\4（5

]24

—（1-+〃'）N"可（51&2+

6120

（615W-4d、Nmf、

72（）

X„=Cqi$\cos仪qsinf$+sinli

tC\sinli}

其中，设中央子午线的经度为Lo,再令-.3□454175岭

/tI4-<*-+-0+04

464

32154

B+/*+

416

105料

P

256

315

^―

204R

J3465U,

4•C

65536

；,IS4

C=e

04

-35

Z>—e

5I2

-315

Ec

16384

+

246

525e

e♦

512

2205

+<>-+

4096

R31185,n

F十■・■r

113072

11025K43&59,o

1638465536

2205■72765心

V十e

204865536

10359,o

e

I63«4

r—tan/^

/«P=IcosW

2e2

rfcosa

I

N』J\rzli

-693H>

/■<*

I3027

a=/Ac（l—）

//=〃“（1—e"）

2

Cg—a

C,-2/7t4/46^7q=-（"+3"）

G=32zy

c——Ea{\）

8

C—F«（1—”2）

IO

算法名称

解析变换

3.4.3

投影变换算法的特点与适用范围"I

主要特点

（1）表达了制图过程的数学实质，不同投影之间具有精确的对应关系；

（2）在解决多投影问题时，存在计算冗余问题（若n中投影，则需（n-1）种投影变换方式）

方法严密，不受区域大小影响

（1）某些情况下比单一使用正解变换或反解变换更简便！

（2）并不是所有的投影均能通过地理坐标与直角坐标的配合来进行投影变换

（1）不能反映投影的数学实质：

（2）不能进行全区域的投影变换。

常采用分块处理的办法，则给计算机自动处理（如何分块、块的大小）带来困难

同上

地图投影变换

适用范围

正解变换

受制图区域影响

I反解变换

任何情况

综合变换

数值变换

数值-解析变换

视情况而定

局部区域

同上

0地图投影变换过程

<优化过程力基r反解变换的地图投影变换

准备

始化

rf

谋片计1Ti

4确足新投杉及投彫参数

地图坐杯投彫变换

I

确定廉投影及投影参数

达剑误羌像求？

投1变

换过程

能杏继续仝换？

叮［结束'

C处理过e

3.4.3地图投影变换

I准备IJ"4宜角坐标（x「5

次变换?

否

投影变换

是

-「

i确定投影变换方程

;计算投《各种参数

否

结束

盛角塑标（X',V）

后一

o

前方交会的概念:

在丄角形ABP中如图，已知良

的坐标为Xa、几和Xe、Ybo在a、B两点设站，测ZPAB,ZPBA的值可以解算出未知点卩的坐标心、Ypo

P（Xr,Yp）

cotW+XffcatA—y斗+Vfl

"colA+cotH

_y^ccit/i'y^col/IIX斗I'V