A=1
那么2S“=nb,S产斗
其余例题的解答留给读者.
以上内容中，我们介绍了哪些问题可以使用倒序相加或对偶原理，或者说，哪些问题比较容易看出來用倒序相加法.但是往往有些问题，用倒序相加，对偶原理來解决比较容易，但是如何使用这种方法才是真正的难点.通常情况下，不知道对偶量,使得我们无法解题通俗的讲，不容易把那些和加为定值的量找出來.因此在下面的内容中，我们主要解决这个问题，其中很重要的方法就是构造对偶量.
我们先引入一个例子:
求siii210+cos'40+sin10cos40
此处我们将正弦与余弦对偶:
令M=sin210°+cos240°+sin10cos40
N=cos210+sin240+cos10siii40
那么得至I史M+TV=2+sinl0co$40+coslOsin40=2+sin50
M-N=-cos20+cosSO+sin10cos40>—cosiOsin40”=一一一sin502
因此
M+N=2+sm50
1
M—N=——sin504
2
下面我们介绍一些常见的构造对偶量的方法，使得我们可以使用倒序相加或
者对偶原理事实上，构造对偶量十分灵活的，因此我们不给出通性通解，只给出典型的类别:
利用三角函数构造对偶量;利用共轨与和差关系构造对偶量;直接倒序相加型;轮换变量构造对偶量.
1.三角函数对偶
主要利用:
sm2x+cos2x=1,sinxcosx=—sui2x,（Insinx+Incosx=hi—sin2x）
cosxcosy+sinxsilly=cos（x-y）,cosxcosy-sinxsiiiy=cos（x+y）
例1・解方程:
cos2x+cos22x+cos23x=I.xg0,—.2_
令M=cos2x+cos22x+cos23x,N=siii2x+sin22x+siii23x
那么立即得到M+N=3,（l）
M_N=cos2x+cos4x+cos6x=2cosxcos3x+2cos23x-l
=2cos3x（cosx+cos3x）-1=4cosxcos2xcos3x-1,
（2）
（1）+
（2）:
cosxcos2xcos3x=—（2M-2），而M=1
4
那么cosxcos2xcos3x=0,cosx=0或cos2x=0或cos3x=0
例2•求cos210+cos'50-siii40sin80
=sin240+siii280-siii40sin80
构造对偶量:
令M=cos210+cos250-siii40sin80
N=cos240+cos'80+cos40cos80
3那么M+N=2—cosl20=—
2
N_M=cos80+cos160+cos40=2cos120cos40+cos40=0
3
M+N—j3
2,得M=-
4N—M=0
7t
2tt
3龙
^7t
5龙
COS—cos
——cos
——cos
——COS
11
11
11
11
11
7t
3龙
4龙
5龙■■
.7t・
2龙.
3龙.
4龙.
5龙
COS—cos
；——COS
；——COS——COS——•N
=sin—sm
——Sill
——sm
——Sill
—
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
1・17t
・4龙
.6兀
.8龙
10龙
1„
例3•求
令M
MN=——sin——sin——sin——sin——sin=——
32111111111132
该例子表面上是倒序相乘，但原理和倒序相加一样,都是先构造对偶量再配对.
例4•求sin210+cos240+sin10cos40
例5.（/MO.1963）证明］cos—-cos—+cos—=-
7772
zxq—人a7T27t3龙厂it2兀3龙、
（捉不:
令A=cos—-COS——+COS——,D=Sill—-SU1——+SU1——）777777
解答留给读者
2.利用共轨与和差关系构造对偶
对于/（X）+g（X）,可以构造对偶式/'（X）-g（X）
对于z=a+bi,（a,bwR）,可以构造共轨.Z=a-bi
将构造出的对偶式与原来的关系联立
例1.一个比较容易的例子
xg（0,彳）,3sinx+4cosx=5,求tanx
令M=3sinx+4cosx,N=3sinx-4cosx
smx=
，得到<
cosx=
sm2x+cos‘x=1、7V=——,tanx=-
54
一般的.asinx+bcosx=M，求tanx
asmx+bcosx=M“士、u
<.f»解出smx’cosx关十N的表达式
asmx-bcosx=N
最后利用sufx+cos2x=1，求出sin.赢cos兀tan.y
例2.JF+&Y+21+y/x2-Sx+21=10
利用和差构造对偶:
\jx2+Sx+21-\/x2-8x+21=a
&+8X+21+JF-8x+21=10
<
\/x2+8x4-21->/^2-8x4-21=a
得到
yjx2+8X+21=1°；",
（1）
y/x2-8X4-21=~~~~，⑵
（l）2+
（2）「2x2+42=*（100+巧
（l）2-
（2）2:
16x=10«
得到x=±-
3
一般的,求解形如Jax'+Zzx+c+yjdx2+fx+g=M,设Jor^+bx+c-yjdx2+fx+g=N
y］ax2+bx+c+y］dx2+fx+g=M
y/ax2+bx+c-yjdx2+fx+g=N
例3.zgC,解方程zz-3iz=l+3i
构造对偶式及+3々=1-引
二―1+3［解得：
z=_］或］_3,
zz+3k=1—3/
例4.zGC,|z|=1,且ZH±1,证明i二三为纯虚数z+l
M=—.N=二,则M+N=—+i^=0z+lz+lz+lz+l
X—0,所以㈡为纯虚数z+lz+l
相比我们设z=0+bi,计算量要少
以上三个例子我们可以发现，利用和差或者共轨对偶入手比较容易，并且在上面几个例子，过程也不太复杂，下面我们给出几个过程稍微困难的例子，但思路还是很自然，仍为构造对偶量.
例5.（1+松『=?
当然可以直接计算,但是运算量会比较大
构造对偶量一设A=（1+妇）6,B-1）6,
那么很容易算出A+3=416
事实上，计算A+耐运算量直接减少一半，读者可自行验证
同时注意到:
0<>/3-1<1,那么:
A=415
例6见=（斗丐）"，〃为正整数，讨论©的奇偶性
同样我们构造对偶量d=土色上二上血,并且我们注意到
22
。
和b为为二次方程:
亍-3兀-2=0的两根
我们写出对偶量之和：
兀=a”+b”,同时也要找出兀的性质
xn+2=an+2+bn+2=（严+b,,+l）（a+b）-ab（an+b"）=3xn+l+2xn
xL=a+b=3,x2=a2+b2=13为奇数
那么根据递推我们可得出:
£为奇数.
注意到:
-1
<0,
（1加为偶数时「0Vb"V1,X”=G”+b”=0］+1捡为奇数，则［d”］为偶数
⑵〃为奇数时:
-l综上所述4的奇偶性与〃相同
例7.4beN\a+b42=（l+VI）100,贝hZ的个位数为多少（提示：
利用对偶立即可以得出:
a-bj2=（l-V2）100比=寺（（3+2>/2）100-（3-2忑）之后类似于上例）
解答留给读者
这一类主耍应用在证明不等式上，我们特地把它总结于此主要是考虑不等式的结构，然后轮换字母构造对偶式例1.证明】对任意实数。
>L、b>1,等一+>8
b-\a-1
人a2b2b2cr
b-1a-1b-lb-1
则M—N=+唤_»20,即M汕
b-1a-\（b_l）（a-1）
>8
N=b+l++a+1+—^—=4+（b-l）+—^—+（a-1）+—^—
b-1a-lb-1a-l
所以M2TV2&M2&当且仅当d=b=2时成立
2122
例2qb,cw/T,求证:
+—^―+——>ci+bb+cc+a双倒序相加，顾名思义就是两次倒叙，我们最终要得出两个结论
/*xra2+b2b2+c2c2+cra+bb+cc+a
那么M+N=++>++
a+bb+cc+a222
M_N=O、M=心'"+°
2
例3.证明：
对于和为啲正数04,6，・・心有如下不等式
（提示:
构造对偶量"='二+出一+...」一）
a2+qa,+a2q+an
例4•设a，+b2+c2+d2<1,求证:
（a+b）4+（a+c）4+（a++（b+c）4+（b++（c+d）4<6
（提示:
考虑对偶式3=（d-b）4+...（c-d）4.）
最后我们介绍双倒序和加法.
等差数列％的前〃项和组成的数列求和可以用双倒序和加法
0”为等差数列，则叫的前〃项和可以用双倒序相加
我们从一个例子引入:
求数列丄1+2,1+2+3,...,1+2+...+“的和
S”=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）,
（1）
我们对S“做如下的恒等变换
S”=1+（2+1）+（3+2+1）+...+（〃+（〃一1）+...1）,
（2）
S”=〃+（（〃—1）+（/?
—1））+（（/?
—2）+（〃—2）+（/?
—2））+...+（1+1+...+1）,（3）
（1）+
（2）+（3）得到
3S”=（/?
+2）+2（/?
+2）+3（/?
+2）+...〃（〃+2）
=（n+2）（1+2+3+...+〃）=丄n（n+1）（//+2）
那么s“=〃（〃+l）（〃+2）
6
我们再尝试用此方法解决另一个经典的求和:
s“=甘="（"+U0+1）k=L6
S“=F+2'+3'+...+"2
注意到"，=1+3+5+...+（2〃一1）
S”=1+（1+3）+（1+3+5）+...+（1+3+5+...2.11—1）
Sn=1+（3+1）+（5+3+1）+...4-（（2〃一1）+⑵7-3）+...1）
S”—（2〃—1）4-（（2〃—3）+（2〃—3））+...（1+1+1+...+1）
相加得到
3S”=（2/?
+1）+2（2〃+1）+3（2〃+1）+...〃⑵7+1）•S”=+
f6
现在我们要得出一般的结论I
对于等差数列arl=a+bn,他的前〃项和组成的数列»片…工
前〃和为0则7>7>切+1）（3：
+（〃+幼）
证明:
Tn=（ci+b）+（（a+b）+（a+2b））+@+b）+（a+2b）+（a+3b））+…（（a+b）+…（a+nb））两次倒序：
Tn=（ci+b）+（（a+2b）+（a+b））+（（a+3b）+（a+2b）+（a+b））+...（（a+nb）+…（a+b））
Tn=（ci+bn）+2（d+（/?
-l）b）+...n（ci+b）
相力口得3佥=（3a+（”+2）b）+2（3a+（“+2）b）+...n（3a+（n+2）b）=（1+2+...”）（3a+（/?
+2）b）rrn（n++（77+2）b）
为了证明我们的第二个结论，我们还是从例子引入
求和:
lx4+2x7+3xl0+...+〃（3〃+l）
S”=4+（7+7）+（10+10+10）+...（⑶7+1）+...+⑶7+1））
S”=（3〃+1）+（（3/?
+1）+（3〃—2））+…+（（3〃+1）+（3〃—2）+...+7+4））
S”=（3/7+1）+（⑶?
一2）+（3/?
+1））+...+（4+7+...+（3/?
-2）+（3/?
+1））么3S〃=（6n+6）（1+2+3+•…+n）=3n（n+1）2
则S”="（"+1）2
和上面的情形几乎一样，都是采用的双倒序相加法
接着我们给出一般的结论：
对于等差数列:
ciH=a+bn,数歹ij:
lq,2冬,,…的前”项和Tn
（3a+b+2伽）（1+2+3+...77）
证明:
人=（d+b）+（（a+2b）+（d+2b））+・・・（（a+b〃）+・・・（a+b〃））
Tn=（ci+bn）+（（a+bn）+（a+b（n-1）））+・・.（（a+bn）+・…+（a+b））
Tn=（ci+bn）+（（a+b（n-1））+（a+bn））+・・・（（a+b）+・•・+（a+bn））
贝|〕3人=（3a+b+2bn）（l+2+3+…〃）
（3a+b+2伽）（1+2+3+…〃）"3
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