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数与代数内容变化及教学建议

“数与代数”内容变化及教学建议

作者:

邳州市教育局教研室聂艳军  

【编者按】《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学教育基本理念、数学课程目标和各学段课程内容等进行了完善和修订。

为了帮助教师学习和研究修订后的数学课程标准，我们对数学课程四个内容领域的具体变化进行了对比分析，并提出相应的教学建议。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）关于“数与代数”领域的内容结构没有变化，但“数的认识”“数的运算”“式与方程”的内容发生了一定的变化。

一、“数的认识”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有三个方面的变化：

一是内容有所增加。

第一学段增加了“知道用算盘可以表示多位数”，“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”。

第二学段增加了“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。

二是要求适当调整，并使用新标准规定的课程目标术语，使得要求更加明确。

例如，第一学段将“认识符号＜，＝，＞的含义”调整为“理解符号＜，＝，＞的含义”；将“识别各数位上的数字表示的意义”调整为“理解各数位上的数字表示的意义”。

三是要求表述进一步准确、完整。

例如，在第一学段中，将“能认、读、写万以内的数”修改为“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”；在第二学段中，将“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流”修改为“会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用”；将“进一步认识小数和分数，认识百分数”修改为“结合具体情境，理解小数和分数的意义,理解百分数的意义”。

“数的认识”内容变化表现出三方面特点：

一是突出数概念在小学数学中的核心地位。

自然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概念，这些概念都是学生今后构建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系的重要基础，是小学数学中的核心内容。

新标准的修改有利于增强内容标准的可操作性，让课程目标切实得以落实。

二是突出理解数的意义是认数教学的重点。

新标准在继承从数的含义、计数技能、数的相对大小关系、用数进行交流等方面理解数的意义的基础上，进一步丰富学习的途径与内容。

例如，引入认数工具算盘，有利于学生了解十进制计数法，了解祖国的传统文化；把比较两个一位小数的大小、比较两个同分母分数的大小单列出来，有利于学生在比较活动中进一步加深对一位小数和同分母分数意义的理解；增加了解公倍数、最小公倍数、公因数、最大公因数的学习，不仅是建立正确数概念的需要，也是学生后面正确开展相关数学活动的需要；强调结合具体情境认识数，不仅能让学生感受数学与生活的联系，而且有利于学生体会数的意义和作用，增强应用数的意识。

三是突出数感的学习与培养。

数感是数学课程内容的核心之一。

数感是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

新标准在“数的认识”学习中，处处体现出对学生数感的培养。

在现实情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，不仅有利于学生加深对数的意义的理解，也给学生体会数用来表示和交流的作用、初步建立数感提供了机会；在具体情境中感受大数的意义，开展估计活动，在数量与它们所表示的实际含义建立起联系，能使学生加深对大数的感觉。

2.教学中需要注意的问题。

“数的认识”在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。

第一学段认识万以内的整数，初步认识小数和分数；第二学段认识万以上的整数，了解倍数和因数、质数和合数，进一步认识小数、分数和百分数，了解负整数，从而完成有理数系的认识。

教学时，要理清每部分内容编排的线索，把握内容的梯度。

教学中，还要注意以下几点：

（1）把握认数的本质。

华罗庚先生说：

“数起源于数，量起源于量。

”数和量都离不开单位。

自然数是“十进位值制”的，不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数，例如，2048=2×1000+0×100+4×10+8×1；小数也是如此，其累加的过程与自然数基本相同，只不过分“有限次累加”和“与无限次累加”两类；分数也是其分数单位累加的结果，即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位相乘的结果就是“分数”。

这样看待“数”，全部“数”的构成与结构就都一致了。

进而，我们就能理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”。

（2）让学生在具体情境中认数。

实践证明，理解数的意义，既需要从数的组成去建构，又需要联系实际来体会。

教学数的认识，要把丰富多彩的现实世界当作学生学习数学的背景，引导学生在具体情境中感受数的意义。

如，认识整数时，选择现实的、有趣的素材，组织学生在具体情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，有利于学生加深对数的意义的理解，同时也给学生体会数用来表示和交流的作用、建立数感提供机会；初步认识小数时，创设学生熟悉的生活情境，能有效激活学生已有的经验，促进学生对小数含义的领会；认识百分数时，让学生解释每个百分数在具体情境中的含义，举出生活中见到过的百分数并进行解释，学生在交流中能深化对百分数的认识。

（3）借助直观手段教学认数知识。

数是比较抽象的数学概念，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。

以认识整数为例，了解十进制计数法教学的重点，十进制计数法的主要内容有两部分：

一是计数单位及每相邻两个计数单位间的关系；二是计数法的位值原则。

教学中，一方面可以引导学生操作实物、小棒、小方块等学具，认识计数单位，体会计数单位之间的十进关系；另一方面，通过引进计数器、算盘等认数工具，能帮助学生理解位值原则（同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数），逐渐扩展数位顺序表。

再以认识小数、分数为例，如果用正方形表示整数“1”，要求学生用小数、分数表示其中的一部分，能促进学生对小数、分数意义的理解；“数轴显示了数的存在性及其内部结构”，在数轴上建立点与相应的小数、分数的联系，不仅有助于学生理解数的意义，而且有助于沟通整数、小数、分数之间的联系，体会数的稠密性、无限性。

（4）设计活动，促进学生意义建构。

学生对数概念的意义建构，离不开教师对数学活动的科学设计。

以分数初步认识为例，为了让学生理解分数是在平均分的时候产生的数，加深对分数意义的理解，动手操作（折纸、涂色）应当成为这部分内容学习最基本、最主要的活动。

这种操作活动应置于数学心理学理论的视角下。

例如，认识几分之一时，可以利用变式原理，从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对分数的理解越来越概括；认识几分之几时，应注意运用迁移原理，在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，促使学生头脑中几分之一的经验向几分之几迁移。

二、“数的运算”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有以下几方面变化：

一是把原来第二学段“能口算百以内一位数乘、除两位数”调到第一学段，并连同百以内的加减法改为“能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数”。

二是内容有所增加。

第一学段增加“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。

第二学段增加两条，即“在具体情境中，了解常见的数量关系：

总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。

”“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。

”三是表述有所变动。

在第一学段中，将“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”修改为“能结合具体情境选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在生活中的作用”；将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”。

在第二学段中，将“探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算”修改为“探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算”。

显然，修改后的表述更加准确、具体，实施过程中更容易操作。

“数的运算”内容调整充分体现继承与创新的和谐统一。

一方面，运算能力是数学能力的重要组成部分，它不仅是解决实际问题的需要，也是学生进一步学习和发展的需要。

课程改革初期，在数的运算教学方面出现一些矫枉过正的行为，如过分重视算理理解而忽视算法抽象，过分强调算法多样（个性化）而忽视算法优化（形式化），过分强调联系实际而忽视技能形成，过分强调基于经验而忽视分析数量关系以及解题思路的形成等，学生的运算能力以及解决问题的能力一度下滑。

修改后的“数的运算”内容标准，彰显对优良传统的继承，一是提高运算能力的要求。

口算方面，把一位数乘、除两位数的口算学习从第二学段下移到第一学段，“评价建议”中增加了百以内加减法和一位数乘除两位数口算的速度要求；笔算方面，第一学段增加整数两步四则混合运算学习要求；估算方面，要求更加明确具体。

二是充实数的运算内容。

数的运算中充满着数与数、数量与数量的关系，新标准增加对常见数量关系的学习，突出对连续量和不连续量的数量关系的形式刻画，提高运用数的运算知识解决简单实际问题的能力。

增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”，在学段目标中强调体验与他人合作解决问题的过程、对解决问题过程的回顾，突出学生探究的过程、思考的过程、反思的过程，以帮助学生从中积累数学活动经验，发展数学智慧。

2.教学中需要注意的问题。

（1）引导学生主动建构算法。

重视过程的教育要求教师引导学生经历算法的建构过程，在直接经验的基础上，抽象概括具有一般意义的算法，积累数学活动经验，感悟数学思想方法。

在引导学生探索算法的过程中，要注意以下几点：

一是“情境创设”与“复习铺垫”的有机融合。

学生的学习是一种主动建构的过程，这种建构总是与一定的情境相联系的，但我们也应看到，计算内容之间具有较强的系统性、连贯性，新知识往往是旧知识的延伸，必要的复习铺垫有时也是需要的。

二是“算法多样”与“算法优化”的和谐统一。

“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。

在提倡算法多样化的同时，充分利用资源性算法，引导学生抽象概括出一般的算法，也是教师的重要职责。

三是“算理直观”与“算法抽象”的有效联结。

计算教学不仅要让学生知道该怎么计算，还要让学生明白为什么要这样计算，在理解算理的基础上掌握算法。

（2）尊重规律，有效训练。

新标准在教学建议中强调：

“基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。

教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实”。

提高训练的实效性，要科学安排训练内容。

复杂的计算技能一般可以分解为几个单一技能，教师应先对单一技能进行针对性训练，并组合形成复合技能，然后安排综合练习，逐步达到正确熟练程度。

提高训练的实效性，应注重改善学生的计算心理。

例如，传统的“夺红旗”“开火车”等比赛活动，以趣激练，学生愿意积极投入；学生在计算过程中，经常出现把算式中的数字、符号抄错，可以呈现一些典型错例，要求学生纠错、改错，通过信息不断刺激，能让学生养成计算细心的习惯；在应用计算解决实际问题时，启发学生感受到学习计算是为了解决实际问题，体会正确计算的重要，增强计算的责任感；依据“评价建议”中对基本运算技能的指标要求，经常安排计算测查，有利于学生了解自己的计算状况，看到进步、增强信心，等等。

（3）加强估算教学。

估算是运算能力不可缺失的组成部分。

估算教学应注意两点：

一是把握估算教学的阶段要求。

结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。

在计算的估计中，“凑整计算”的内核就是通过选择适当的单位，借助口算估计笔算结果。

例如，学校组织987名学生去公园游玩，公园的门票每张8元，一共需要多少元？

我们可以把987人看成1000人进行估算，这里适当的单位就是“1000人”。

在度量的估计中，选择适当的单位是指确定合适的计量单位。

例如，估计教室的长度时，通常以“米”为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位。

也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。

在解决问题中能选择合适的方法进行估算是第二学段估算教学的重点。

估算的方法既是具体的，又是灵活的，要能满足解决问题的需要。

二是有效开展估算教学。

在教学数的认识、数的运算、常见的量和测量等教学内容时，应有意识地利用数量估计、度量估计进行估算的渗透，为教学估算作知识准备和思想铺垫；注意让学生在解决实际问题的过程中体会估算的思想，掌握估算的要领；经常安排应用估算探索笔算法则、验算笔算、解决实际问题等活动，培养估算的意识，提高估算能力。

（4）重建解决实际问题教学。

教学解决实际问题，教师应就基础知识和基本思想等方面把握各阶段的教学内容和要求。

常见的数量关系是学生分析信息之间关系的基础，是实现由数学问题向解题思路转化的桥梁。

教学常见的数量关系，教师应向学生提供丰富的现实素材，引导学生经历从实际问题到数学模型的抽象过程。

解决实际问题的教学应以发展学生解题策略为价值取向，第一学段重点让学生运用数及数的运算解决生活中的简单问题，初步学会分析法和综合法等分析数量关系的方法，第二学段结合有关内容向学生介绍常用的解决问题策略。

教学中，教师应引导学生经历解决问题的过程，并通过对解题过程与方法的再认与反思，形成对方法的本质特点、价值及使用要领的主观认识；要给学生提供题材丰富、数量关系多变的问题情境，让学生在自主运用和监控策略的使用中，实现由程序性知识向元认知阶段转化。

三、“式与方程”内容变化与教学

1.内容变化情况。

主要有以下三点变化：

一是增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

”“式与方程”的学习，标志学生从算术的学习转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。

建构对“相等关系”的理解是形成方程概念的基础。

新标准既提出了内容要求，又给出了学习路径，即把学习的过程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映的等量关系。

二是将原来的“会用方程表示简单情境中的等量关系”修改为“能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5,2x－x=3），了解方程的作用。

”方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，学生没有经历数学建模的过程，无法真正体会方程的价值，应用意识和实践能力的培养成为空中楼阁。

会用方程表示简单情境中的等量关系，就是在具体情境中，用方程建立等量关系，有利于学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

三是将“理解等式的性质”修改为“了解等式的性质”。

利用等式的性质解方程，其目的是加强与中学数学教学的衔接。

因为过分强调方法统一，学生个性受到一定压制，很难体验“解决问题方法多样化”。

从“理解”调整为“了解”，降低对“等式性质”学习的要求表明：

根据等式性质解方程只是其中的一种方法，允许学生选用不同的方法解方程。

这样调整，既不妨碍中小学数学教学的衔接，也尊重了学生已有的知识经验。

2.教学中需要注意的问题。

（1）教学用字母表示数，应让学生经历符号化的过程。

用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。

教学用字母表示数，应注重引领学生经历从“具体事物—个性化地用符号表示—学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程，理解用字母表示数的意义，体会数学符号的概括作用，发展符号意识。

（2）教学简易方程比例，应让学生体会模型思想。

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。

教学简易方程，教师应有“建模”意识。

教学认识方程，应通过设计丰富的情境，让学生用数学方式表述具体情境中的各种关系，再通过观察、比较、分类、交流等活动，经历建立方程模型的过程；教学列方程解决简单的实际问题，应让学生在问题情境中，经历探索、寻找已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系并列方程解答的过程，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力。

教学正比例和反比例，应让学生结合具体情境，体会正比例和反比例关系。

课程标准对“数与代数”内容标准的修改，一方面创新并发展经实践证明有利于学生持续发展、符合中国国情的现代课程内容，另一方面很好地继承了中国数学教育的优良传统。

“图形与几何”内容变化及教学思考

作者:

南京东方数学教育科学研究所楚平

新标准把“空间与图形”改为“图形与几何”。

课程内容的调整主要是对《九年义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“实验稿”）中文字表述不够清楚或比较生涩、整体结构不够协调、内容安排不够合理的地方作一些调整，以进一步完善几何课程内容体系。

一、核心内容的调整

新标准“图形与几何”部分课程核心内容的变化主要有两个方面：

一是在实验稿的基础上对空间观念的内涵进行更概括、更准确的描述；二是首次提出在义务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。

1．对空间观念进行再描述。

空间观念历来是小学数学课程的核心内容之一。

一般认为，空间观念是人脑藉由空间知觉所形成的物体形状、大小、位置关系、运动方式的映象。

其主要是通过对事物的空间形式进行观察、分析和描述，展现出再认、保留与回忆图像的思考能力。

也就是说，人脑在对现实世界空间形式获得映象的基础上，要能够借助这些映象展开空间想象和推理，并在这一过程中发展空间思维能力。

实验稿首次对空间观念的主要表现给出了具体的描述：

“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。

能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。

能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

”这对教师认识、理解空间观念的含义和特点，探索发展学生空间观念的教学策略起到了重要的指导作用。

新标准对空间观念的描述是：

“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

”相对而言，这一描述更具有概括性，更能反映空间观念的本质内涵。

具体地说，主要有几下几个方面：

（1）“抽象”。

几何学是研究几何体和平面图形的空间形式、位置关系和量的关系的学科。

几何体是舍弃了现实物体的物质属性，如密度、重量、颜色等，而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学对象；平面图形是更一般的概念，其中甚至舍弃了空间的延伸。

例如，三角形、平行四边形、圆……是二维的，直线是一维的，点是没有维的，是精确到极限位置的抽象概念。

学生的几何学习要经历对现实物体的感觉和知觉的过程，并在这一过程中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小和位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何概念。

可见，“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。

（2）“想象”。

小学几何并不是一个严格的公理化体系。

学生的几何思维主要诉诸于自身的直观感受和所形成的表象。

只有当学生能够以头脑中形成的表象为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。

因此，由几何图形想象实物的形状，想象物体的方位和相互之间的位置关系等就成为学生几何学习过程中最重要的思维形式，而这种借助表象展开想象的能力是学生空间观念的重要表现形式。

学生在几何学习过程中的想象主要包括：

根据几何图形想象物体形状和大小；根据图形之间的联系想象图形的转化过程；根据展开图想象几何体的形状；想象现实空间的方位和物体之间的位置关系；想象图形的运动方式等。

（3）“描述”。

现实生活中存在着大量的图形运动和变化现象，而在运动和变化中寻求不变是科学研究的重要方法，也是图形运动学习内容的价值所在。

学习和探索图形的运动和变化，就是要使学生在探索和理解“变”与“不变”的过程中，抽象出图形运动的方式，并能借助已经形成的表象描述物体的运动和变化。

这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。

这里的“描述”可以是用语言进行描述，也可以是用图形进行描述。

主要内容有：

描述图形的轴对称；描述图形的平移和旋转；描述图形的放大和缩小。

（4）“画出”。

依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同作用的结果。

“画出”是具体的行为，而行为受观念或思想的制约。

“画出”图形的过程中，学生同样需要借助表象和已有的经验进行数学地思考。

因此，依据语言描述画出几何图形也是空间观念的重要表现形式。

画出几何图形主要包括画图表示学过的平面图形，组合图形，图形之间的关系，以及在方格纸上表示图形的位置，图形的运动和变化等。

2．明确提出发展学生几何直观的课程目标。

新标准将实验稿中“空间观念”的具体表现“能运用图形形象地描述问题，能利用直观来进行思考”单列出来，作为几何直观加以阐释，以凸显几何直观在学生数学学习过程中的地位和作用。

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。

具体地说，几何直观是指学生通过几何学习，在掌握几何图形结构特征、空间关系以及度量的基础上，学会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证（小学不涉及几何证明）的能力。

“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。

归纳起来，几何直观的教育价值主要有以下四个方面：

第一，有助于强化学生的数学理解。

一方面，数学抽象地反映着客观世界，人们在认识和理解抽象的数学知识的过程中往往要借助视觉形象来表征，以更加清晰地把握知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。

另一方面，直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，促使他们通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。

因此，几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，也是学生认识和理解数学不可或缺的辅助手段。

第二，有助于启迪学生的解题策略。

借助几何直观描述数学问题，能强化学生对问题信息及其关系的理解，能帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，获得正确的解题思路。

第三，有助于促进学生的数学思考。

数学的抽象性和学生思维的直观形象性始终是数学教学中一对矛盾。

而直观的几何图形是学生最容易利用的数学形象，几何直观可以架起联结具体与抽象的桥梁，起到调和矛盾的作用。

借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数学思考，揭示数学对象的性质和关系，获得形式化的数学知识，使思维逐步转向更高级、更抽象的层面。

因此，几何直观可以帮助学生透过现象看本质，有助于发展数学思考，形成良好的思维品质。

第四，有助于增强学生的创新意识和实践能力。

很多时候，学生解题的灵感往往来自于几何直观。

解决问题时需要把抽象的数学问题转化成可借用的几何直观问题，才有可能展开想象和创造性的探求活动。

从这个意义上说，几何直观对于培养学生创新意识和实践能力都是十分重要的。

理解几何直观还应该弄清几何直观与以下几个概念之间联系：

（1）几何直观与直观化。

直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。

而几何直观是指利用图形的几何性质描述和分析问题的过程。

（2）几何直观与空间观念。

几何直观和空间观念是有着密切联系的统一体，两者是相辅相成、相互促进的。

一方面几何直观是建立在空间观念基础之上的，没有一定的空间观念就谈不上几何直观，另一方面借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是学生联系具体的问题情境展开想象和思考的过程，这一过程本身就是发展空间观念的重要途径。

（3）几何直观与数形结合。

数形结合是把数和形结合起来考察数学对象，即在研究问题的过程中，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使复杂问题简单化；或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使抽象的问题具体化。

而几何直观是把抽象的数学对象直观化、可视化，即形成和使用关于数学概念、性质、法则，以及数学问题的几何表征的过程。

二、具体