概率论与数理统计理工类第四版第三章多维随机变量及其分布习题答案.docx

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概率论与数理统计理工类第四版第三章多维随概率论与数理统计理工类第四版第三章多维随机变量及其分布习题答案机变量及其分布习题答案概率论与数理统计（理工类-第四版）第三章多维随机变量及其分布习题答案第一章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布习an设代n的分布律为1731H6191/1B213打1埠求I/64-1/9+l/1S+l/3+d+1/9-I、輕得=2/9,习題巩工）2.IS（X,X）的分布函数为珂览r）,试用hx,示:

（PaXbYciI解答：

Pu.XS/?

KSc*Fb、cFgf）i习2

（2）；2.设（X门的分布国数为试用Hx.y）表示:

（2）P0Yb;解答：

尸榔二鬥+耳b）-尺4-00,0）习题2（盯2设gn的分布函数为尺工y）,试用邛）表示:

（3）Y榔r习3（i）n3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

123411/4001/1621/161/401/4301/161/160试求；

（1）F-Ar-,0r4iJ22解答：

F丿人423二i,ipx1,Y-2+Pxur=3j=一+（4习融3

（2）3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

1234114001/1621/161/401/4301/161/160试求：

（2）PY2Jr4|；解答：

PX2,3.Y0.解答：

Pfmaxfy,K20=PX,疼少一个大于等J0=pgoHPymxno,yxo4435=z+=.7777习題5只取下別搂!

i值中的值：

（0,0）,（-1,I）,-I（2.0）且相应概率依次为”存寻请列出（KX）的概率分布表，并写出关于啲边缘分布.如團所示由jj确走常数八*（6-x-y）dydx-点（6-2x）dx=R&=1，所以心.XPXI,r3=J：

耐;*67-刃即咄1.5）=（城+（6-“，肋，=|（4）卩*4U4=（办（律（6-X-丿）妙=半习題8已知尢和的联合密度为IO：

常数心久和的麻合分布函数住）（I）由于=JJ/（a,y）（/xdy二j（Jxydxdy=才，o二4.当*W0或yS0曰寸,显然F（x,y）=0；当日寸，显然F（x,y）=l;lS0xI,0yI有F（儿y）=jj/（Usvdudv-uduvdv-ryrj设0x,有F（x,y）PX1,Y最巨.谡x0,OMyVl,有y）=PXI,Yy=4（xdxvdvy1函数F（x,刃在平面各区域的表达式0,HW0垃0x2,0x1r/,0A1,0jl,0VySI1,x1,13.2条件分布与随机变量的独立性二维随机变量（KK）的分布律为S0107/157/3017/301/15（i）y的边缘分布律，求P20|X=0QPV=i|x=ov（3）利定x与y是否独立？

解答：

（I）由（X）的分布律知，只取0及I两个值.Py=O二PX二0丿二0+Px二1二0二右遵=0.7,Py=1=尸1）=+77=0.3.03U1

（2）Py=Ox=（）=Px=0j=0二23=03；Py,=Ix=O=j已知Qx=Oj=O=,由

（1）知Pp=0=0.7,类似可得P.r=0=0.7.因为P20juOW“20P0,所以X与y不独立.习題2将某一医药公司9月份和8份的青毒素针剂的订货单分别记为彳与y.据以往积累的资料知X和y的联合分布律为沁5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.06Q.Q50.010.03求边缘分布律；

（2）求X月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.寸92一INI-mN1-十十I2-rxdInM二：

丄二：

丄n丄左丄左nogd、2JOC09-IH+In-一=cHXFd+KHizHxlHcHb+MdEnfi00龙V-CMv-I乂1、8过V-cr-H100VOV-窝w-H9T-nir-H1oQv-尺#0睜墨独書温uw）s亠fxs:

丄弍丄：

xhx?

录心牺wgrIfrY-ffl（e）喋E二E二寸二0ffli卜0OA+XS:

二一二一g踽I?

设随机变量*的概率密虞f（x）=-e_w（-oox+oo）,imx与凶是否相互独立？

解答：

若入与冈相互独立，则VqO,各有PXSa,xa=PXayPxSa,而事件XaaXaf故由上式有Pxa=PXaPx尸|A|Sa（l-PXF|=0或1（WaO）,但当0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与凶不独立.习題再设人和是两个相互独立的随机变量，x在（0,1）上服从均匀分布，y的概率密度为I厲厲yso

（1）求乂与的联合概率密度5

（2）设有“的二次方程/+2M+丫=0,求它有实根的概率解答:

（I）由题设易知lt0x,几Kt又苹F相互独立，故尤与F的联合概率密度为1-於,0i0/（利刃Y?

故如图所示得到:

P也有实根=PY=j|fxyy）dxdy訂城A汕又Q（I）-0.8413I（00.5j于罡他飙0）O.341儿所以尸汕有实根=1伍51）9（0）w1-2JlX0.3413=04豹.3.3二维随机变量函数的分布解答：

依题意有如團所示的概率表,（X.Y）（-1,-1）（-1.1）（-1,2）（2rl）（2.1）（2.2）Z=X+Y-201134Z=XY1-12224z=xy1-1-1/2221Z=maxX,Y112222A1/101/53/101/51/101/10于是，有（l）Z=*+y的分布律为z-20134p1/101/51Z21/101/10z=*y的分布律为z2-1124A1/21/51/101/101/107=XN的分布律Z21-1/212P,1/51/53/101/51/10（4）Z=maxan布律z-112A1/101/57/10习題兰设二维隨机向量（XX）服从矩形区域

（2）|0GM2O31的均匀分布，且（o.XsYf/S*2yIuxyj,x2r求与p的麻合概率分布.解答I依题（,耳的槪率分布为PU=XVQPXYyXYPX.Y二仙1扑斗PU=O,F=l=PT2r=0,PU=1,e0=PXr,XS2Y=PYX.2Y=W4Jx=i,PU=i,r=ij=|-PfC/=0.y=0-PU=0,/=1p;u=I,7=0=1/2,0101/4011/41/2L习題4设（KX）的联合分布密度为I宀尸fy）=e2，Zp,2kv求z的分布密度.解答：

依题意，由巧=“Z=p何TFsz.当ZVO时，FXz）=P（0）=O;当220时，FQ.PF5JJf（x,y）dxdy诰F乎如怕:

城%上上=epdp=1-e2.故2的分布函数为J%）=2z-,0,z0.0.20,y0f（x.y）=l2,0,其它冋龙和y是否相互独立？

求zx+y的概率密度./,&）=7（2”少（）.M0产产“0,注0习题6设随机变蚩x,y相互独立，若尢服从（o,I）上的均匀分布服从参数I的指数分布，求随机变量的概率密度.解答依题意，X的槪率密度分布为1,0x10,其它由卷积公式得ZXI的枫率密度为/z

（2）=匚/WgG-x）dx,于是当0X0时,/（x）x（z-x）0,故当OvxSvl时，有/Z（z）=（2-i（r=1-ea;当z21时,有fXz）=e=e*2-ez.即z的概率密度为0zl共它设随机变量（*X）的概率密度为（be,0xl9Oydy=b（-e）=1,所以从而14/

（2）=卩Y严-e）.ovx|,0j+oo0.其它因为/（兀丿）=/亦）/2），所以*与y独立，故尸口（“）=PfmaxJXY0好=P（ATS“,Y0%1，所咲AJol-e11-r10.x090x1e同理因此0.u0（】一八匸0,y0JCl“m尽）*z0设索统丄是由两个相互独立的子系统人和h臥串联方式联接而成，和匚的寿命分别为*与卜,其概率密度分另伪塾何*,趴）=I0,xz-Pmin（X,打=1一尸gingr）s=l-/?

Xj1畑=-PX-PYz=1-1-21-2,由于从而（XzsO设随机变量丸门相互独立且服从同一分布试证明：

門xmin嵐1旳=注沏一孑町设min健叶乙则Paz-1-PXZrYz=1-PX2PY2=I-PXE%代入得尸归uminU；Yb2-（-PXa2）p仇*FpK“F证毕.复习总结与总习题解答在一箱子中装有12只幵关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试捡:

（I）放回抽样；

（2）不放回抽样.我彳虚义随机变量X、卜如下：

_0若第一次収出的是正品_Jo.若第二次取出的是正品=J,若第一次収出的是次晶Y=l,若第二次取出的是次品试分别就，两种情况，写出X和y的联合分布律.解答：

（1）有放回抽祥，（”,r分布律如下：

10x10252x105Px=o,r=oj=-p（x=,y=o=刁12x12I2x1236PX=Qy=i=-5一砒=|,y=i=2x2112x12jb12x12361K01025/365/3615/361/36

（2）不放回ffiW,（KF）的分布律如下：

10x94510x210PX=0,丫=0=砒=0,y=i=7712x）166I2x1166pm-o-2x1010=PX=,y=i=2x11=、I2xII66I2x1166沁010456610z6611066166习題2假设随机变童丫服从参数为1的指数分布，随机变童Jo,若m兀=S,伙=1,2），1,若丫“求（兀冷的联合分布率与边缘分布率.设随机变量尢与相互独立下表歹灶了二维随机变童Xr）的联合分布律及关于x与丫的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：

Ji（）1/8）（）（）%16）（）1解答：

i由题设*与y相互独立，即有I2;/=I,2,3）,111又由独立性，有1Pu=PiAi=P,.故PL,从而卩门二玄一命又由Pfpp即1I从而化=,类似的有I13PCPu=4fP1=4将上述数值填入表中有儿“儿P,.$（1/24）（1/12）（1/4）启1/8（3/8）（1/4）（3/4）P.1/6（1/2）（1/3）1设随机变量（乂D的联合分布如沁12求：

a值：

（2）（XK）的联合分布函数冋X,下表；-101/41/41/6aP）；跚杯）与“）（3）（Xf）关于X,丫的边缘分布卜解答：

n

（1）由分布律的性质可知故土+”1,所以“冷因F（y）PXx,Yy1当xI或y-I时，F（x,y）=0j2当IMxv2,-Iy0时，F（xj）=PX=丨，丫=一1=1/4;3当x22,-lyOB,阳）=PX=i,y=-i+P*=2,y=-1=5/12；趣当Ix0时，凤凡夕）M1,丫=-14PX=】，yM021/2;当X22,寸，Fy）=PX=1,r=-】+PX=2,r=-l+P*二1,y二0+Px=2,y二0求gx）和/Q）1,02,max（0,x-1）min（1.x）0,其它习題8若（*,d的分布律为则久”应满足的条件是,若才与y独立则.3工111/61/91/18213aB解答：

由分布律的性质可知为犷I，故即+/?

=-.3又因才与y相互独立故pH=PdPy=/b从而a=PX=2,r=2=PXiPYj2/00/（=u.I（）,其丄

（1）确定常数门

（2）求xy的边缘概率密虞函数,（3）求联合分什国数“兀刃；求PYXi（5）求条件概率密度函数fxxy）;（6）求PX2Y.解答：

丨町工f（x,y）dxdv=1求常数e.厂厂3讥询=c斗“肿Jo2y号1,附*2.0,xSO0,x0（）it它（6）FX2|ydy1一*习題10设随机变量久次概率I取值为o,而y是任意的随机变量，证明无与y相互独立.解答：

因为尢的分布因数为OHvON/设啲分布函数为FQ）,（MF）的分布函数为F（x,y）,贝怡x0时，对任意厂有Fgy）二PXx,Yy=P（XS）c（Yy）M0C（YSy）0=O=FvOOFQ）;当时，对任意划有F（y）PXx,Y（Y的两个分童x和相互独立，且服从同一分布，试证PXV）f/血）心MN匸/Q）FQ）M严F2（y）1=J0-）=J-g22注；也可以利用对称性来证，因为X独立同分布，所以有PXYPYH=l?

故Pxsy=”i2习題12设二维随机变童F）的联合分布律为旺心耳y.a1/9c1/9h1/3若与y相互独立，求参数nc的值.解答厂|关于*的边缘分布为XXXyXyPk1,I1a+Q+c+993关于丫的边缘分布为Y1,4o+c+/+-99由于与y独立，贝惰22=/“得b=+Yd+由Pl2=PP得由式得/=|,代入式得“专，由分布律的性质，有91X.111.44-C-4-+=1993代入“右b斗得2.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和/均満足P广P,xp十因此，所求,h,C的值为1.21a=,h=c=.1896已知随机变重X和X、的概率分布为X-101X、01A1/41/21/4P.1/21/2且卩氐乙=0=1.

（1）求儿和禺的联合分布律；

（2）问X、和儿杲否独立?

解答：

（1）本题是已知了&与儿的边缘分布律，再根据条件P|Y./?

=O1=1,求出联合分布.由已知PXK=0=1,即等价于工0=0,可知Pw=PX.=l,X2=l=0,pl2=PXl=-l,X2=l=Of再由P.产Plhpn+Pw得111P12=2，儿=刃.-厂2蔦，知=内.-32=外从而得心=0.列表如下：

0111/401/400m1/211/4014Pgj1/21/2

（2）由于11=和产壬*=，所以知尼与&不独立.习題丄4设（A；X）的联合密度函数为0.氏它

（1）求乂与y的边缘概率密度；求条件概率密度，并问人与是否独立？

解答：

（）当X/?

日寸，/）=：

/也口妙=：

0妙=0;当日寸，A（小匚/g如如阳/八爲J科.于是1畤S/r）=比少，注意到在）处X值位于卜|sj用这个范围內，几）才有非零./M值，故在此范围内，有同法可得x*时y的条件槪率密度为厌它由于条件概率密度与边缘柢率密度不相等，所以不独立.设化X）的分布律如下表所示11211/102/103/1022/101/101/10求：

（l）Z=X+y；

（2）Z_maxX.的分布律分析二与一维离散型随机娈量函数的分布律的计算类型，本质上杲利用事件及其概率的运簞去则.注Z的相同值的柢率要合并.解答:

依题意有如图所示的摭率表,（X.Y）（-1,-1）（4,1）（-1,2）（2.-1）（2,1）（2,2）Z=X+Y201134Z=maxX:

Y112222Pi1/101/53/101/51/101/10于是，有（i）z=x+y的分布律为Z20134A1/101/51/21/101/10

（2）Z=maxX,KJ的分布律z-112p.1/101/57/10习題161设（&r）的概率営度为求z=y+y的概率密度.I,0al,0j2（l-x）0,其他IvzvloZAIZ一-V2VI0ovz3twttsx盲vzvl一汕fhr户卜YJ;7电ulz）y-eLrY=vzwu训O1Z5A十xsr丄00.Euvz汕设_维随机变量（X,D的帜率密度为/（x,_F）=0,y00,其它亍函数.解答厂|扌疑义FXZ）-Px+2v5r当ZAO时，F/Z）=jff（x,y）dxdy=ft/xf“口畑：

创x*2yS：

=ex（l-e*:

）dx=（e-e=-ex|-ze_:

=1-ezze:

故分布函数为F“）j0,Z0习題m1设随机变量兀与相互独立，其概率密度函数分别为1.0（）.W=i亠，/）V）=，0.具它0,y0/Z）=0,氏它于是当hcO时，有FPZ3_P2X+Yz一0;当0G2时,有F（z）=F2%+YSz=yleydy=*（l-e2*r）dv;当z2时，有F（z）=PZY十Y2=fdxeydy=J：

（1一严仙.利用分布的数法求得7.=2X+y的概率労度函数为0,s0/2

（2）=（1-gJ/2,0V2V2.-3-l）e72,沦2