极坐标与参数方程知识点总结汇编.docx
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极坐标与参数方程知识点总结汇编
极坐标与参数方程知识点总结
题型一、参数方程转化为普通方程
「x=t
例：
已知圆c的圆心是直线t为参数与X轴的交点，且圆C与直线y3=0相切，则圆C的方程为
y=1+t
【分析】这是一道利用圆与直线的位置尖系求圆方程的填空题，其中一条直线的方程用参数方程给出。
—1+0+31—
半径『•一r-V2
41A1
（X=t
【解析】化直线彳（t为参数）为X—y+1=0,「.圆C的圆心是（一1,0）
ly=1+tv7
2o
圆c的方程为（x+1）+y2=2.
【点睛】将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个尖键点。
【变式】：
1x・・t
1、已知椭圆E的中心是坐标原点'一个焦点是直线j为参数与％轴的交点，一个顶点在直线2=。
上，
则椭圆E的方程为
x=2+tx=3cosot
2•北京9.直线丿（t为参数）与曲线丿（G为参数）的交点个数为
y=_1—tj=3sinA
22
【解析】直线的普通方程Xy"0，圆的普通方程为Xy=9，可以直线圆相交，故有2个交点。
【答案】2
I上两点M3N的极坐标
3•在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线一牛说（日为参数）。
分别为（2,0）,
（1），圆C的参数方程y=f；3+2sin日
32
（I）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（n）判断直线I与圆C的位置尖系。
2J3J3
【解析】（I）由题意知M（2,0）,N（0,亠），因为P是线段MN中点，贝UP（1,J）
3
3
（2,•乜），半径r=2.
2廳
（n）因为直线I上两点M（2,0）,N（0,）/・丨垂直平分线方程为：
’、3x・3y・2・.3=0,圆心
3
.d
r，故直线I和圆C相交.
【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。
4.在平面直角坐标系xOy中，曲线G和C2的参数方程分别为
x=tx=<2cosr
（t是参数）和C2J（日是参数）‘它们的交点坐标为
（U）
y=\ltty=V2s\nB
【解析】它们的交点坐标为
222
Ci:
y=x（y■0）,C2：
xy=2解得：
交点坐标为（1,1）
5.在直角坐标系xOy中，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴
nfx=t+1,
建立极坐标系•已知射线・厂上与曲线2（t为参数）
4卜二住」）
相交于A,B两点'则线段AB的中点的直角坐标为
考点分析：
本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点难易度：
★
2222
般方程为y=（t・1）=（x・2）表示一条抛物线，联立上面两个方程消去
$$上’因此AB的中点PC”）.
题型二、极坐标与直角坐标的互化
【分析】本题给出三条直线的极坐标方程，然后求围成的三角形的面积。
【点睛】解题的尖键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程。
【变式】：
・：
3
2.（安徽13）在极坐标系中‘圆J=4sinr的圆心到直线（卩三R）的距离是J3
6
解：
圆t=4sin［尸x?
・（y・2）2=4的圆心C（0,2）
直线心鳥八小*、3"°；点C到直线1的距离是
3.10陕西15.C.（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos二相交的弦长为3
6•极坐标方程分别为T=4cosr和卜工・8sinn的两个圆的圆心距为25.
解析：
p=4—p2=4x/•xs-y^x/•（x・2）H-y2=4同理：
xh-（y+4）乞16
P壬
rx—2t
7•已知直线I的参数方程为：
a为参数），圆C的极坐标方程为「==2辽sinr，则直线I与圆C的位置
ly=1+4t
尖系为一相交亠
8•在极坐标系中，圆「=2上的点到直线「COST,3sinA・6的距离的最小值是_1二
0+0-6
d===3>2，最短距离为3—2=1
G+3
题型三、参数方程与极坐标方程的应用
例：
以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方
程为日二少（PER），它与曲线〈X」+2cos°（0为参数）相交于两点A和B，则IABI二
、y=2+2sin。
【点睛】将极坐标方程、参数方程统一化为直角坐标方程，然后在直角坐标系中解题。
【变式】:
（2）*SC*：
y+_V-=1
=3cos?
+2JTsinA=-s/21sin（A+
®工
i=sin&
i#
屈M值
3•在直接坐标系xOy中，直线I的方程为x-y+4=0‘曲线C的参数方程为更多精品文档
Xf3cos.为参数）
y=sin二
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4,二）‘判断点P与直线I的位置尖系；
2
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.
23.（帝小题满分10分）选4・4:
坐标系与夢数方程门
F（嘤）
解：
（I）把极坐标系下的点■化洵直角坐标•得P（山4）,d
因为点P的頁角坐标（0,4）衢足直线r的方程尢一F+XO,心
所以点P在直线】上，卩
（U）因为点Q在曲线C上•故可设点Q的坐标为«5cosASinff）f唄
从而点Q到直线「册距离为.
（1二込二2心（罕自十心
72
cos（ff+-）=-1绘取得最小值，且最小11为出
由此得，当百时，+
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