《直线和平面垂直的判定》教学设计.docx

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《直线和平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、教学内容分析　　

       本节课选自高中数学新人教版必修2A版第二章，“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时。

主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！

       本节课中，学生将按照“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义；对实例、模型的分析猜想、折纸实验，发现线面垂直的判定定理。

学生将在问题的驱动下，进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生质疑思辨、创新的精神。

二、学生情况分析　　

        所教学生是石嘴山市光明中学理科普通班高二（17）班的学生，他们在数学的学习中，有一定的兴趣。

在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中学习了直线、平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定的基础。

但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。

三、教学目标设计                                 　　

【设计意图】　　

       结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况，提出本节课的目标如下：

1、通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；　　

2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

这些目标的提出以知识为载体，在训练中提升学生的能力，为学生的进一步发展做好基础。

【教学目标】　　

1、通过对视频、图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点】　　

归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

【教学难点】　　

运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

四、课堂结构设计　　

【设计意图】　　

     本课是概念、定理的新授课，设计以学生活动为主体，培养学生能力为中心，为提高课堂教学质量特制定本课的课堂结构：

布鲁纳认为：

“在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化，注重直觉思维。

”基于此，本课是概念、定理的新授课，设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。

五、教学方法设计

　   根据本节课教学内容的需要，结合学生的实际，我设计了如下教学方法。

  1、采用情景教学，利用启发式、和探究式的教学方法。

  2、运用《几何画板》辅助教学，突出动态的演示，突破教学难点。

  3、通过观察、辨析讨论、动手操作等环节逐步形成合理的认识，进而形成解题能力。

六、教学媒体设计　　

【设计意图】　　

       利用多媒体课件能增加课堂教学容量。

课件进行动态演示，模拟折纸试验，便于学生对实验现象进行观察和分析。

为促进学生理解概念，加深对实验的认识，让学生参与到数学实验中去。

1．多媒体辅助教学：

      利用投影展示多幅图片或短片，使学生直观感知线面垂直的定义。

为帮助学生正确进行操作确认并归纳出线面垂直的判定定理，在学生动手操作后利用多媒体课件进行动态演示，模拟折纸试验，便于学生对实验现象进行观察和分析，同时利用多媒体课件增加课堂教学容量。

2．学生自备学具：

        课前要求每个学生准备一张三角形纸片、塑料吸管若干和三角板。

七、教学过程设计　　

【设计意图】　　

       知识的构建是本节课的基础。

如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，使学生经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。

这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。

知识的探索是本节课的核心。

让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。

教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。

在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。

知识的运用是本节课的高潮。

考虑到学生处于初学阶段，以练习做铺垫，让学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。

使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。

1.直线与平面垂直定义的建构　　

       本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：

（1）动体的特征，对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境—感知概念　　

  ①播放展示教师课前拍摄的视频短片和图片。

       直线与平面垂直导入视频

    ②观察实例：

学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。

     ③提出思考问题：

如何定义一条直线与一个平面垂直？

（2）观察归纳—形成概念　　

  ①学生画图：

       将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

  ②提出问题：

能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？

    （学生讨论并交流）　　

　③动画演示：

旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。

④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。

      直线和平面垂直的定义：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

（3）辨析讨论—深化概念　　

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

    解答：

该命题是假命题，如图所示。

②若a⊥α，b⊥α，则a⊥b。

（学生利用塑料吸管和三角板进行演示，讨论交流。

）　　

      这一环节是本节课的基础。

线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展。

如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。

这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。

2.直线与平面垂直的判定定理的探究　　

      这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：

（1）分析实例—猜想定理　　

问题①：

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样 的位置关系？

由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？

问题②：

如何将一张长方形贺卡直立于桌面？

问题③：

由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

学生提出猜想:

   如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）动手实验—确认定理　　

 折纸实验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌  面接触），进行观察并思考：

问题④：

折痕AD与桌面垂直吗？

如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

问题⑤：

由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？

（即AD⊥CD，AD⊥BD还成立吗？

）由此你能得到什么结论？

       学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件—折痕AD是BC边上的高，进而引导学生观察动态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。

（3）质疑反思—深化定理　　

问题⑥：

若一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直吗？

       由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。

可以引导学生通过操作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！

在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础,进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。

      由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。

因而，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。

学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。

      教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。

与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。

在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。

3. 直线与平面垂直的判定定理的初步应用　　

【例题】如图（3），a∥b，a⊥α，求证：

b⊥α。

        考虑到学生处于初学阶段，补充了练习

（1）和练习

（2）做铺垫。

学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。

例题使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。

根据学生的实际情况，本题可机动处理。

4.总结反思—提高认识　　

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）本节课你还有哪些问题？

      学生发言，互相补充，教师点评。

本环节侧重三点：

（1）以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法（如图）；　　  

（2）说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路；　　

（3）鼓励学生反思，大胆质疑。

5.布置作业—自主探究　

         必做题直接运用线面垂直判定定理，供所有学生训练。

选做题是一道开放性题目，有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获，巩固新知识并培养应用意识。

选做题还为下节课灵活运用线面垂直判定定理埋下伏笔。

八、板书设计　　

       为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书。

如：

九、教学反思　　

        关注学生的思维提升是数学课的重要任务，所以教师必须要积极评价自己的课堂。

关注学生非智力因素的对学习的影响，也是新课程观对课堂提出的要求。

从教学的效果，学生的活动等方面进行评价。

1、关注学生在整个探究过程中的表现。

      在线面垂直定义的建构中，着重观察学生思维发展，通过动态演示能否顺利得到结论，若出现“卡壳”现象，教师可再多举实例，放慢节奏。

2、关注学生对知识的掌握情况。

      练习中可能出现的问题有：

几何作图不够直观、符号语言表述不清、推理论证不够严密等。

教师及时纠正，并作为下节课的学习重点。

3、关注学生非智力因素的对学习的影响。

      教师鼓励学生，调动学生的积极性。

若出现意想不到的表现和独特想法，教师先给予鼓励，再根据学生的认知规律采取恰当的启发方式，激发学生的创新思维。

4、关注学生练习的环节。

      让学生充分思考，不包办代替。

合理使用学生的作业资源，展示学生的问题作业，由错误引发思考，进而引导学生完善合理的思维，形成良好的学习习惯。

      今后要继续充分利用学校的资源最大限度地服务教学。

在教学设计上更多地考虑学生的差异，让不同层次的学生都能学有所获。