二维的相异元素与面的四色猜想.docx
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二维的相异元素与面的四色猜想
二维的相异元素与面的四色猜想
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二维的“相异元数”与面的“四色猜想”
孤维
摘要：
一个图形与一个“点”存在拓扑等价，“一维”是点的线性集合。
多个图形的线性排列便形成“同维相邻”。
由于面是二维的，两个“维度”间相邻的图形排列则形成了“异维相邻”。
因此二维的面存在且只存在“同维”与“异维”两种相邻。
所以当我们在同样无法证明穷尽无数种可能只能得到1936种状态与633种特殊情况的条件下，试图通过计算机从结果上证明四色猜想，不如从“面”的“二维”这一根本性的原因上说明为什么是这样更让人信服。
关键词：
线，面，同维，异维，相异元素。
一.线的特性
古代人如何在一条没有任何区别的绳子上记数？
很显然，他们是通过打结的方式所形成近似“点”与“线”相邻的两种相异元素的区别来实现。
[图1]
图1
既然拓扑只强调不同几何图形之间的等价性。
那么我们同样可以从两种不同颜色图形相邻排列中找到与上述“绳结”一致的区别效果。
[图2]
图2
以上相邻图形与摆成不同形态的一根绳结为线性的拓扑等价。
但不允许：
同一线性排列的图形折转与自己相邻！
是显而易见的。
[图3]
图3
这是由一维的“线”与二维的“面”的本质所决定的。
因此我们把：
“一维”称作“线维”。
不同的“二维”称作“异维”。
由于绳子具有线性的本质特征。
所以：
不管它处于水平或竖直，或是纵向状态，也不管它在空间
中除与自己相邻外的何种形态，始终只具有左右或上下或
前后相邻的两种可区别的相异元素。
并且不论它在空间中
处于什么方位都是如此！
我们把这种“一维二异”叫做：
“线”的特性。
如果我们用两种不同颜色取代这两种相异元素，则可肯定：
在具有非封闭线性特征相邻排列的多个图形之间，只需
两种相异的颜色便可区分所有相邻的它们。
我们称这为：
“线维相邻”的特点。
并用符号“┃”来表示它。
由于无间相邻的总是两种相异的元素且与图形共存。
所以用“N（n）”表示图形与数量，“B2（b2）”为同维的两种相异元素。
因为一维二异是“线”的特性，且一个图形在一般情况下与一个点存在拓扑等价，既然线是点的集合，对线性的同一维度而言，至少须有两个图形相邻。
如果X维度上的此类标记用大写字母，Y维度用小写字母标记。
于是“线维相邻”的表达式为：
XNB1┃B1或Ynb1┃b1（N≥2）
不过当我们将类似斑马线这样的图形的两端连接形成一个封闭的环状时：
需要不同颜色种数的多少便与图形数量的奇偶数相关。
当图形的数量为偶数时只需两种相异颜色。
为奇数时则需要三种相异颜色才能区分相邻的它们。
[图4B]
AB
图4
也就是说只要有三种相异的颜色，即使我们在封闭的环上不断的增加图形数量，也不需再加入新的颜色即可区别它们。
我们把：
这种一维性的“三异”叫做“非维度”现象。
二.区别相邻图形的条件关系
从“线维相邻”的特点可以知道：
相邻图形的数量至少与相异的元素相等。
或者说这些
图形数量可大于这些相异颜色的种数。
我们把这叫做：
条件关系。
如果用B代表必要条件的颜色种数，相邻图形的数量是N，则两者之间的条件关系式为：
XB≤XN（Yb≤Yn）（N≥2）
这意味着：
条件关系规定所需种数的颜色，在区分“线维”相邻
图形的数量多于自己时可被重复使用。
由此可见：
颜色重复的次数相对B的值是没有意义的。
这就是我们为什么用“XNB1）┃B1”这样简短的形式来表达“线维相邻”的特点，而不用“XNB1┃B1┃B1┃B1”这样连续的形式来表达的原因。
当然，在具有“线维”特征排列的有限的多个图形之间，我们也可以使用与图形数量相等的多种不同颜色。
[图5]
图5
不过：
当有限的颜色种数，在区别“线维”相邻图形数量N时被
全部用完。
即B与N相等时，在出现与另一“线维”相邻，
即在“异维”图形相邻的情况下，便无法区分另“一维”
与此一维N中的一个相邻图形。
因为上述“异维”图形的相邻数量为“7与1之和”即：
XN1┡YN7（见图6）
它所需不同颜色的种数应为：
B=7+1。
但对于原有的颜色种数来说：
∵B=N=7∴B＜7+1＞N
于是当有限的颜色种数B与所区分的“线维”图形数量N相等时，在超出这一数量的“异维”之间至少有两个相邻的图形无法区别。
[图6]
图6
相反的是，根据“维线相邻”的特点及二者之间的条件关系，重复使用所允许种数的颜色，即使互异的“二维”之间有比这更多的图形相邻也不会出现上述情况。
[图7]
图7
无庸置疑的是，在这里：
必要条件（B）是在“限少”（小）的极限前提下取其中
能够最大限度满足被规定范围内所需的值。
所以B值是
必要条件的基本数值。
如在区分“非维度”环状相邻图形时：
必须取奇数所需的三种色，而不是取偶数所需的两种色。
否则不能满足奇数个图形相邻的区别。
我们已考虑到，在实际着色的过程中有时会出现上述不能区别的情况，不过这是忽视“线维”相邻可重复用色产生的问题，即为错误的操作所致，而非根本上的原因。
[图8A]
AB
图8
所以我们也将“异维”图形之间出现的上述问题，归于非本质现象。
毫无疑问：
用有限种相异颜色以不受数量限制的重复方式表现区别，
优于以受数量限制的更多种相异颜色来表现区别。
我们从对以上所述做出的总结——“线维相邻”的特点：
表现“线维”相邻图形之间的区别，只需两种相异的颜
色。
可用“两色”相邻与重复用色来表现区别的相邻图
形必定呈线性特征的排列。
三.拓扑性的二维限定
为了把问题说得更明白，我们先用平面直角坐标进行分析。
既然拓扑性不强调图形的大小与异同，我们就用异色图形表达相异元素。
并在这里将：
与X轴平行的维度叫做X维度。
与Y轴平行的维度叫做Y维度。
因为维度本身具有线性的特征，所以Y或X维度都只需两种相异的颜色便可将相邻在它们之上的图形区别开来。
[图9]
图9
由于“面”是“二维”的，因此在同一面内：
不仅有Y，或者X维度上的图形相邻，
也有Y与X两个维度之间的图形相邻。
基于在同一面内X与Y本身都是一维的。
为此我们将：
同一个维度上排列的图形叫做“同维图形”。
同维图形之间的相邻叫做“同维相邻”。
同维相邻在一般情况下即“线维相邻”。
如X维度，或Y维度上排列的图形相邻。
[见图9]
不同维度排列的图形叫做“异维图形”。
“异维图形”之间的相邻叫做“异维相邻”。
很显然：
“异维相邻”就是二维间的相邻。
并因此形成“面”。
如X维度与Y维度上的图形相邻：
图10
显而易见：
同维相邻在一维上。
“异维相邻”在二维间。
我们已用符号“│”表示“线维”或“同维”相邻。
为了便于区别，我们用符号“├”表示“异维相邻”。
则有：
XN├Yn
既然“一维有二异”，那么异维相邻的完整表达式为：
XNB2├Ynb2（B=2=b，B=b）
于是“异维”相邻便由此形成了“二维四异”。
我们称这为：
“面的特性”。
我们从面的“二维”性可知，一维的“线”无法容纳二维“面”的存在。
但二维的“面”却可以容纳一维“线”的存在。
就更不用说空间对“面”与“线”存在的容纳。
基于“二维”是面的唯一。
所以我们可以在此得出结论之一：
在二维面内，存在且只存在“同维”与“异维”两种相邻。
我们称这为：
面的拓扑性“二维限定”。
由于“同维相邻”与“线”；“异维相邻”与“面”为拓扑等价。
为了有助对本文观点的理解，所以我们在这里将：
“同维”与“线”等同并取代“线”。
“异维”与“面”等同并取代“面”。
这样：
“同维”与“异维”便成为“线”与“面”的拓扑性表达。
其所以在这里用坐标与规则的异色方块图形的两种相邻，取代不规则的不同图形的所有相邻便是基于这一考虑。
同样从“一维二异”线的特性出发，我们将图10中D的每一维度有两个或以上的图形相邻叫做：
“异维”的标准相邻。
从拓扑性的规定出发，我们将图10中的A和B这样的相邻叫做：
“异维”的拓扑相邻。
因为图9B与图10A告诉我们，虽然两个维度上相邻的图形数量同样是多个与一个，不过两者间却存在质的差异。
前者为“同维”相邻，后者则为“异维”相邻。
我们从中不难发现：
图形除了是颜色的载体外，还是几何维度的元素。
因为
同样是一个图形，在相邻中却具有不同的几何特征。
在
“同维”相邻中它是“点”。
在“异维”相邻中却可以具有
“线性”的意义。
为了有所区别，我们将：
相邻图形之间的一对一的一一对应叫做对称相邻。
相邻图形之间不一对一的不一一对应叫做不对称相邻。
在直角坐标中，虽然同样是一个图形，但从图10中的A，B，C，D与图9B的实际情况来看：
“同维”相邻是一种对称相邻。
“异维”相邻是一种不对称
相邻。
故把这种“对称”与“不对称”叫做图形的相邻
状况。
而且这种相邻状况只针对图形的“相邻数量”而
言。
不针对“相邻的图形”数量而言。
如图10中的E，相邻的图形数量是5，但是相邻数量却为4。
（参见图10中的D与E）不过“相邻状况”与“相邻数量”之间存在如下关联：
相邻数量不等的“异维间”的图形一定是不对称相邻。
相邻数量相等的“异维间”的图形不一定是对称相邻。
但对称相邻的“异维间”的相邻数量则一定是相等的。
（参见图10中的B，D与E）
于是问题的关键在于：
X与Y两个“维度”间的图形如何相邻？
四.相邻状况与异色种数的数量关系
如果Y维度上的图形与X维度上的图形之间的相邻状况是对称的。
[图11]
图11
这种“异维”之间的相邻便是对称相邻。
从图11可以看出，不论在“Y维”或“X维”，还是在“Y维”与“X维”之间的相邻都如“同维”相邻那样是一对一的一一对应。
即如“同维”相邻那样为对称相邻。
故我们同样可以把它们看作是：
N个X维度上的同维图形在Y维度上的同维相邻；或N
个X维度上的同维相邻。
在Y维度上的集合。
反之亦然。
为了更准确的表达以免混乱，我们把：
异维间的对称相邻叫做同维相邻的线性集合。
依据“线维”相邻的特点同样只需两种相异的颜色便可区分所有相邻的图形。
[见图11]可见：
“异维”图形的对称相邻与同维相邻“同性”。
从这里我们可以清楚的了解到：
关注“异维”图形的相邻状况重要于相邻数量。
由于区别在这里强调的同样是无间相邻的异色且与图形共存。
同时“线维”相邻的特点与图7可以明确地告诉我们，当图形数量超过必要条件B值时，强调区别的异色便进入重复。
而重复相对B值是没有意义的。
所以：
在“异维相邻”中，与相异元素种数相等的图形的
相邻状况，重要于“异维”图形的相邻数量。
并且：
如果“异维”间的相邻状况是对称的则必定与“线维同性”，
如果“异维”间的相邻状况是不对称的则必为“异维相邻”。
于是我们在此可以得出结论之二：
“异维”之间的相邻状况只有“对称”与“不对称”两种
相邻。
而对称相邻是“同维性”相邻。
故能表达“异维
相邻”特性的为不对称相邻。
为此我们将“异维”不对称相邻的表达式：
Yn├XN叫作不对称相邻的数量之比，在这里n≠N。
而且从图10中A，B，C，D的图中可以看出，异维间不对称相邻最能表现出二维间的相互关系。
这也是它的符号“┣”所表达的意义。
五.异维相邻的特点
那么“异维”图形的相邻越趋向不对称，情况怎样？
（见图10）。
在“Yn├XN”中，任意维度上的图形只能是自然数，由于：
“线”是“点’的集合。
所以同维相邻至少为两个图形的相
邻。
而“异维”相邻在这里为不对称相邻，所以能与这
两个图形作“异维”相邻的至少是另一维度的一个图形。
这是因为如果只与这两个图形中的一个图形相邻，它只具有“点”
而非“线”的意义。
那只能是“同维”相邻而不是“异维”相邻了。
（见图9B）
所以不对称相邻数量之比值最小的是：
Yn2├XN1（反之亦然）
从图10A可以看到，左边Y维度上有两个相邻的图形。
由于一维线的特性，只需两种相异的颜色便可区分它们。
但是当X维度上的一个图形与Y维度上的两个图形相邻即：
两者为“异维”相邻。
而异维相邻为不对称相邻。
如果不想改变对区别的强调，这样的“异维”相邻的图形必需三种颜色。
且相邻状况十分明确地告诉我们：
“异维”图形的相邻数量之比值越趋近1，这种相邻状况
则越接近对称相邻，也就越具有同维相邻的特点，所需
相异颜色的种数就越少。
因此我们接下来可以得出结论之三：
不对称相邻的数量之比值越小于1，所需相异颜色的种数
就越多。
我们把这叫做；
“不对称相邻”的特点。
由于“异维”的对称相邻只需要两种颜色，而且“线”容不下面，而“面”却可以容纳线。
因此从不对称相邻的特点来看：
弄清四色猜想的关键是“异维”间的不对称相邻。
因为不对称相邻对B的取值大于对称相邻的取值。
所以本文着重分析“异维”间的不对称相邻这一种情况。
而关键的问题在于：
到底需多少种相异的颜色方可区别同一面内的两种相
邻？
也就是区分构成“面”的所有相邻的必要条件B
为多少种颜色？
六.面内相邻图形的区别与二维的相异元素
如果说直角“坐标”表示的是一个有限面，那么直角“坐标系”表示的则是空间内无限的面。
或者说：
如果“直角坐标”表示的是一个确定的“实面”
“直角坐标系”表示的则是一个非确定的“虚面”
因为与其认为“同维”与“异维”图形在一个已确定的实面上排列相邻，不如承认它们是在空间的同一“虚面”排列相邻形成同一个“实面”更为合理。
因为在这里：
“同维”与“异维”本身就是“线”与“面”。
且一个图形
与“点”存在拓扑等价。
而“点”是构成“线”与“面”
的元素。
事实上与面等同的“异维”相邻和与线等同的同维相邻，不可能在确定的实面内被“此面”限制于一个固定的区域内排列。
如图9B的图形排列，如果依坐标来确定则为“异维相邻”。
它的实质却是同维相邻。
所以这两种不同的相邻实际上是，随一个个图形的不同相邻的排列在空间无限的同一虚面，形成一个处于不断变化扩大的实面。
[图12]
图12
很显然，由于“二维限定”，同一面内不同图形的所有相邻在X与Y组成的二维面中都只有“同维”与“异维”两种。
所以图12B为图12A的拓扑变形或等价。
因为：
拓扑性不关注具体的形式，只强调被抽象的内容。
在二维限定的坐标系中：
两个维度的垂直相交，使不论图形在360度的何方位上
作何形状的相邻，任意“维度”只允许在它的两边实现
“异维相邻”。
我们不妨在相似图10A的基础上，通过直角坐标系作“同维”与“异维”相邻图形的排列，能够获得什么样令人信服的结果。
[图13]
图13
从图13可以看出，虽然沿Y轴的上和下与原图形作“异维”相邻的排列。
由于图10A所示的“异维”图形相邻的三种颜色是互异的。
因此无需增加颜色仍可区分它们。
。
我们继续图13，改在X轴上作左和右两个方向的图形排列，此时在Y轴上，已有三个相异颜色的图形相邻。
从异维相邻的特点可知，不对称相邻的数量之比值越小，需要颜色的种数越多。
所以只要X轴上有一个图形与此三种颜色相异的图形相邻，即：
Yn3┠XN1
那么毫无疑问，此时需要四种相异的新颜色才能区分相邻的它们。
[见图14A]
图14
也就是：
Yb3┠XB1
而且从图14A可以看出，其所以Y维上出现三种相异的颜色，是由于X维上的一种异色介入的结果。
然而令人惊讶的是，即使我们在不同方向上不断的继续这种“异维”图形的相邻排列，所获得的结果始终只是：
上述Yb3┠XB1这一内容的不断重复，再无超出它的
新的内容产生！
[图14B]
这是因为对相互垂直的二维坐标而言，任一维度始终只允许另一维度的一个图形介入。
于是我们从上述得出结论之四：
异维相邻中的任一维度最多只需三种颜色。
最少需一种。
在这里让我们将以上四个结论汇集如下：
结论之一：
在二维面内，存在且只存在“同维”与“异维”两种相邻。
结论之二：
“异维”之间的相邻状况只有“对称”与“不对称”两种。
对称相邻是“同维性”相邻。
故能表达“异维相邻”特
性的为不对称相邻。
结论之三：
不对称相邻的数量之比值越小，所需相异颜色的种数就越多。
结论之四：
异维相邻中的任一维度最多只需三种颜色。
最少只需一种。
于是我们依据以上四个结论作出如下梳理。
①由于同维相邻至少须两个图形相邻。
即：
Yn2┠0
②这与一维的二异相等。
故有：
Yn2┠XB0=Yb2┠XB0
③因为“异维”相邻状况的比值越小，不对称程度越高
所需颜色的种数也越多。
而不对称状况的最小比值是：
Yn2├Xn1
④为了不改变对区别的强调而发生变异，需要增加一种
新的不同颜色！
即：
Yb2┡XB1
⑤在相互垂直的二维坐标中任一维度只允许另一维度的一个图形介入。
使任一维度允许，且只允许最多拥有三种相异元素。
故有：
Yn3┡XN0=Yb3┡XB0
⑥出于上述③的同一个理由，所以有：
Yn3├XN1
⑦出于上述④的同一个理由，所以有：
Yb3├XB1
⑧由于二维限定，因此满足“异维”不对称相邻的基本数值为：
B=4
于是区别异维相邻的图形最多只需四种相异的颜色。
本文其所以只着重分析“异维”的不对称这一种相邻，主要考虑在二维面的范围内，能满足“同维”与“异维”两种相邻的必要条件只需取“异维”不对称相邻的“四色”这一大值，就如同封闭线性的相邻图形只需取满足奇数个图形相邻的“三色”一样。
因为：
“四色”可以满足“同维”与“异维”两种相邻。
而
“两色”只能满足“同维”却满足不了“异维”相邻。
依据事实与本文观点，其所以如此的根本原因在于：
二维的四种相异元素如何在构成面的异维相邻图形中分布。
并用如下式子表达它在“二维”中分布的一般形式：
Yb2┠XB2
由于在“异维”不对称相邻时，“四异”只能容纳在这两维中。
因此只可能存在以下两种分布（见图10C与图14A）
一.Yb2┠XB2
二.Yb2B1├XB1或反之。
其中“二”与上述总结⑦何其一致！
当然，异维相邻有时也存在这一种分布：
Yb2├XB1或反之。
不过这是受图形数量限制的缘故。
当然也不可能出现如下情况：
Yb4├XB0或Yb0├XB4
如果这样，它只能是同维而非异维。
同时这种情况也与一维二异的特性相违。
，
无庸置疑，由于“二维”是构成“面”的唯一。
且“二维限定”只允许“同维”与“异维”两种相邻。
同时超过b值的重复在这里没有意义。
而：
“四色”恰恰与二维的四种相异元素一致。
所以论述至此我们可以作出如下结论：
计算机证明的四色猜想即四色定理，其实是由源自两个
维度各自一维线的特性所拥有的两种相异元素，因“面”
而汇合成四种相异元素在“拓扑性”二维间的不同分布
所为。
2007年9月30日初稿于湖南长沙《索因工作室》
2008年3月10日修改于湖南长沙《索因工作室》
2008年11月17日再改于湖南长沙《索因工作室》
2009年3月28日续改于湖南长沙《索因工作室》
2012年10月29日续改于湖南长沙《索因工作室》
2013年元月24日终稿于湖南长沙《索因工作室》
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