马走日棋盘算法.docx
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马走日棋盘算法
马走日棋盘算法
问题描述
在给定大小的方格状棋盘上,将棋子”马”放在指定的起始位置,棋子”马”的走子的规则为必须在棋盘上走”日”字;从棋子”马”的起始位置开始,搜索出一条可行的路径,使得棋子”马”能走遍棋盘上的所有落子点,而且每个落子点只能走一次;
例如:
棋盘大小为5*5,棋子马放的起始落子点为（3,3）;算法需要搜索一条从位置（3,3）开始的一条包括从（1,1）,（1,2）,（1,3）…（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）总共25个可以落子的全部位置;
问题分析
通过上面的问题描述,我们对问题的内容有了正确的理解,接下来我们开始对问题进行具体细致的分析,以求找到解决问题的正确的可行的合理的方法;
首先我们需要在程序中用合适的数据结构表示在问题中出现的棋盘,棋子,棋子的走子过程;接下来我们需要对核心问题进行分析,即如何搜索一条可行的路径,搜索采取何种策略,搜索的过程如何表示;
对于一个大小为n*m大小的棋盘,棋子从当前位置（x,y）出发,可以到达的下一个位置（x’,y’）:
（1）（x+1,y+2）
（2）（x+1,y–2）
（3）（x–1,y+2）
（4）（x–1,y–2）
（5）（x+2,y+1）
（6）（x+2,y–1）
（7）（x-2,y+1）
（8）（x-2,y–1）
限制条件:
1.1<=x’<=n,1<=y’<=m;（n:
棋盘的高度,m:
棋盘的宽度）;
2.（x’,y’）必须是棋子记录表中没有包括的新位置;
3.棋子走子过程记录表中没有包括棋盘上的所有可以落子的位置;
对这个过程不停迭代的过程也就是对解空间搜索的过程,搜索直到棋子走子记录表中包括棋盘上的所有可以落子的位置,就搜索到了一条可行的路径,路径包括棋盘上的所有落子点;或者搜索完整个解空间,仍然找不到一条可行的解,则搜索失败;
下面我们举例来说明搜索的过程;
棋盘大小:
5*5
棋子起始位置:
（3,3）
搜索过程:
（1）从当前位置（3,3）出发可以有8个新的位置选择;首先选择新位置1,将新位置1
作为当前棋子位置,开始新的搜索;
如果搜索不成功,则搜索回退,选择新位置2,以此类推,就可以搜索完整个解空间,只要从该问题有解,则可以保证一定可以搜索到;
2）从新位置1开始新的搜索,可以选择的新位置有两个,先选择位置1,从位置1开始新的搜索;
（3）下图是经过18步搜索之后的状态,从位置18出发,已经没有没走过的新位置可以选择,则搜索失败;
搜索回退到17步,从位置17开始搜索除了18之外的新位置,从图上可以看出已经没有新位置可以选择,继续回退到16步,搜索除了17的新位置;以此类推.知道搜索完整个解空间,或者搜索到一个可行解;
（4）下图展示了搜索成功的整个搜索过程;
系统设计
一.用例图
二.类设计
三.顺序图
四.核心算法设计
通过上面的分析,我们现在可以将算法的大概框架写出来了,具体的代码请参考本文章后面的源程序;
下面我们先列出了经典回溯算法的框架;由于考虑到程序实现的方便性,所以本文中采用的回溯算法对经典算法进行了适当的修改;
经典算法:
voidBackTrack（intt）{if（t>n）OutPut（x）;elsefor（intI=f（n,k）;i<=g（n,k）;i++）{x[t]=h（i）;if（ConsTraint（t）&&Bound（k））BackTrack（k+1）;}}本文采用的算法:
boolSearch（LocationcurLoc）//开始计算;{m_complex++;//修改棋盘标志;m_chessTable[curLoc.x-1][curLoc.y-1]=1;//是否搜索成功结束标志;if（isSuccess（））returntrue;//还有未走到的棋盘点,从当前位置开始搜索;else{//递归搜索未走过的棋盘点;for（inti=0;i<8;i++）{LocationnewLocation=GetSubTreeNode（curLoc,i）;if（isValide（newLocation）&&m_chessTable[newLocation.x-1][newLocation.y-1]==0）{if（Search（newLocation）==true）{//填写记录表;MarkInTable（newLocation,curLoc）;returntrue;}}}}//搜索失败,恢复棋盘标志;m_chessTable[curLoc.x-1][curLoc.y-1]=0;returnfalse;}测试数据和测试结果
（1）.测试数据1:
棋盘大小
棋子起始位置
（1,1）
（4,4）
（2,3）
略…
搜索到的可行解
无
无
无
无
搜索解空间大小
2223
2223
501
略…
结论:
对于4*4和小于4*4的棋盘,此问题无可行解;
（2）.测试数据2:
棋盘大小:
5*5
棋子起始位置:
（1,1）
搜索解空间大小:
76497
搜索结果图示:
棋子起始位置:
（3,3）
搜索解空间大小:
11077
搜索结果图示:
结论:
对于5*5的棋盘,此问题有可行解,搜索解空间大小随棋子的起始位置不同而不同,从某些位置起始搜索,此问题可能没有可行解;
（3）.测试数据3:
棋盘大小:
6*6
棋子起始位置:
（4,2）
搜索到的可行解:
2029720
结果图示:
（4）.测试数据4:
棋盘大小:
7*7
棋子起始位置:
（3,3）
搜索解空间大小:
12799463
结果图示:
结论
通过多组数据的测试,我们发现当棋盘的高度height<=5,宽度width<=5的时候,该棋盘问题的解空间比较小,本文采用的算法可以在很短的时间内搜索完整个解空间;
当棋盘为5*5大小,整个解空间大小为1829421=2（21）;由于棋盘和棋子的一些特点（如:
棋子从当前位置出发只能到达棋盘上的某些特殊点,而且这些点必须不包含在走子记录表中）,这就给分析棋盘算法的时间复杂度带来了一些困难,我们只能通过不同大小棋盘的特点来大概分析算法的时间复杂度,通过实际的测试（在棋盘大小为5*5）,估算的时间复杂度与实际的复杂度基本在一个数量级;
上图是一个5*5大小的棋盘,方框所在的位置（3,3）出发可以到达的点有8个,而下次从8个新的搜索点出发平均能到达的有2个点,还有25–1–8=16个点,16个点中除去4个点就剩一般的点没有走过,从这4个点出发,可以到达的新的搜索点平均有2个,当棋盘上的一半以上的点全都走过,则从剩余的12个点出发可以到达的新的搜索点平均只有1;
通过上面的分析,我们可以得出Space（5*5）=8*pow（2,8）*pow（2,4）*12=pow（2,20）;
同理,我们可以对棋盘大小为8*8的解空间大小进行估算;当然估算当中的一些特殊点的选择是需要一些技巧和实际经验的,虽然最终结果可能不准确,但是能够保证基本在一个数量级上;
Space（8*8）=pow（4,8）*pow（4,4）*pow（2,20）*pow（2,32）;
可以看出,解空间是相当大的,我们假设计算机每分种搜索300万步,对于棋子”马”给定一个起始位置,要想证明此问题无解,则需要搜索的时间为（下面数字均为估计值）:
Time（8*8）=Space（8*8）/300万=pow（2,76）/300万=pow（2,62）分钟=
pow（2,56）天=pow（2,47）年=128亿年
注:
pow（x,y）代表x的y次方;
可见要搜索完一个大小为8*8棋盘问题的全部解空间是根本不可能的;
算法的时间复杂度为pow（2,n）,是个NP难解问题
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