人教版初中八年级数学上册《角的平分线的性质》教案.docx
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人教版初中八年级数学上册《角的平分线的性质》教案
角的平分线的性质
第一课时
教学目标
1.通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
2.经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.
3.激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.
重、难点
1.重点:
领会角的平分线的两个互逆定理.
2.难点:
两个互逆定理的实际应用.
教具准备
投影仪、制作如课本图11.3─1的教具.
教学过程
一、创设情境,导入新课
【问题探究】(投影显示)
如课本图11.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?
【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1)直观地进行讲述,提出探究的问题.
【学生活动】小组讨论后得出:
根据三角形全等条件“边边边”课本图11.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理.
【教师活动】
请同学们和老师一起完成下面的作图问题.
操作观察:
已知:
∠AOB.
求法:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求(课本图11.3─2).
【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.
【媒体使用】投影显示学生的“画图”.
【教学形式】小组合作交流.
二、随堂练习,巩固深化
课本P19练习.
【学生活动】动手画图,从中得到:
直线CD与直线AB是互相垂直的.
【探研时空】(投影显示)
如课本图12.3─3,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.
【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.”
论证如下:
已知:
OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(课本图11.3─4)
求证:
PD=PE.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD=PE
【归纳如下】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流.
三、情境合一,优化思维
【问题思索】(投影显示)
如课本图11.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:
20000)?
【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:
角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:
到角的两边的距离相等的点也在角的平分线.
证明如下:
已知:
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:
点P在∠AOB的平分线上.
证明:
经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线.
【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.
四、范例点击,应用所学
【例】如课本图12.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:
点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.
【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与.
证明:
过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.
∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.
【学生活动】参与教师分析,主动探究学习.
五、随堂练习,巩固深化
课本P22练习.
六、课堂总结,发展潜能
1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.
2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).
七、布置作业,专题突破
1.课本P22习题11.3第1、2、3题.
2.选用课时作业设计.
第二课时
教学目标
1.知识与技能能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题.
2.经历探索角的平分线性质的应用过程,领会几何分析的内涵,掌握综合法的表达思想.
3.激发学生的逻辑思维,在比较中获取知识,使学生感悟几何的简练思维.
重、难点
1.重点:
应用角的平分线性质定理.
2.难点:
应用“综合法”进行表达.
教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规.
教学方法
一、回顾交流,练中反思
【概念复习】
【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质.
【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后,学生可以通过交流得出:
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
【分层练习】(投影显示)
1.已知:
如图1,△ABC中,AD是角的平分线,BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,E、F是垂足,求证:
EB=FC.
【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等(△EBD≌△FCD).
【教师活动】操作投影仪,巡视,启发引导,适时提问.
【学生活动】小组合作学习,寻求解题思路,踊跃上台演示自己的证明.
证明:
∵AD是角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF
在△EBD和△FCD中,
∴△EBD≌△FCD(HL)
∴EB=FC
【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习.
【教学形式】小组合作(4人小组)交流,然后全班汇报,以练促思.
2.已知:
如图2,河的南区有一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为300米,在图上标出工厂的位置,并说明理由.
【思路点拨】画图略,根据角的平分线性质,工厂应在河流与公路交角的平分线上.
【教师活动】操作投影仪,提出问题,参与学生的思考和讨论.
【学生活动】分四人小组积极地讨论,得出结论,踊跃发表自己的看法.
【媒体使用】投影显示“分层练习2”.
【教学形式】合作学习,生生互动交流.
二、操作观察,辨析理解
首先按如下步骤进行操作:
(1)在一张纸上任意画一个角(角的边不要画得太短)∠AOB.
(2)剪下所画的角.
(3)折叠所画的角,使角的两边OA与OB重合,设折痕为Ox,如图3.
(4)在折叠形成的两层纸之间放入复写纸.
(5)在Ox上取一点P,并且过点P画OA的垂线.
(6)拿出复写纸,并且把折叠的纸展开观察展开后的图形,并进行思考,上面的操作反映了哪条规律?
是课本上一节课中的那个概念吗?
【教师活动】操作投影仪,巡视,参与学生的讨论,引导启发.
【学生活动】分四人小组合作学习,从操作中感悟知识和规律,得到结论:
反映规律是:
角的平分线上的点到角的两边距离相等.
【媒体使用】投影显示“操作思考”.
三、课堂演练,系统跃进
1.已知:
如图4,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足,DE=BF.求证:
(1)AE=CF;(2)AB∥CD.
[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED
2.已知:
如图5,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N,求证PM=PN.
[提示]∵∠ABD=∠CBD,AB=CB,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,又PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
四、课堂总结,发展潜能
由学生分四人小组进行学习反思,然后各小组汇报学习情况.
五、布置作业,专题突破
1.课本P51习题12.3第4、5题.