版高中数学第一讲优选法六多因素方法二学案新人教A版选修47.docx
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版高中数学第一讲优选法六多因素方法二学案新人教A版选修47
六 多因素方法
（二）
[学习目标]
1.通过具体实例了解平行线法、平行线加速法、双因素盲人爬山法.
2.理解平行线法、双因素盲人爬山法适用优选对象.
[预习导引]
1.在双因素优选试验中，如果一个因素不好调整，而另一个因素比较容易调整时，常采用平行线法.
2.在双因素试验中，如果两个因素均不允许大幅度调整，常采用盲人爬山法.
3.平行线法进行试验时：
（1）先将难以调整的因素（记为因素Ⅰ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的0.618处，用单因素法对另一个因素（记为因素Ⅱ，并用横坐标表示）进行优选，得到最佳点A.
（2）然后再将因素Ⅰ固定在其因素范围的0.382处，再用单因素法对因素Ⅱ进行优选，得到最佳点B.
（3）若A点比B点好，则去掉B以下的部分；若A点比B点差，则去掉A以上的部分.
（4）然后按0.618法找出因素Ⅰ的第三好点，对因素Ⅱ进行单因素优选……如此继续下去，直到找到满意的结果为止.
4.平行线加速法是在平行线法上加以改进，即在得出前两次好点A1，A2后，在去掉某一块范围后，过A1，A2两点作一条线段（即直线A1A2在存优范围内的部分），然后在此线段上用单因素法找到最佳点A3，如果对A3的试验结果不满意，则再过A3作一条平行线段（即固定因素Ⅰ的值），在此线段上用单因素法求得最佳点A4，如此继续下去，直到结果满意为止.
5.双因素盲人爬山法一般是，在试验范围区域上从某点出发，向前、后、左、右四个方向前进一步，如向右前进一步，若得到的点要好，再继续向右前进一步；若不好，则改变前进方向……若在某处的四个方向的点都不比D好，就可认为这个双因素单峰问题的最佳点是D.
要点一 平行线法
例1 某酒厂生产酒曲，由于对制曲室的温度和湿度掌握得不好，因此酒曲质量不高，糖化率一直在50单位以下.试验范围为温度：
26℃～38℃，湿度：
65%～100%.
试选择合适的方法进行优选.
解 设影响该试验结果的因素Ⅰ为温度，Ⅱ为湿度.因因素Ⅱ难以调整，所以先固定因素Ⅱ在0.618处，即65＋0.618×（100－65）≈87（%），用单因素法对因素Ⅰ进行优选，例如最佳点在A1：
27.5℃处.
再把因素Ⅱ固定在0.618的对称点0.382处，即65＋100－87＝78（%），再用单因素法对因素Ⅰ进行优选，例如最佳点在A2处.
比较A1与A2两点上的试验结果，A1优于A2，所以去掉A2以下的部分，即好点不会在因素Ⅱ的65%～78%之间，也就是说存优范围是78%～100%.再把因素Ⅱ固定在78＋100－87＝91（%）处，再用单因素法对因素Ⅰ进行优选，例如此时最佳点在A3处，比较A1与A3两点上的试验结果，A1优于A3，所以去掉A3以上的部分，即存优范围为78%～91%.如此继续下去，直到找到满意的结果温度为28℃左右，湿度为87%为止，此时投入生产后效果很好，糖化率保持在65～75个单位.如图所示：
规律方法 1.平行线法适用于一个因素不易调整，而另一个因素比较容易调整的双因素优选问题，且特点是每次试验都是在相互平行的直线上进行.
2.平行线法优选的步骤：
设双因素变化范围为a1≤Ⅰ≤b1，a2≤Ⅱ≤b2.
①固定Ⅱ于0.618处，对因素Ⅰ进行优选，得好点A1.
②再固定Ⅱ于0.382处，对因素Ⅱ进行优选，得好点A2.比较A1和A2的试验结果，保留新的存优范围，在剩下的存优范围中按照上面的方法继续试验下去，直到满意为止.
跟踪演练1 “除草醚”配方试验中，所用原料为硝基氯化苯，2，4二氯苯酚和碱，试验目的是寻找2，4二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、产量高.
酚的变化范围：
1.1～1.42（mol）；
碱的变化范围：
1.1～1.6（mol）.
试用平行线加速法选择苯酚和碱的最佳配比.
解 首先固定酚的用量1.30（即0.618处），对碱的用量进行优选，得最优用量为1.30，即图上的点A1.
再固定酚的用量1.22（即0.382处），对碱的用量进行优选，得碱的最优用量为1.22，即图上的点A2.过A1，A2作直线L（直线L上的点是酚∶碱＝1∶1），在直线L上用单因素法进行优选（因为A2优于A1，所以酚的用量低于1.22时就不必做了），最佳点为A3，即酚与碱的用量均为1.27.
要点二 双因素盲人爬山法
例2 对某种物品镀银时，要选择氯化银和氰化钠的用量，使得镀银速度快，质量好，其中氯化银的变化范围是40～80g/mL，氰化钠变化的范围是70～150g/mL，采用盲人爬山法选择最佳点.
解 确定起点：
氰化钠85g/mL，氯化银55g/mL.
（2）选择步长：
氰化钠10g/mL，氯化银5g/mL.
（3）探索最佳点：
从起点1开始，向右试探，结果2比1好，继续向右试探，结果3比2好，再向右试探，结果4比3差.回到3向上试探，结果5比3好，继续向上试探，结果6比5好.再继续试探，结果上，左，右三个方向的试点都不如6好，且试点6的结果满足生产条件，试验结束.
结论：
氰化钠用量为105g/mL，氯化银用量为65g/mL时，镀银效果最好.
规律方法 1.双因素盲人爬山法的优点是简便易行，可操作性强，必要时可以保护生产（试验）的设备（原材料）.
2.试验的选择范围及步长间隔的大小，直接影响试验的效果.
跟踪演练2 为测量校园中池塘的最深点，假设池塘的深度是双因素单峰的，可采用的适合优选法是（ ）
A.纵横对折法B.0.618法
C.双因素盲人爬山法D.平行线法
解析 由于池塘的深度是双因素单峰的，为了简便易行，我们可以采用双因素盲人爬山法，在立足处，用明杖试探一下，如果觉得深一点，再向前试探，到某个位置后，再向四周试探一下，如果四周都比此点浅，说明该点就是最佳点.
答案 C
1.当两个因素都好调整时，可采用纵横对折法和从好点出发法.
2.对于双因素优选试验时，一个因素好调整而另一个因素不好调整时，常采用平行线法.
3.在双因素试验中，如果两个因素均不好调整，常先借助盲人爬山法对其中一个因素找出最佳点，然后，再次利用盲上爬山法找出另一因素的最佳点，该种方法称作双因素盲人爬山法.
一、基础达标
1.下列说法正确的是（ ）
A.用平行线法优选时，固定因素Ⅰ后，因素Ⅱ上的取点方法一定按0.618法
B.对于双因素单峰优选问题，当其中一个因素不易调整，而另一个因素容易调整，为了较快得到满意的结果，常常利用平行线加速法
C.用双因素盲人爬山法优选时，一定要先找到第一个因素的最佳点，然后再找另一个因素的最佳点
D.双因素优选问题中的一个因素不容易调整，而另一个因素比较容易调整，适宜于双因素盲人爬山法
解析 由平行线法、平行线加速法，盲人爬山法可知B对，其余都错.
答案 B
2.下列四个优选方法中，哪一个方法不适用于双因素优选（ ）
A.平行线法B.平行线加速法
C.盲人爬山法D.对分法
解析 对分法适用于单因素，故答案为D.
答案 D
3.如图是某种双因素试验结果图，则这种方法应该是（ ）
A.纵横对折法
B.从好点出发法
C.平行线法
D.盲人爬山法
解析 由图可知是盲人爬山法进行试验.故答案为D.
答案 D
4.电机修理厂根据工艺要求，单晶切片厚度为0.54mm左右，经研磨损失0.15mm左右，1kg单晶只出1200左右小片，为了节约原材料、提高工效、降低成本，切割不同厚度的单晶片很方便，但要检验究竟哪一种厚度好，则要经过磨片、化学腐蚀、烘干、烧结、参数测定等工序，试验周期长达三天（生产中则更长，要一个多星期），而且有些工序必须在同一条件下才能得到正确的结果，则用下列哪种优选法最佳（ ）
A.分数法B.对分法
C.分批试验法D.盲人爬山法
解析 由于上述试验结果需要较长的试验周期才能得到，故可采用分批试验法，C为正确答案.
答案 C
5.用平行线法进行双因素单峰问题的优选时，先用0.618法固定某因素，然后再对另一因素进行单因素优选，则每次去掉的试验范围区域面积占存优范围区域面积的__________（用小数表示）
解析 如图，对因素Ⅰ优选，若最佳点为A1，先把因素Ⅱ固定在A1处，再找0.618的对称点0.382固定，对因素Ⅰ优选，最佳点在A2.若A1好于A2，去掉阴影部分，去掉的区域面积占存优范围区域面积的0.382.
答案 0.382
6.某食物加工过程优选问题中，加工质量受某种材料重量（单位：
kg）及加工时间（单位：
min）两个因素影响，右图是用平行线加速法试验的结果图，若A3是最佳点，则最佳重量为__________kg，最合适的加工时间是________min.
解析 A1A2所在直线方程为y＝
x－
.当y＝1.5时可知x＝4.5，所以答案为1.5，4.5.
答案 1.5 4.5
7.如图是某因素试验结果图，从A点出发，则最佳点为__________.
解析 利用盲人爬山法可知F点为最佳点.所以答案为F.
答案 F
二、能力提升
8.工业生产中，某种产品的产量由“加工温度”和“催化剂含量”两个因素决定，加工温度介于5000℃～6000℃之间，催化剂含量介于1000g～2000g之间.产量随温度、催化剂含量的变化呈单峰变化，试选择合适的优选法找出使产量最大时的温度和催化剂的含量.
解 由于在工业生产中，催化剂的含量较难调整，故可利用平行线法解决该优选问题.
设影响该试验结果的因素Ⅰ为温度，Ⅱ为催化剂的含量，因因素Ⅱ难以调整，所以先固定Ⅱ在0.618处，即1000＋0.618×（2000－1000）＝1618处，用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选，得最佳点A1；再把因素Ⅱ固定在0.618的对称点0.382处：
即1000＋2000－1618＝1382处，再利用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选，得最佳点A2，比较A1与A2两点上的试验结果，A1优于A2，所以去掉A2以下部分，再把因素Ⅱ固定在2000＋1382－1618＝1764处，再利用单因素法对Ⅰ温度进行优选，得最佳点在A3，比较A1与A3两点的试验结果，若A1优于A3则去掉A3以上部分，否则去掉A1以下部分，如此继续下去直到得到满意答案为止.
9.对某工艺品镀银，要选择氯化银和氰化钠的用量，为了使镀银速度快、质量好，技术员小王采用双因素爬山法进行试验优选.每次以同样的步长向前、后、左、右某几个方向试探，如图是他试验结果的示意图.起点是A，先向右试探，结果B点比A点好……若达到了比较好的试验结果则停止试验.
（1）最佳点是哪点？
在此点做了几次试探？
（2）你能从图上得出小王做了多少次试验吗？
解
（1）由双因素爬山法知，H点是最佳点.在H点向左、向上、向下做了3次试探.
（2）由图中结合双因素爬山法知，在A向右试探1次到B（B比A好），在B点继续向右试探1次到C（C比B好），继续向右试探1次得到D（D比C差），再在C向上试探1次，
得到E点（E比C好），再向上试探得到F（F比E好），
在F向上试1次到达G（G比F差），
在F向左试一次到达H，
再在H向左试一次到达I点（I点比H差），
再在H分别向上、下各试一次到达J，K（都比H差），
即H为最佳点，结束试验.
所以共有1＋1＋2＋1＋2＋3＝10（次）.
三、探究与创新
10.有些金矿用浮选法回收黄金，在浮选工艺中使用的药剂种类较多，有捕收剂、起泡剂、活化剂等，其中起主要作用的药剂是捕收剂（一般为黄药）、起泡剂（多为2#油），下面是对这两个因素进行的优选试验的过程（其他因素固定），请阅读并填写表格中的空白数据.
（1）先固定起泡剂（2#油）的用量为100g/t，由以往的实践可以知道捕收剂（黄药）的变化区间为50g/t～500g/t.
下面对黄药的用量进行选优试验，试验结果如下表：
序号
2#油（g/t）
黄药用量（g/t）
黄金回收率（%）
1
100
328.10
40.04
2
100
________
31.96
3
100
________
44.26
4
100
________
42.49
5
100
________
49.57
由上表结果可知：
当黄药用量为368.60g/t时，回收率达到最高.
（2）固定黄药为368.60g/t，优选2#油的最佳用量，2#油的变化区间为0g/t～200g/t，试验结果见下表：
序号
黄药用量（g/t）
2#油（g/t）
黄金回收率（%）
1
368.60
123.60
46.58
2
368.60
________
39.30
3
368.60
________
53.23
4
368.60
________
49.52
由上表可知：
当2#油用量为152.80g/t时，回收率达到最高.
（3）固定2#油为最佳用量152.80g/t，再次优选黄药用量范围仍为50g/t～500g/t.
见下表：
序号
2#油（g/t）
黄药用量（g/t）
黄金回收率（%）
1
152.80
328.10
49.74
2
152.80
________
47.74
3
152.80
________
52.60
4
152.80
________
51.75
5
152.80
________
56.76
由上表数据说明，为使得黄金的回收率最高，药剂最佳用量为黄药368.60g/t，2#油152.80g/t.
解析
（1）∵第1个试点为328.10且328.10＝50＋0.618（500－50），故第二个试点x2＝500＋50－328.10＝221.90.又∵31.96%<40.04%，故x3＝500＋221.90－328.10＝393.80.又∵44.26%>40.04%，故x4＝500＋328.10－393.80＝434.30.又∵42.49%<44.26%，
故x5＝328.10＋434.30－393.80＝368.60.
（2）∵第1个试验点x1＝0＋0.618×200＝123.60，
∴x2＝0＋200－123.60＝76.40.又39.3%<46.58%，
∴x3＝200＋76.40－123.60＝152.80.又53.23%>46.58%，∴x4＝200＋123.60－152.80＝170.80.
（3）类比
（1）可知x1＝328.10，x2＝221.90，
x3＝393.80，x4＝434.30，x5＝368.60.
答案
（1）221.90 393.80 434.30 368.60
（2）76.40 152.80 170.80
（3）221.90 393.80 434.30 368.60
讲末复习
专题1 优选法的概念及单峰函数
1.优选法
优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.
2.单峰函数
如果函数f（x）在区间[a，b]上只有唯一的最大值点（或最小值点）C，而在最大值点（或最小值点）C的左侧，函数单调增加（减少）；在点C的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数.
我们规定，区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数.
例1 下列函数中是[－1，1]上的单峰函数的有________.
（1）y＝
；
（2）y＝x3＋2x＋1；
（3）y＝ax2＋3（a≠0）.
解析
（1）∵y＝
x在[－1，1]上单调递减，
故y＝
是单峰函数.
（2）∵y′＝3x2＋2>0对于x∈[－1，1]恒成立，
故y＝x3＋2x＋1在[－1，1]上是单调增函数，
所以y＝x3＋2x＋1是单峰函数.
（3）∵y＝ax2＋3（a≠0）是二次函数，无论其开口向上（下），都只有一个最值（极值），故该函数是单峰函数.
答案
（1）
（2）（3）
专题2 黄金分割法——0.618法
1.黄金分割常数ω＝
≈0.618.
2.利用0.618法选取试验点的原则及选取方法
（1）试验点的选取原则：
①每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；
②每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应相同.
（2）试验点的选取方法：
设xn表示第n个试验点，存优范围内相应的好点是xm，因素范围的两端分别记为小头和大头，则x1＝小＋0.618×（大－小）；x2＝小＋大－x1.
一般：
xn＝小＋大－xm.
可概括为“加两头，减中间”.
3.0.618法是优选法的最常用方法之一，是高考考查的重点之一.
例2 用0.618法对某一试验进行优选，因素范围是[2000，8000]，则第二个试点x2＝________.
解析 由0.618法知x1＝2000＋0.618×（8000－2000）＝5708，
x2＝2000＋8000－5708＝4292或x1＝2000－（8000－2000）×0.618＝4292.
x2＝2000＋8000－4292＝5708.
答案 4292或5708
专题3 分数法
1.分数法是用渐近分数近似代替ω确定试点的方法，其适用于[a，b]区间上的有限试点问题，此点是区别于0.618法的关键点.
2.分数法的最优性
2次试验可以最多处理2个试点问题；
3次试验可以最多处理4个试点问题；
4次试验可以最多处理7个试点问题；
5次试验可以最多处理12个试点问题；
6次试验可以最多处理20个试点问题；
…
n次试验可以最多处理（Fn＋1－1）个试点问题，其中{Fn}是斐波那契数列.
例3 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入量小于50mL或大于30mL肯定不好.用150mL的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10mL.
（1）用分数法进行优选时，第一试点和第二试点分别是多少mL?
（2）最多几次便可找出试验的最佳点？
解 由题意可知，试验的最佳点处于50mL～130mL之间把区间[50，130]等分为8等份，如图所示：
（1）用
＝
代替0.618，得第一个试验点
x1＝50＋
（130－50）＝100，
x2＝50＋130－100＝80，
即前两个试点分别处于100mL和80mL处.
（2）由Fn＝8可知n＝5，故最多经过n－1＝4次便可求出试验的最佳点.
专题4 其他几种常用的优选法
其他几种常用的优选法包括对分法、盲目爬山法和分批试验法，且每种优选法都有各自的优、缺点，学习过程中应明确这几种优选法的思想，并能借助他们解决相应的优选问题.
例4 设有一优选问题，其因素范围为（2，4），每批安排2个试验.若用均匀分批试验法优选，则第一批试验的两个试点是________和________；若用比例分批试验法优选，则第一批试验的两个试点是________和________.
解析 若用均匀分批试验法优选，则先把试验范围（2，4）三等分，如图所示：
显然第一批试验的两个试点分别是
，
.
若用比例分批试验法，每批安排2个试验，应首先把试验范围7等分，如图所示：
则第一批试验的两个试点分别是
和
.
答案
专题5 多因素优选法
解决多因素优选法常用降维法，即将多因素问题转化为一系列较少因素的问题，教材中主要讲述了纵横对折法、从好点出发法、平行线法和双因素盲人爬山法，其中前三种方法是处理多因素优选问题的主要方法，由于每种优选方法均有各自的特点，学习中应注意各种优选法的区别和联系.
例5 有一优选试验，主要有两个影响因素，浓度a%～b%，流速2m/s～6m/s.试用平行线法优选.
解 设影响该试验结果的因素Ⅰ为流速，Ⅱ为浓度.因调整浓度比调整流速困难.所以首先把难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，用单因素方法对另一因素Ⅰ进行优选，确定一个最佳点，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，再用单因素法对另一因素Ⅱ进行优选，确定另一个最佳点，由两个最佳点，确定新的存优范围.在新的存优范围内继续使用平行线法，如此继续试验下去，直到找到满意的结果为止.讲末检测
一、选择题
1.下列函数在区间[－1，5]上是单峰函数的有（ ）
（1）y＝3x2＋2；
（2）y＝－x2－3x；（3）y＝cosx；（4）y＝2x.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
解析
（1）在[－1，5]上先减后增是单峰函数；
（2）在[－1，5]上单调递减，是单峰函数；（3）在[－1，5]上有最大值和最小值不是单峰函数；（4）在[－1，5]上是单调递增函数，是单峰函数.
答案 D
2.下列问题不属于优选问题的是（ ）
A.小明每天7：
00到校上课
B.每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康
C.在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远
D.荤素搭配满足什么比例时，才能使我们的饮食更合理
解析 A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而B、C、D选项，均带有一定的试验性，且试验结果随因素的变化不同.
答案 A
3.若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要（ ）
A.10分钟B.11分钟
C.12分钟D.13分钟
解析 本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯，取茶叶，故最少需要洗水壶（1分钟）＋烧开水（10分钟）＋沏茶（1分钟）共12分钟.
答案 C
4.根据生产经验，混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定搅拌的标准时间，拟用分数法从7个试验点中找出最佳点，则要做的试验次数至多为（ ）
A.3B.4
C.5D.6
解析 由于7＝8－1＝F5－1，故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点.
答案 B
5.如图，用平行线法处理双因素问题时，首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在（ ）
A.0.764B.0.236
C.0.500D.0.309
解析 因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处.
答案 B
6.下列有关优选法的叙述正确的个数有（ ）
①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；
②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；
③在优选试验中为了加快试验的进度，尽快找出最佳点，通常可采用分批试验法；
④在双因素优选试验中，对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法.
A.1B.2
C.3D.4
解析 由优选法的意义及适用范围知，①、②、③、④都正确，故选D.
答案 D
7.下列结论中正确的是（ ）
A.运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
B.在目标函数为单峰的情形，运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点
C.运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果
D.运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大
解析 运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，故A错；在目标函数为单峰的情形下，按
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