第十五章 整式乘除与因式分解全章讲学稿人教版.docx

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第十五章整式乘除与因式分解全章讲学稿人教版

15.1.1同底数幂的乘法（第一课时）

学习目标：

经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。

通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力．

学习重点：

同底数幂乘法运算性质的推导和应用．

学习过程：

一、创设情境引入新课

复习乘方an的意义：

an表示个相乘，即an=．

乘方的结果叫a叫做，n是

问题：

一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗？

二、探究新知：

探一探：

1根据乘方的意义填空

（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2（）；

（2）55×54=_________=5（）；

（3）（－3）3×（－3）2=_________________=（－3）（）；

（4）a6·a7=________________=a（）．

（5）5m·5n

猜一猜：

am·an=（m、n都是正整数）你能证明你的猜想吗？

说一说：

你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗？

同理可得：

am·an·ap=（m、n、p都是正整数）

三、范例学习：

【例1】计算：

（1）103×104；

（2）a·a3；（3）m·m3·m5；（4）xm·x3m+1（5）x·x2+x2·x

1.填空：

⑴10×109=；⑵b2×b5=；⑶x4·x=；⑷x3·x3=.

2.计算：

（1）a2·a6；

（2）（-x）·（-x）3；（3）8m·（-8）3·8n；（4）b3·（-b2）·（-b）4．

【例2】：

把下列各式化成（x+y）n或（x－y）n的形式．

（1）（x+y）4·（x+y）3

（2）（x－y）3·（x－y）·（y－x）

（3）－8（x－y）2·（x－y）（4）（x+y）2m·（x+y）m+1

四、学以致用：

1.计算：

⑴10n·10m+1=⑵x7·x5=⑶m·m7·m9=

⑷－44·44=⑸22n·22n+1=⑹y5·y2·y4·y=

2.判断题：

判断下列计算是否正确？

并说明理由

⑴a2·a3=a6（）；⑵a2·a3=a5（）；⑶a2+a3=a5（）；

⑷a·a7=a0+7=a7（）；⑸a5·a5=2a10（）；⑹25×32=67（）。

3．计算：

（1）x·x2+x2·x

（2）x2·xn+1+xn-2·x4－xn-1·x4

（3）-（-a）3·（-a）2·a5；（4）（a-b）3·（b-a）2

（5）（x+y）·（x+y）·（x+y）2+（x+y）2·（x+y）2

4.解答题：

（1）已知xm+n·xm-n=x9，求m的值．

（2）据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？

15.1.2幂的乘方（第二课时）

学习目标：

理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．

学习重点：

幂的乘方法则．

学习过程

一、情境导入

大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？

我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？

（球的体积公式为V=

r3）

二、探究新知：

探究一：

a3代表什么？

（102）3表示什么意义呢？

探究二：

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律？

（1）（24）3==2（）

（2）（a2）3==a（）

（3）（bn）3==b（）

（4）归纳总结得出结论：

（am）n=

=a（）．

用语言叙述幂的乘方法则：

三、范例学习

【例1】计算：

（1）（103）5；

（2）（b3）4；（3）（xn）3；（4）－（x7）7．

【练习】A组：

（103）3=[（

）7]4=[（—6）3]2=

B组：

（x2）5=[（—a）2]7=—（am）3=

C组：

26·2=[（a－b）m]n=（a4）3－（a3）4=

D组：

[（x2）3]7=（x2）3·x7=x2n·（xn）2=

105·10n+1=（x+y）7·（x+y）5=－x2·x2·（x2）3+x10=

【例2】：

判断（错误的予以改正）

①a5+a5=2a10（）

②（x3）3=x6（）

③（—6）2×（—6）4=（—6）6=—66（）

④x7+y7=（x+y）7（）

⑤[（m－n）3]4—[（m－n）2]6=0（）

【例3】①若（x2）m=x8，则m=②若[（x3）m]2=x12，则m=

③若xm·x2m=2，则x9m=④若a2n=3，则（a3n）4=

⑤已知am=2,an=3,求a2m+3n的值。

自主检测

幂的乘方，底数________，指数_______．用公式表示（am）n=_______（m，n为正整数）．

1．下面各式中正确的是（）．

A．（22）3=25B．m7+m7=m14C．x2·x3=x5D．a6－a2=a4

2．（x4）5=（）．A．x9B．x45C．x20D．以上答案都不对

3．－a2·a+2a·a2=（）．A．a3B．－2a6C．3a3D．－a6

4．

（1）（x5）3=_______，

（2）（a2）4=______（3）（－y4）2=______，（4）（a2n）3=______．

5．（a6）2=______，（－a3）3=_______，（－102）3=_______．

6．[（2a－b）3]3=_________，[（2x－3y）2]2=_______．－[（m－n）4]3=_______．

7．a12=（）6=（）4=（）3=（）2．

8．（－a3）5·（－a2）3=_______．

9．3（a2）3－2（a3）2=_______．

10．若27a=32a+3，则a=________．

11．若a2n=3，则a6n=_______．

12．若（

）n=

，则n=_______．

13．若2n+3=64，则n=_______．

14．计算：

（1）x3·x5·x+（x3）2·x3+4（x6）2;

（2）－2（a3）4+a4·（a4）2．

15．已知：

52×25x=625，求x的值．

16．已知A=355，B=444，C=533，试比较A，B，C的大小．（用“<”连接）

17．若2m=5，2n=6，求2m+n，22m+3n的值．

15.1.3积的乘方（第三课时）

学习目标：

1．通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义．

2．积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．

学习重点：

积的乘方的运算．

学习方法：

采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．

学习过程：

一、情境引入：

计算：

（1）（x4）3=

（2）a·a5=（3）x7·x9（x2）3=

二、探索新知

活动：

参考（2a3）2的计算，说出每一步的根据。

再计算（ab）n。

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（aa）·（bb）=

（2）（ab）3===

（3）（2a3）2===

猜测并证明：

（ab）n=（n是正整数）．

用语言叙积的乘方法则：

同理得到：

（abc）n=（n是正整数）．

三、范例学习

【例1】计算：

⑴

⑵

⑶

⑷

1.计算：

（1）（2b）3；

（2）（－5a）3（3）（2x2y3）2；（4）（－3x）4．

2.下面计算对不对？

如果不对，应怎样改正？

⑴

；⑵

；⑶

⑷

【例2】计算：

⑴

⑵（－8）2011×（－0.125）2010

3.用简便方法计算下列各题．

（1）（－

）2008·（

）2008

（2）（－8）2006×（－

）2005

【例3】计算：

⑴

⑵

自主检测：

积的乘方，等于．

用公式表示：

（ab）n=_______（n为正整数）．

1．填空：

（1）（－2）2·（－2）3=；

（2）（－a5）5=；（3）（－2xy）4=；

（4）（3a2）n=；（5）（x4）6－（x3）8=；（7）；－p·（－p）4=（8）（tm）2·t=．

2．下面各式中错误的是（）．

A．（24）3=212B．（－3a）3=－27a3C．（3xy2）4=81x4y8D．（3x）2=6x2

3.如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（）

A．m=9，n=4B．m=3，n=4C．m=4，n=3D．m=9，n=6

4．计算：

a6·（a2b）3的结果是（）

A．a11b3B．a12b3C．a14bD．3a12b4．

5．42×8n=6.若x3=－8a6b9，则x=_______．

7．计算：

（1）（－ab）2

（2）（x2y3）4（3）（2×103）2（4）（－2a3y4）3

8．已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值．9.已知：

am=2，bn=3，求a2m+b3n的值．

10.计算：

（－0.125）12×（－1

）7×（－8）13×（－

）9．

15.1.4单项式乘以单项式（第四课时）

学习目标：

理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．

学习重点：

单项式乘法运算法则的推导与应用．

学习过程

一、问题：

如图，把6个长为a，宽为b的长方形拼在一起，那么大长方形

的面积是多少呢？

你能用两种方法表示吗？

①；②

你会用我们所学的知识说明从等式左边推导到等式右边的过程吗?

二、探索新知

探索一：

计算下列式子的结果，并与同学交流你的做法：

⑴3a2·2a3⑵-3m2·2m4⑶x2y3·4x3y2（4）2a2b3·3a3

通过以上探究总结单项式与单项式相乘的运算法则：

单项式与单项式相乘的运算法则：

三、范例学习

例1计算：

（1）（-5a2b）·（-3a）;

（2）（2x）3·（-5xy2）.（3）

练习课本P145练习1、2

例2光的速度约为

米/秒，太阳光照射到地球上的时间大约是

秒，求地球与太阳的距离约为多少千米？

3.计算：

⑴（

）×（

）×（

）；⑵

例3计算：

⑴

；⑵

⑶

自主检测

1．下列计算中，正确的是（）

A．2a3·3a2=6a6B．4x3·2x5=8x8C．2x·2x5=4x5D．5x3·4x4=9x7

2．下列计算：

①a5+3a5=4a5②2m2·m4=2m8③2a3b4（-ab2c）2=-2a5b8c2④（-7x）·x2y=-7x3y中，正确的有（）个。

A．1B．2C．3D．4

3．如果单项式-3x4a-by2与x3ya+b是同类项，那么这两个单项式的积是（）

A．3x6y4B．-3x3y2C．3x3y2D．-3x6y4

4．已知am=2，an=3，则am+n=_________；a2m+3n=_________．

5．下面的计算对不对？

如果不对，怎样改正？

（1）4a2•2a4=8a8

（2）6a3•5a2=11a5（3）（-7a）•（-3a3）=-21a4（4）3a2b•4a3=12a5。

6．计算：

（1）-5a3b2c·3a2b；

（2）（－2xy2）（3x2y）；（3）（－

m2n3t）（－25mnt2）；

（4）x3y2·（-xy3）2；（5）（-9ab2）·（-ab2）2；（6）（2ab）3·（-a2c）2；

7．①已知

，求m、n的值。

②若x3n=2,求2x2n·x4n+x4n·x5n的值。

15.1.5单项式与多项式相乘（第五课时）

学习目标：

通过尝试，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．

学习重点：

单项式与多项式相乘的法则．

学习过程：

一、知识回顾

计算：

（1）（－3x）·（－x）=

（2）（－5x）·（3x）2=（3）

xy·

xy2=

（4）－5m2·（－

mn）=（5）－

x4y6－2x2y·（－

x2y5）=

二、探究新知：

问题1：

请同学们观察如图所示的大长方形，试用代数式表示大长方形的面积？

问题2：

冬天已经来临，某公司在三家连锁店以相同价格n（单位：

元／台）销售A牌电暖器，他们在一个月内的销售量（单位：

台）分别是x，y，z，请你采用两种不同的方法计算该公司在这一个月内销售这种电暖风的总收入？

问题3：

根据以上两个问题的探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？

单项式与多项式的乘法运算法则：

三、范例学习

例1计算：

⑴a（1+b-b2）⑵2a2·（3a2-5b）⑶（－2a2）·（3ab2－5ab3）．

练习课本P146练习1、2

例2化简求值：

，其中

。

3.先化简再求值．

⑴x2（x2－x－1）－x（x2－3x），其中x=－2．

⑵（2xy）2（x2－y2）－（－3xy）3+9x2y4－9x4y2，其中x=－1，y=1．

例3解方程：

8x（5－x）=19－2x（4x－3）

自主检测

1．计算：

（3×105）（2×106）－3×102×（103）3=_______

2．要使

的结果中不含

项，则

等于

3．下列各式计算中，正确的是（）．

A．（2x2－3xy－1）（－

x2）=x4－

x3y+

x2B．（－x）（x－x2+1）=－x2+x3+1

C．（

xn－1－

xy）·2xy=

xny－x2y2D．（5xy）2·（－x2－1）=－5x2y2－5x2y2

4．计算：

⑴（3xy2－5x2y）·（－

xy）；⑵an·（am－a2－1）；⑶5x2（2x2－3x3+8）

5.拓展：

一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？

如果某种地砖的价格是a元/米，那么购买所需地砖至少要多少元？

15.1.6多项式与多项式相乘（第六课时）

学习目标：

理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．

学习重点：

多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．

学习过程：

一、创设情境

我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，请口算下列练习中的

（1）、

（2）：

（1）3x（x+y）=；

（2）（a+b）k=；（3）（a+b）（m+n）=？

比较（3）与

（1）、

（2）在形式上有何不同？

如何进行多项式乘以多项式的计算呢？

这就是我们本节课所要研究的问题．

二、探索新知：

问题1：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积吗？

不同表示方法之间有什么关系？

问题2：

请同学们认真观察上述等式的特征，讨论并回答如何用文字语言叙述多项式的乘法法则？

多项式与多项式相乘，

字母表示为：

三、范例学习：

例1：

计算

（1）（a+4）（a+3）

（2）（3x－1）（2x+1）（3）（x－3y）（x+7y）

（4）（x+2y）2（5）（3x+y）（3x－y）（6）（x+y）（x2－xy+y2）

练习1课本P148练习1、2

例2计算：

（1）n（n+1）（n+2）

（2）

（3）8x2－（x－2）（3x+1）

练习2计算：

（1）（3a2+2）（4a+1）

（2）（5m+2）（4m2-3）（3）2（a－4）（a+3）－（2a+1）（a－3）

例3先化简，再求值：

（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．

练习3先化简，再求值（x－2y）（x+3y）－2（x－y）（x－4y），其中x=－1，y=2．

自主检测：

1．判断题：

（1）（a+b）（c+d）=ac+bd；（）

（2）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（）

（3）（a-b）（c-d）=ac-bd；（）（4）（a-b）（c-d）=ac+ad+bc-ad．（）

1．下列各式计算中，正确的是（）．

A．（x－1）（x+2）=x2－3x－2B．（a－3）（a+2）=a2－a+6

C．（x+4）（x－5）=x2－20x－1D．（x－3）（x－1）=x2－4x+3

2．计算（5x+2）（2x－1）的结果是（）．

A．10x2－2B．10x2－x－2C．10x2+4x－2D．10x2－5x－2

3．计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）2x-1）（4x2+2x+1）

5.2.1平方差公式（第七课时）

学习目标：

经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单计算．

学习重点：

平方差公式的推导和运用

学习过程

一、知识回顾：

计算：

⑴（x－3）（x+7）⑵（2a+5b）（3a－2b）⑶（m－n）（m2+mn+n2）

二、探索新知：

计算：

（1）（x+2）（x－2）；

（2）（1+3a）（1－3a）；

（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．

观察以上算式及运算结果，请你猜测：

=，并证明。

用语言叙述规律：

。

体现的数学思想是从特殊到一般的归纳证明。

【特殊→归纳→猜想→验证→用数学符号表示】

三、范例学习

平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，一切就变得容易了．

例1运用平方差公式计算：

（1）（2x+3）（2x－3）；

（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．

练习1.下面的计算对不对？

如果不对，怎样改正？

（1）（x+2）（x-2）=x2-4（）

（2）（3x+2）（3x-2）=3x2-4（）（3）（-2x-3）（2x+3）=4x2-9（）

2.计算：

⑴（a+5）（a-5）⑵（4x+2y）（4x-2y）⑶（-3x+2）（3x+2）⑷（x2+2）（x2-2）

例2计算：

（1）103×97

（2）（a－b）（a+b）（a2+b2）；（3）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）

练习3.计算：

⑴201×199⑵

⑶（-a-1）（1-a）-（a+3）（a-3）；

自主检测

知识要点：

1．平方差公式：

两个数的与这两个数的积，等于它们的．

即：

（a+b）（a-b）=．公式结构为：

（□+△）（□-△）=

2．公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符号公式的结构特征，就可以用这个公式（要注意公式的逆用）．

1.填空：

⑴（x－y）（x+y）=；⑵（3x－2y）（3x+2y）=．

⑶（）（_3a+2b）=9a2－4b2；⑷（3x-y）·（_______）=9x2-y2。

2.计算（1-m）（-m-1），结果正确的是（）

A．m2-2m-1B．m2-1C．1-m2D．m2-2m+1

3.计算（2a+5）（2a-5）的值是（）

A．4a2-25B．4a2-5C．2a2-25D．2a2-5

4.下列计算正确的是（）

A．（x+5）（x-5）=x2-10B．（x+6）（x-5）=x2-30

C．（3x+2）（3x-2）=3x2-4D．（-5xy-2）（-5xy+2）=25x2y2-4

5.下列能用平方差公式计算是（）

A．（a+b）（-a-b）B．（a-b）（b-a）C．（b+a）（a+b）D．（-a+b）（a+b）

6.利用平方差计算．

⑴（3a+b）（3a-b）⑵（—

a-b）（

a-b）

⑶（a-b）（a2+b2）（a4+b4）（a+b）⑷（3x－4y）（4y+3x）+（y+3x）（3x－y）

7.利用平方差公式计算

⑴1003×997⑵14

×15

⑶

15.2.2.1完全平方公式（第八课时）

学习目标：

会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握完全平方公式的计算方法．形成推理能力．

学习重点：

完全平方公式的推导和应用．

学习过程

一、知识回顾：

请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：

计算：

（1）（2x－3）（2x－3）

（2）（a+1）2（3）（x+2）2

（4）（a-1）2（5）（m-2）2（6）（2x－4）2

二、探究新知：

【活动1】:

观察思考：

通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？

⑴要计算的式子都是形式，结果都是项，

⑵原式第一项和结果第一项有什么关系？

⑶原式第二项与结果最后一项是什么关系？

⑷结果中间一项与原式两项的关系是什么？

猜测：

（a+b）2=

（a－b）2=

验证：

请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．

⑴（a+b）2⑵（a－b）2

归纳：

完全平方公式：

（a+b）2=

（a－b）2=

语言叙述：

【活动2】：

其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P154思考中的拼图游戏说明完全平方公式吗？

三、范例学习：

例1运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

（2）（y－

）2（3）（－x－y）2；（4）（b－a）2

练习1课本P155练习1、2

例2运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

练习2计算：

⑴2012⑵972

思考：

与

相等吗？

与

相等吗？

注意：

①如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的；②如果两个数具有不同的符号，则它们乘积的2倍这一项就是．

自主检测

1．填空：

⑴（x－

）2=x2+_______+

．⑵（0.2x+_______）2=______+0.4x+__