针对训练2 图5中虚线1、2、3、4表示匀强电场的等势面．一带正电的粒子只在电场力的作用下从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示．下列说法中正确的是（ ）
图5
A．等势面1电势最低
B．粒子从a运动到b，动能减小
C．粒子从a运动到b，电势能减小
D．粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和减小
答案 C
解析 由图可知电场力的方向，由于粒子带正电，所以电场线方向从左向右，则等势面1的电势最高，故A错误；粒子从a运动到b，电场力做正功，动能增加，电势能减小，故B错误，C正确；粒子仅在电场力作用下做功，所以此过程中电势能与动能之和不变，故D错误．
四、电势、电势能、电场力做功的综合分析
例4 如图6所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为
.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差．
图6
答案
mgh －
解析 因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解．
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：
静电力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：
W＋mgh＝
mv
代入已知条件vB＝
得静电力做功
W＝
m·3gh－mgh＝
mgh
由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝
mgh.
因为U＝
＝
由于φA＜φC，所以UAC＝－
.
计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
（1）利用电场力做功与电势能的关系求解：
WAB＝EpA－EpB.
（2）利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场.
（3）利用公式WAB＝qUAB求解.
（4）利用动能定理求解.
1.某同学在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹（如图7中实线所示），图中未标明方向的一组虚线可能是电场线，也可能是等势面，则下列说法不正确的是（ ）
图7
A．如果图中虚线是电场线，电子由a点运动到b点，动能减小，电势能增大
B．如果图中虚线是等势面，电子由a点运动到b点，动能增大，电势能减小
C．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电场强度都大于b点的电场强度
D．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电势都高于b点的电势
答案 D
解析 电子做曲线运动，它受到的静电力方向指向轨迹的凹侧．如果虚线是电场线，电子受到静电力的方向沿电场线向左，由a点运动到b点，静电力做负功，动能减小，电势能增大，A正确；若虚线是等势面，电场线与等势面垂直，即电子受到的静电力方向也与等势面垂直，方向指向斜下方，电子由a点运动到b点，静电力做正功，动能增大，电势能减小，电势升高，B正确，D错误；因为等势面密集处电场线也密集，题图中虚线无论是电场线还是等势面，a处都较密集，所以a点的电场强度大于b点的电场强度，C正确．
2．如图8所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有电势的数值．一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C.下列判断正确的是（ ）
图8
A．粒子一定带负电
B．A处场强大于C处场强
C．粒子在A处电势能大于在C处电势能
D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功
答案 B
解析 根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电．故A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，A处场强大于C处场强，故B正确；从A点运动到C点，电场力方向与速度的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，故C错误；根据W＝Uq知电势差相同，电场力做功相同，故D错误．
3.如图9所示，一带电粒子在两个固定的等量正电荷的电场中运动，图中的实线为等势面，虚线ABC为粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上．下列说法正确的是（ ）
图9
A．该粒子可能带正电
B．该粒子经过B点时的速度最大
C．该粒子经过B点时的加速度不为零
D．该粒子在B点的电势能小于在A点的电势能
答案 D
解析 从该粒子的运动轨迹看，固定电荷对它有吸引力，由固定电荷带正电可知，该粒子一定带负电，故A错；因为粒子从A到B的过程中，只受电场力且电场力先做正功后做负功，由动能定理知：
动能先增加后减小，故粒子经过B点时的动能不是最大，则经过B点时的速度不是最大，故B错；B点是两点电荷连线的中点，合场强为零，故粒子此处受力为零，则加速度为零，C错误，因为离正电荷越远，电势越低，则φA<φB，因粒子带负电，由Ep＝qφ得，EpA>EpB，故D正确．
4.如图10所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远处以初速度v0射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心，Ra、Rb、Rc为半径画出的三个圆，Rc－Rb＝Rb－Ra.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点．以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则（ ）
图10
A．|W12|＝2|W34|
B．|W12|>2|W34|
C．P、O两电荷可能同号，也可能异号
D．P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零
答案 B
解析 因为Rb－Ra＝Rc－Rb，且Ec2|U34|，即|W12|>2|W34|，故B项正确，A项错；从点电荷P的运动轨迹可知，P、O两电荷一定异号，故C项错；如果P的初速度方向的延长线与O之间的距离为零，则P电荷的轨迹为一条直线，故D错.
一、选择题（每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.如图1所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5V、φb＝3V．下列说法正确的是（ ）
图1
A．该电场在c点处的电势一定为4V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a
答案 C
解析 由于无法确定该电场是否为匀强电场所以无法确定a、b、c处场强的大小关系及c点处的电势，所以A、B错；正电荷运动到c点受力方向为由c指向b，故D错．
2.如图2所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20eV，运动到b点的动能为2eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6eV时，它的动能为（不计重力和空气阻力）（ ）
图2
A．16eVB．14eV
C．6eVD．4eV
答案 B
解析 设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别根据动能定理得：
－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：
Ekc＝
（Eka＋2Ekb）＝
（20＋2×2）eV＝8eV.因为c点电势为0，所以小球在c点时的电势能为0，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8eV，所以当小球的电势能为－6eV时，它的动能为14eV.
3.如图3所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q为这条轨迹上先后经过的两个点，由此可知（ ）
图3
A．三个等势面中，a电势最高
B．质点在Q点时，动能较大
C．带电质点通过P点时动能较大
D．质点通过Q时电势能较小
答案 C
解析 根据等势线与电场线的关系，可知电场线必处处与等势线垂直；由带正电质点的轨迹的弯曲方向，可知电场线方向如图所示．
由图可知，电场强度EQ＞EP，电势φc＞φb＞φa，EpQ＞EpP.因此A、D错误；由能量守恒可知，当质点通过P点时，动能较大，所以C正确，B错误．
4.一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图4中虚线表示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，下列说法正确的是（ ）
图4
A．油滴带正电B．电势能增加
C．动能增加D．重力势能和电势能之和增加
答案 C
解析 由题图的轨迹可知静电力大于重力且方向向上，由电场方向知油滴带负电，则从a到b静电力做正功，电势能减少，又静电力做的功大于克服重力做的功，所以动能增加，由能量守恒定律知重力势能和电势能之和减少，所以选项C正确．
5．（台州市六校2015～2016学年度高二第二学期期中考试）在x轴上关于原点O对称地放置一对等量的异种点电荷，a点位于O与＋Q之间，b点位于y轴上，如图5所示．下列说法正确的是（ ）
图5
A．a、b两点的场强方向不同
B．a点的场强小于b点的场强
C．将负的试探电荷从O点移到b点，电势能逐渐增大
D．将正的试探电荷从O点移到b点，电场力逐渐减小
答案 D
解析 根据场强叠加可知a、b两点的场强方向都是水平向右的，选项A错误；根据等量异种点电荷电场分布规律可知a点场强大于O点场强，O点场强大于b点场强，所以a点场强大于b点场强，选项B错误；O点电势与b点电势相等，同一负电荷在O、b两点电势能相等，选项C错误；O点场强大于b点场强，正试探电荷由O点移到b点，电场力逐渐变小，选项D正确．
6.图6中A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20cm.把一个电荷量q＝10－5C的正电荷从A移到B，电场力做功为零，从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3J．则该匀强电场的场强大小和方向是（ ）
图6
A．865V/m，垂直AC向左B．865V/m，垂直AC向右
C．1000V/m，垂直AB斜向上D．1000V/m，垂直AB斜向下
答案 D
解析 把电荷q从A移到B电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上．因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于等势面，可见，选项A、B错误；UBC＝
＝－173V，B点电势比C点低173V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，场强大小E＝1000V/m.选项D正确．
7.如图7，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则（ ）
图7
A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案 B
解析 电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点到Q点过程中，WMQ＝q（φM－φQ）＝0，电子由P点到Q点过程中，WPQ＝q（φP－φQ）＞0，故C、D错误．
8.一带电粒子沿图8中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则（ ）
图8
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析 由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
9.如图9所示，虚线为某点电荷电场的等势面，现有两个重力可忽略不计的带电粒子，其比荷相同，二者以相同的速率从同一等势面的a点进入电场后沿不同的轨迹1和2运动，图中a、b、c、d、e是粒子轨迹与各等势面的交点，则可以判断（ ）
图9
A．两个粒子的电性相同
B．经过b、d两点时，两粒子的速率相等
C．经过b、d两点时，两粒子的加速度大小相等
D．经过c、e两点时，两粒子的电势能相等
答案 C
解析 由图可知电荷1受到中心电荷的斥力，而电荷2受到中心电荷的引力，故两粒子的电性一定不同，故A错误．电荷1受到中心电荷的斥力，a到b的过程电场力做负功；而电荷2受到中心电荷的引力，a到d的过程电场力做正功，所以两粒子在b、d两点的速率不相同，故B错误．两粒子经过b、d两点时，受到库仑力作用，由牛顿第二定律可知，两粒子的加速度大小相同，故C正确．两个粒子的初速度仅仅是方向不同，但速率相等，而粒子1从a到c、粒子2从a到e电场力做功均为零，则经过c、e两点两粒子的速率相等．但电荷量大小不一定相等，故两粒子的电势能无法判断，故D错误．
10．（2015～2016杭州地区重点中学高二第二学期期中考试）如图10所示，半圆形的绝缘光滑轨道放置在竖直平面内，最低点为P，圆心为O，两个带负电的点电荷a和b分别位于水平直径的两端点N、M.现在把点电荷b固定，让点电荷a从静止释放，点电荷a沿轨道滑过最低点P后继续运动到某一点速度变为0，则对点电荷a，下列说法不正确的是（ ）
图10
A．从释放到速度减小到0，库仑力逐渐增大
B．从释放到速度减小到0，重力和库仑力的合力一直在增大
C．从最低点到速度减小到0的过程，动能减少量小于电势能增加量
D．从释放到最低点的过程，速率先增大后减小
答案 C
解析 从释放到速度减小到0的过程中，两个点电荷的距离逐渐减小，由库仑定律可知库仑力逐渐增大，选项A正确；从释放到速度减小为0的过程中，重力不变，库仑力逐渐增大，且重力与库仑力的夹角逐渐减小，可得重力和库仑力的合力一直在增大，选项B正确；从最低点到速度减小到0的过程中，由能量守恒可知动能的减少量等于重力势能与电势能的增加量，选项C错误；因为从N点静止释放，所以速率必定先增大，到P点时，重力的方向竖直向下，支持力的方向竖直向上，库仑力方向斜向右下方，有竖直向下和水平向右的分量，所以速率必定在减小，所以从释放到最低点的过程中，速率必定是先增大后减小，选项D正确．
二、非选择题
11．匀强电场的场强为40N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9kg、带电荷量为－2×10－9C的微粒从A点移到B点，电场力做了1.5×10－7J的正功．求：
（1）A、B两点间的电势差UAB；
（2）A、B两点间的距离；
（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度．
答案
（1）－75V
（2）1.875m （3）5
m/s，方向与电场线同向
解析
（1）WAB＝UAB·q
UAB＝
＝
V＝－75V.
（2）由题意知：
场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝
＝
m＝1.875m.
（3）由动能定理有WAB＝
mv
－
mv
解得vB＝5
m/s，方向与电场线同向．
12.如图11所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面．现将电荷量为10－8C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6J，将另一电荷量为10－8C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6J．若AB边长为2
cm，则电场强度的大小为多大？
方向如何？
图11
答案 104V/m 方向垂直B、C连线，由A指向BC
解析 正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得：
UAB＝
＝
V＝300V.
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得：
UAC＝
＝
V＝300V.
因此B、C两点电势相等，UBC＝0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC.设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D.直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得：
E＝
＝
V/m＝104V/m.
13.如图12所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2
.求：
图12
（1）小球滑到C点时的速度大小；
（2）若以C点作为零电势点，试确定A点的电势．
答案
（1）
（2）
解析
（1）因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·
＝
－
解得vC＝
.
（2）小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝
，又根据电场力做功与电势能的关系：
W电＝EpA－EpC＝－qφA－（－qφC）．
又因为φC＝0，
可得φA＝
.
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