历年高考数学真题全国卷版.docx
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历年高考数学真题全国卷版
（大纲全国卷）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2013大纲全国，理1）设集合A={1,2,3},B={4,5},M{x[x=a+b,aSA,b£B},则M中元素的个数为（）.
A.3B.4C.5D.6
2.（2013大纲全国，理2）（1+T3i）3=（）.
A.—8B.8C.—8iD.8i
3.（2013大纲全国，理3）已知向量m^（入+1,1）,n=（入+2,2）,若（m^
n）±（nn-n）,则入=（）.
A.-4B.—3C.—2D1
4.（2013大纲全国，理4）已知函数f（x）的定义域为（一1,0）,则函数f（2x+1）的定义域为（）.
A.（-1,1）B
1,：
C.（-1,0）D
:
1
5.（2013大纲全国，理5）函数f（x）=iog21-（x>0）的反函数fT（x）=x
（）.
11
xx__
A.21（x>0）B,21（x^0）C.2x—1（x6R）D.2x
-1（x>0）
6.（2013大纲全国，理6）已知数列｛an｝满足3an+ian=0,a2=4则｛an｝
3的前10项和等于（）.
1
A.—6（1—3—10）B.9（1—310）C.3（1-3-10）
D.3（1+3—10）
7.（2013大纲全国，理7）（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）.
A.56B.84C.112D.168
22
8.（2013大纲全国，理8）椭圆C:
-工=1的左、右顶点分别为A,A,点
43
P在C上且直线PA斜率的取值范围是[—2,—1],那么直线PA斜率的取值范围是（）.
13331d31
,,,1
A.24B.84C.2D,4
9.（2013大纲全国，理9）若函数f（x）=x2+ax+在1,是增函数，则ax2
的取值范围是（）.
A.[-1,0]B.[T,+•C.[0,3]D.[3,+8）
10.（2013大纲全国，理10）已知正四棱柱ABCDABCD中，AA=2AB则
CD与平面BDO成角的正弦值等于（）.
23.21
A.3B.3C,3D,3
11.（2013大纲全国，理11）已知抛物线C:
y2=8x与点M—2,2）,过C的uuuruuur一.
焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB0,则k=（）.
C.f（x）的最大值为2D.f（x）既是奇函数，又是
周期函数
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.（2013大纲全国，理13）已知a是第三象限角，sina=1,则
3
cota=.
14.（2013大纲全国，理14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）
x0,
15.（2013大纲全国，理15）记不等式组x3y4,所表示的平面区域为
3xy4
D.若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是.
16.（2013大纲全国，理16）已知圆。
和圆K是球。
的大圆和小圆，其公共弦长等于球。
的半径，OK=3,且圆。
与圆K所在的平面所成的一个二面
2
角为60°,则球O的表面积等于.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）等差数列｛an｝的前n项和为
8.已知S=a22,且S,4,0成等比数列，求｛an｝的通项公式.
18.（2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）设4ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（a+b+c）（a—b+c）=ac.
⑴求B;
⑵若sinAsinC=避」，求C4
19.（2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCDK/ABC=ZBAD=90,BG=2AD△PABffiAPAD都是等边三角形.
（1）证明：
PBilCD
（2）求二面角A—PD-C的大小.
20.（2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
2,各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.22
21.（2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）已知双曲线C:
与与=1（aab
>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为,6.
（1）求a,b；
（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点，且|AF|=|BF|,证明：
|AF|,|AB,|BE|成等比数列.
22.（2013大纲全国，理
22）（本小题满分12分）已知函数f（x）=
ln（1+x）
（1）若xno时，f（x）<0,求入的最小值;
⑵设数列｛时的通项…23L
11
一,证明：
a2n—an+—>ln2.
n4n
（大纲全国卷）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
答案：
B
解析：
由题意知x=a+b,a6A,b€B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.
2.
答案：
A
解析：
（1+73i）3=13万+3（Qi）2+（Qi）3=8.故选A.
3.
答案：
B
解析：
由（m^n）Lgn）|nf—|n|2=0（入+1）2+1—[（入+2）2+4]=0入=—3.故选B.
4.
答案：
B
解析：
由题意知—1<2x+1<0,则—12
5.
答案：
A
解析：
由题意知1+1=2yx=—1—（y>0）,
x2y1
因此fT（x）=4（x>0）.故选A.
2x1
6.
答案：
C
解析：
-,3an+1+an=0,-*-an+1=-an..二数歹！
J{an}是以-为公比的等比数
33
4.
列.•a2=-/.a〔=4.
3
10
S10=
=3（1-310）.故选C.
7.
答案：
D解析：
因为（1+x）8的展开式中x2的系数为c8,（1+y）4的展开式中y2的系数为C2,所以X2y2的系数为C8c4168.故选D.
8.
答案：
B
解析：
设P点坐标为（x°,y°）,则亡日=1,
43
032
23—x0°
।y。
।y。
不旱।।y。
403
kpA,kpA,丁kpAkpA222.
X02X02,色X0222X0244
故:
kpA——
31
4kPA2
・•.kpA26[—2,—1],
kpA3,3.故选B.
PA84
解析：
由条件知f'（x）=2x+a—4Ao在-1,上恒成立，即a」2x在
x2x
1,上恒成立.二•函数y」2X在L上为减函数，
2X22
11
九＜二匕3.-3.故选D.
2
10.
答案：
A
解析：
如下图，连结AC交BH点Q连结CO,过C作CKC1O于点H
BDAC
「BDAAi
ACIAAi
〉BD平面ACCiA二
CH平面ACCiA
CHBD
CHCiOnCHL平面CBD
BDIGO=O
・・•/HD®CDW面BDO成的角.
设AA=2AB=2,
CiO=,OC2CCi2
AC2
贝1OC=——=——，22
JV222279=372
:
2.22
由等面积法，得CO・CH=OGCC,即W2ch=及2,22
•CH=2
•・CH—
3
2
•.sinZHDC=9=三=2.故选A.
DCi3
解析：
由题意知抛物线C的焦点坐标为（2,0）,则直线AB的方程为y=k（x—2）,将其代入y2=8x,得k2x2—4（k2+2）x+4k2=0.
设A（xi,yi）,B（x2,y2）,则xi+x2=4k22,x〔x2=4.①k
y1kx12
y2k“2
uuruuir
MAMB0,
・•.（xi+2,yi—2）•（X2+2,y2—2）=0.
..（Xi+2）（X2+2）+（y1一2）（y—2）=0,
即X1X2+2（Xi+X2）+4+y1y2—2（y〔+y2）+4=0.④
由①②③④解得k=2.故选D.
12.
答案：
C
解析：
由题意知f（x）=2cos2x•sinx=2（i—sin2x）sinx.
令t=sinx,t6[—i,i],
则g（t）=2（1-t2）t=2t-2t3.
令g'（t）=2—6t2=0,得1=G3
当t=±1时，函数值为0；
当t小寸，函数值为普;
当t事寸，函数值为w.
■g（t）max=4
9
即f（x）的最大值为£3.故选C.
9
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.答案：
2版
解析：
由题意知COSa=4sin2
故COta=c0s-=2及.sin
14.答案：
480
解析：
先排除甲、乙外的4人，方法有a4种，再将甲、乙插入这4人形成的
5个间隔中，有a2种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有A4A2480（种）.
15.答案：
-,4
2
解析：
作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
•.•直线y=a（x+1）过定点q—1,0）,由图并结合题意可知kBc」，kAc=4,2
•..要使直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点，
1
贝U1c
2
16.答案：
16兀
解析：
如下图，设M时两圆的公共弦，E为MN勺中点，
则OELMNKE!
MN结合题意可知/OE£60
又MN=R..△OMNI正三角形.「.OE=-yr.
又OKLEK•-3=OE-sin60=—r—.
222
.・R=2.
•・S=4兀R=16兀.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：
设｛a｝的公差为d.
由$=a22得3a2=a22,故a2=0或32=3.
由S,S2,S成等比数列得S22=S0.
又Si=32—d,s=2sh—d,S4=4a+2d,
故（2a2—d）=（a—d）（432-p2d）.
若a2=0,则d2=—2d2,所以d=0,止匕时S=0,不合题意;
若a2=3,则（6—d）2=（3—d）（12+2d）,解得d=0或d=2.因此｛an｝的通项公式为an=3或an=2n—1.
18.
解：
（1）因为（a+b+c）（a—b+c）=ac,所以a2+c2—b2=—ac.
22.2
由余弦定理得cosB=a一c——2ac
因此B=120.
⑵由
（1）知A+O60,
所以cos（A—C=cosAcosC+sin
AsinOcosAcosC—sinAsinC+2sin
AsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=-+2"1叵,242
故A—C=30或A—C=-30
因此C=15或C=45°.
19.
⑴证明：
取BC的中点E,连结DE则ABED；正方形.
过P作POL平面ABCD垂足为O
连名OAOBODOE
由^PAB和△PADtB是等边三角形知PA=PB
=PD
所以OAOB=OD即点。
为正方形ABED寸角线的交点,
故OELBD从而PBLOE
因为。
是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE/CD因止匕PBLCD
（2）解法一：
由
（1）知CDLPBCDLPOPBHPO=P,
故CDL平面PBD
又PD平面PBD所以CDLPD
取PD的中点F,PC的中点G,连结FG
则FG//CDFG!
PD
连2^AF,由△APM等边三角形可得AF±PD
所以/AFG^二面角A-PD-C的平面角.
连名AGEG则EG/PB
又PB1AE,所以EGLAE
设AB=2,则AE=2艮EG=-pb=1,
2
故AG=.AE2EG2=3.
在△AFM,FG=-CD6，af石，AG=3,
2
所以cos/AFG=FG2AF2AG2显
2FGAF3
因此二面角A—pA加勺大小为兀arccos"解法二：
由⑴知，OEOBOPW两垂直.
以O为坐标原点，Ouu的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
uuir
艮0）,P（0,0，
设|AB|=2,则A（e,0,0）,R0,应，0）,q2点,4）.
uuu___uur__
PC=（2",小，72）,PD=（0,衣，尿）.
uuuuu
ap=（尤，0,72）,ad=（T2,短,0）.
设平面PCD勺法向量为m=（x,y,z）,则ni•Puu=
（x,y,z）•（2无，短,我）=0,
uur,、，———、一
ni,pd=（x,y,z）•（0,v2,v2）=0,
可得2x—y—z=0,y+z=0.
取y=—1,得x=0,z=1,故n1=（0,—1,1）.
设平面PAD勺法向量为n2=（mr（p,q）,则n2•AP=（m,p,q）•（72,0,72）
uuur
=0,n2・ad=（mr（p,q）•（无,72,0）=0,可得q=0,m-p=0.
取m=1,得p=1,q=—1,故作=（1,1,—1）.
于是cos〈n1，n2>=n1n2—.
m/ni3
由于〈m,n2>等于二面角A—PdC的平面角，所以二面角A-PAC的大
小为冗arccos手.
20.
解：
（1）记A表示事件“第2局结果为甲胜”，
A表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”.
则A=Ai,A.
P（A）=P（A•A）=RA）RA）=L4
（2）X的可能取值为0,1,2.
记A表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.
则P（X=0）=P（B,B2,A）=P（Bi）P（B2）,P（A）=-,P（X=2）=P（B1,B3）=8
P（B|）P（B3）=i,P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=111^,EX=0-P（X
4848
=0）+1•RX=1）+2•RX=2）=9.
8
21.
22
（1）解：
由题设知&=3,即J^=9,故b2=8a2.
aa
所以C的方程为8x2-y2=8a2.
将y=2代入上式，求得x小2
由题设知，2,a21,.6,解得a2=1.
所以a=1,b=272.
⑵证明：
由
（1）知，R（—3,0）,F2（3,0）,C的方程为8x2—y2=8.①
由题意可设l的方程为y=k（x—3）,|k<2>/2,代入①并化简得（k2—8）x2—
6k2x+9k2+8=0.
22c
设A（x1，y1），B（x2y2）则x〔w—1,x2>1x〔+x2=——x1,x2=--—
2222
k8k8
于是|AF|=，xx3^y12
={x328x128=—（3X1+1）,
|BF|=7x232~y22
=J~X2~3-^~8x22~8=3x2+1.
由|AF|=|BF|得一（3X1+1）=3X2+1,即Xi+X2=-.
3
2
故i-—，解得k=-,从而Xi,X2=一.
k28359
由于|AE|=/X―3"2一齐
=Jx1328K28=1-3X1,
IBE|=；X232y22
即x2——ln（1x）.
22x
取x』，贝u3■工＞lnk2kk1
1
2（k1）
2n1
于是a2nan
4nkn2k
=2n1^X2n'U
kn2kk1knk
=ln2n—lnn=In2.
1
所以a2nanIn2.
4n
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（全国新课标卷I）
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2013课标全国I,理1）已知集合A={x|x2—2x>0},B={x|-V5A.AnB=I0B.AUB=RC.BAD.AB
2.（2013课标全国I,理2）若复数z满足（3—4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（）.
44
A.-4B.5C.4D.5
3.（2013课标全国I,理3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）.
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样
D.系统抽样
22
4.（2013课标全国I,理4）已知双曲线C:
与与=i（a>0,bab
>0）的离心率为与,则C的渐近线方程为（）.
A.y=
11
.y=3xC.y=2x
5.（2013课标全国I,理5）执行下面的程序框图，如果输入的t6[—1,3],则输出的s属于（）.
・y
A.[-3,4]
B.[-5,2]
C.[-4,3]
D.[-2,5]
6.（2013课标全国I,理6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容
器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（）.
A.5T揄b
866北
3cm3
1372冗
2048%
C.3cm3D
3cm3
7.（2013课标全国I,理
7）设等差数列｛an｝的前n项和为若31=—2,
Sm=0,Sm^1=3,则m=（）.
A.3B.4C.5D.6
8.（2013课标全国I,理8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.
A.
16+8兀
B.
8+8兀
C.
16+16兀
D.
8+16兀
9.（2013课标全国I,理9）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a,（x+y）2"展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=（）•
A.5B.6C.7D.8
2
3=1（a>b>0）的右焦点为
2
10.（2013课标全国I,理10）已知椭圆E:
斗a
F（3,0）,过点F的直线交
E的方程为（）.
E于AB两点.
若AB的中点坐标为（1,—1）,则
22
土上=1
A.4536B
2x
36
2
E=1
27
2x
27
2
X=1
18
22
上X=1
189
11.（2013课标全国I,理11）已知函数f（x）=
x22x,xln（x1）,x
:
，若1f"ax,
则a的取值范围是（
）•
A.（…，0]B
.（—8,1]C.[-2,1]
D.[-2,0]
12.（2013课标全国I,
理12）设的三边长分别为an,E,cn,△ARG
的面积为Sn,n=1,2,3,•••.若b1>C1,b〔+C1=2a1,
an+1=an,bn+1=———,2
Cn+1=
bn—an，则（）.
2
A.
｛Sn｝为递减数列
.｛Sn｝为递增数列
C.
数列，
D.{S2n—1}为递减
｛S2n—1｝为递增数列，｛S2n｝为递减数列
｛S2n｝为递增数列
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题〜第（21）题为必考题，每个试题
考生都必须做答.第（22）题〜第（24）题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.（2013课标全国I,理13）已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+（1—t）b.若b•c=0,则t=.
21
Sn-anJ
14.（2013课标全国I,理14）若数列｛an｝的前n项和33，则｛an｝
的通项公式是an.
15.（2013课标全国I,理15）设当
x取得最大值，则cos0=
x=0时，函数f（x）=sinx—2cos
16.（2013课标全国I,理16）若函数f（x）=（1—x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=—2对称，则f（x）的最大值为.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（2013课标全国I,理17）（本小题满分12分）如图，在△ABC\/ABC
90,AB=&BC=1,P为△ABC内一点，/
（1）若PB=1,求PA
2
90.
⑵若/APB=150,求tan/PBA
18.（2013课标全国I,理
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