历年高考数学真题全国卷版.docx
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历年高考数学真题全国卷版
(大纲全国卷)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M{x[x=a+b,aSA,b£B},则M中元素的个数为().
A.3B.4C.5D.6
2.(2013大纲全国,理2)(1+T3i)3=().
A.—8B.8C.—8iD.8i
3.(2013大纲全国,理3)已知向量m^(入+1,1),n=(入+2,2),若(m^
n)±(nn-n),则入=().
A.-4B.—3C.—2D1
4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(一1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().
A.(-1,1)B
1,:
C.(-1,0)D
:
1
5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=iog21-(x>0)的反函数fT(x)=x
().
11
xx__
A.21(x>0)B,21(x^0)C.2x—1(x6R)D.2x
-1(x>0)
6.(2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an+ian=0,a2=4则{an}
3的前10项和等于().
1
A.—6(1—3—10)B.9(1—310)C.3(1-3-10)
D.3(1+3—10)
7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是().
A.56B.84C.112D.168
22
8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:
-工=1的左、右顶点分别为A,A,点
43
P在C上且直线PA斜率的取值范围是[—2,—1],那么直线PA斜率的取值范围是().
13331d31
,,,1
A.24B.84C.2D,4
9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+在1,是增函数,则ax2
的取值范围是().
A.[-1,0]B.[T,+•C.[0,3]D.[3,+8)
10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCDABCD中,AA=2AB则
CD与平面BDO成角的正弦值等于().
23.21
A.3B.3C,3D,3
11.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:
y2=8x与点M—2,2),过C的uuuruuur一.
焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB0,则k=().
C.f(x)的最大值为2D.f(x)既是奇函数,又是
周期函数
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013大纲全国,理13)已知a是第三象限角,sina=1,则
3
cota=.
14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)
x0,
15.(2013大纲全国,理15)记不等式组x3y4,所表示的平面区域为
3xy4
D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.
16.(2013大纲全国,理16)已知圆。
和圆K是球。
的大圆和小圆,其公共弦长等于球。
的半径,OK=3,且圆。
与圆K所在的平面所成的一个二面
2
角为60°,则球O的表面积等于.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为
8.已知S=a22,且S,4,0成等比数列,求{an}的通项公式.
18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设4ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a—b+c)=ac.
⑴求B;
⑵若sinAsinC=避」,求C4
19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCDK/ABC=ZBAD=90,BG=2AD△PABffiAPAD都是等边三角形.
(1)证明:
PBilCD
(2)求二面角A—PD-C的大小.
20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
2,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.22
21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:
与与=1(aab
>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为,6.
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF|=|BF|,证明:
|AF|,|AB,|BE|成等比数列.
22.(2013大纲全国,理
22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=
ln(1+x)
(1)若xno时,f(x)<0,求入的最小值;
⑵设数列{时的通项…23L
11
一,证明:
a2n—an+—>ln2.
n4n
(大纲全国卷)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:
B
解析:
由题意知x=a+b,a6A,b€B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.
2.
答案:
A
解析:
(1+73i)3=13万+3(Qi)2+(Qi)3=8.故选A.
3.
答案:
B
解析:
由(m^n)Lgn)|nf—|n|2=0(入+1)2+1—[(入+2)2+4]=0入=—3.故选B.
4.
答案:
B
解析:
由题意知—1<2x+1<0,则—12
5.
答案:
A
解析:
由题意知1+1=2yx=—1—(y>0),
x2y1
因此fT(x)=4(x>0).故选A.
2x1
6.
答案:
C
解析:
-,3an+1+an=0,-*-an+1=-an..二数歹!
J{an}是以-为公比的等比数
33
4.
列.•a2=-/.a〔=4.
3
10
S10=
=3(1-310).故选C.
7.
答案:
D解析:
因为(1+x)8的展开式中x2的系数为c8,(1+y)4的展开式中y2的系数为C2,所以X2y2的系数为C8c4168.故选D.
8.
答案:
B
解析:
设P点坐标为(x°,y°),则亡日=1,
43
032
23—x0°
।y。
।y。
不旱।।y。
403
kpA,kpA,丁kpAkpA222.
X02X02,色X0222X0244
故:
kpA——
31
4kPA2
・•.kpA26[—2,—1],
kpA3,3.故选B.
PA84
解析:
由条件知f'(x)=2x+a—4Ao在-1,上恒成立,即a」2x在
x2x
1,上恒成立.二•函数y」2X在L上为减函数,
2X22
11
九<二匕3.-3.故选D.
2
10.
答案:
A
解析:
如下图,连结AC交BH点Q连结CO,过C作CKC1O于点H
BDAC
「BDAAi
ACIAAi
〉BD平面ACCiA二
CH平面ACCiA
CHBD
CHCiOnCHL平面CBD
BDIGO=O
・・•/HD®CDW面BDO成的角.
设AA=2AB=2,
CiO=,OC2CCi2
AC2
贝1OC=——=——,22
JV222279=372
:
2.22
由等面积法,得CO・CH=OGCC,即W2ch=及2,22
•CH=2
•・CH—
3
2
•.sinZHDC=9=三=2.故选A.
DCi3
解析:
由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x—2),将其代入y2=8x,得k2x2—4(k2+2)x+4k2=0.
设A(xi,yi),B(x2,y2),则xi+x2=4k22,x〔x2=4.①k
y1kx12
y2k“2
uuruuir
MAMB0,
・•.(xi+2,yi—2)•(X2+2,y2—2)=0.
..(Xi+2)(X2+2)+(y1一2)(y—2)=0,
即X1X2+2(Xi+X2)+4+y1y2—2(y〔+y2)+4=0.④
由①②③④解得k=2.故选D.
12.
答案:
C
解析:
由题意知f(x)=2cos2x•sinx=2(i—sin2x)sinx.
令t=sinx,t6[—i,i],
则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.
令g'(t)=2—6t2=0,得1=G3
当t=±1时,函数值为0;
当t小寸,函数值为普;
当t事寸,函数值为w.
■g(t)max=4
9
即f(x)的最大值为£3.故选C.
9
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:
2版
解析:
由题意知COSa=4sin2
故COta=c0s-=2及.sin
14.答案:
480
解析:
先排除甲、乙外的4人,方法有a4种,再将甲、乙插入这4人形成的
5个间隔中,有a2种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A4A2480(种).
15.答案:
-,4
2
解析:
作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
•.•直线y=a(x+1)过定点q—1,0),由图并结合题意可知kBc」,kAc=4,2
•..要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,
1
贝U1c
2
16.答案:
16兀
解析:
如下图,设M时两圆的公共弦,E为MN勺中点,
则OELMNKE!
MN结合题意可知/OE£60
又MN=R..△OMNI正三角形.「.OE=-yr.
又OKLEK•-3=OE-sin60=—r—.
222
.・R=2.
•・S=4兀R=16兀.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:
设{a}的公差为d.
由$=a22得3a2=a22,故a2=0或32=3.
由S,S2,S成等比数列得S22=S0.
又Si=32—d,s=2sh—d,S4=4a+2d,
故(2a2—d)=(a—d)(432-p2d).
若a2=0,则d2=—2d2,所以d=0,止匕时S=0,不合题意;
若a2=3,则(6—d)2=(3—d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n—1.
18.
解:
(1)因为(a+b+c)(a—b+c)=ac,所以a2+c2—b2=—ac.
22.2
由余弦定理得cosB=a一c——2ac
因此B=120.
⑵由
(1)知A+O60,
所以cos(A—C=cosAcosC+sin
AsinOcosAcosC—sinAsinC+2sin
AsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=-+2"1叵,242
故A—C=30或A—C=-30
因此C=15或C=45°.
19.
⑴证明:
取BC的中点E,连结DE则ABED;正方形.
过P作POL平面ABCD垂足为O
连名OAOBODOE
由^PAB和△PADtB是等边三角形知PA=PB
=PD
所以OAOB=OD即点。
为正方形ABED寸角线的交点,
故OELBD从而PBLOE
因为。
是BD的中点,E是BC的中点,
所以OE/CD因止匕PBLCD
(2)解法一:
由
(1)知CDLPBCDLPOPBHPO=P,
故CDL平面PBD
又PD平面PBD所以CDLPD
取PD的中点F,PC的中点G,连结FG
则FG//CDFG!
PD
连2^AF,由△APM等边三角形可得AF±PD
所以/AFG^二面角A-PD-C的平面角.
连名AGEG则EG/PB
又PB1AE,所以EGLAE
设AB=2,则AE=2艮EG=-pb=1,
2
故AG=.AE2EG2=3.
在△AFM,FG=-CD6,af石,AG=3,
2
所以cos/AFG=FG2AF2AG2显
2FGAF3
因此二面角A—pA加勺大小为兀arccos"解法二:
由⑴知,OEOBOPW两垂直.
以O为坐标原点,Ouu的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
uuir
艮0),P(0,0,
设|AB|=2,则A(e,0,0),R0,应,0),q2点,4).
uuu___uur__
PC=(2",小,72),PD=(0,衣,尿).
uuuuu
ap=(尤,0,72),ad=(T2,短,0).
设平面PCD勺法向量为m=(x,y,z),则ni•Puu=
(x,y,z)•(2无,短,我)=0,
uur,、,———、一
ni,pd=(x,y,z)•(0,v2,v2)=0,
可得2x—y—z=0,y+z=0.
取y=—1,得x=0,z=1,故n1=(0,—1,1).
设平面PAD勺法向量为n2=(mr(p,q),则n2•AP=(m,p,q)•(72,0,72)
uuur
=0,n2・ad=(mr(p,q)•(无,72,0)=0,可得q=0,m-p=0.
取m=1,得p=1,q=—1,故作=(1,1,—1).
于是cos〈n1,n2>=n1n2—.
m/ni3
由于〈m,n2>等于二面角A—PdC的平面角,所以二面角A-PAC的大
小为冗arccos手.
20.
解:
(1)记A表示事件“第2局结果为甲胜”,
A表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.
则A=Ai,A.
P(A)=P(A•A)=RA)RA)=L4
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.
则P(X=0)=P(B,B2,A)=P(Bi)P(B2),P(A)=-,P(X=2)=P(B1,B3)=8
P(B|)P(B3)=i,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=111^,EX=0-P(X
4848
=0)+1•RX=1)+2•RX=2)=9.
8
21.
22
(1)解:
由题设知&=3,即J^=9,故b2=8a2.
aa
所以C的方程为8x2-y2=8a2.
将y=2代入上式,求得x小2
由题设知,2,a21,.6,解得a2=1.
所以a=1,b=272.
⑵证明:
由
(1)知,R(—3,0),F2(3,0),C的方程为8x2—y2=8.①
由题意可设l的方程为y=k(x—3),|k<2>/2,代入①并化简得(k2—8)x2—
6k2x+9k2+8=0.
22c
设A(x1,y1),B(x2y2)则x〔w—1,x2>1x〔+x2=——x1,x2=--—
2222
k8k8
于是|AF|=,xx3^y12
={x328x128=—(3X1+1),
|BF|=7x232~y22
=J~X2~3-^~8x22~8=3x2+1.
由|AF|=|BF|得一(3X1+1)=3X2+1,即Xi+X2=-.
3
2
故i-—,解得k=-,从而Xi,X2=一.
k28359
由于|AE|=/X―3"2一齐
=Jx1328K28=1-3X1,
IBE|=;X232y22
即x2——ln(1x).
22x
取x』,贝u3■工>lnk2kk1
1
2(k1)
2n1
于是a2nan
4nkn2k
=2n1^X2n'U
kn2kk1knk
=ln2n—lnn=In2.
1
所以a2nanIn2.
4n
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013课标全国I,理1)已知集合A={x|x2—2x>0},B={x|-V5A.AnB=I0B.AUB=RC.BAD.AB
2.(2013课标全国I,理2)若复数z满足(3—4i)z=|4+3i|,则z的虚部为().
44
A.-4B.5C.4D.5
3.(2013课标全国I,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是().
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样
D.系统抽样
22
4.(2013课标全国I,理4)已知双曲线C:
与与=i(a>0,bab
>0)的离心率为与,则C的渐近线方程为().
A.y=
11
.y=3xC.y=2x
5.(2013课标全国I,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t6[—1,3],则输出的s属于().
・y
A.[-3,4]
B.[-5,2]
C.[-4,3]
D.[-2,5]
6.(2013课标全国I,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容
器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为().
A.5T揄b
866北
3cm3
1372冗
2048%
C.3cm3D
3cm3
7.(2013课标全国I,理
7)设等差数列{an}的前n项和为若31=—2,
Sm=0,Sm^1=3,则m=().
A.3B.4C.5D.6
8.(2013课标全国I,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
A.
16+8兀
B.
8+8兀
C.
16+16兀
D.
8+16兀
9.(2013课标全国I,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2"展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()•
A.5B.6C.7D.8
2
3=1(a>b>0)的右焦点为
2
10.(2013课标全国I,理10)已知椭圆E:
斗a
F(3,0),过点F的直线交
E的方程为().
E于AB两点.
若AB的中点坐标为(1,—1),则
22
土上=1
A.4536B
2x
36
2
E=1
27
2x
27
2
X=1
18
22
上X=1
189
11.(2013课标全国I,理11)已知函数f(x)=
x22x,xln(x1),x
:
,若1f"ax,
则a的取值范围是(
)•
A.(…,0]B
.(—8,1]C.[-2,1]
D.[-2,0]
12.(2013课标全国I,
理12)设的三边长分别为an,E,cn,△ARG
的面积为Sn,n=1,2,3,•••.若b1>C1,b〔+C1=2a1,
an+1=an,bn+1=———,2
Cn+1=
bn—an,则().
2
A.
{Sn}为递减数列
.{Sn}为递增数列
C.
数列,
D.{S2n—1}为递减
{S2n—1}为递增数列,{S2n}为递减数列
{S2n}为递增数列
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题〜第(21)题为必考题,每个试题
考生都必须做答.第(22)题〜第(24)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013课标全国I,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1—t)b.若b•c=0,则t=.
21
Sn-anJ
14.(2013课标全国I,理14)若数列{an}的前n项和33,则{an}
的通项公式是an.
15.(2013课标全国I,理15)设当
x取得最大值,则cos0=
x=0时,函数f(x)=sinx—2cos
16.(2013课标全国I,理16)若函数f(x)=(1—x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=—2对称,则f(x)的最大值为.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013课标全国I,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC\/ABC
90,AB=&BC=1,P为△ABC内一点,/
(1)若PB=1,求PA
2
90.
⑵若/APB=150,求tan/PBA
18.(2013课标全国I,理