高中数学 31 直线的倾斜角与斜率教案 新人教A版必修2.docx
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高中数学31直线的倾斜角与斜率教案新人教A版必修2
2019-2020年高中数学3.1直线的倾斜角与斜率教案新人教A版必修2
3.1.1直线的倾斜角和斜率
教学目标:
知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
（2）理解直线的倾斜角的唯一性.
（3）理解直线的斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点:
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：
计算机
教学方法：
启发、引导、讨论.
教学过程：
（一）直线的倾斜角的概念
我们知道,经过两点有且只有（确定）一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?
如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
（1）它们都经过点P.
（2）它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
问:
倾斜角α的取值范围是什么?
0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时,α=90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图,直线a∥b∥c,那么它们
的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
一个点P和一个倾斜角α.
（二）直线的斜率:
一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如,α=45°时,k=tan45°=1;
α=135°时,k=tan135°=tan（180°－45°）=-tan45°=-1.
学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
（三）直线的斜率公式:
给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示:
直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.（略）
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
（4）当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
（四）例题:
例1已知A（3,2）,B（-4,1）,C（0,-1）,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线,图略）
分析:
已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.
略解:
直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.
例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.
分析:
要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解:
设直线a上的另外一点M的坐标为（x,y）,根据斜率公式有
1=（y－0）／（x－0）
所以x=y
可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为（1,1）.此时过原点和点
M（1,1）,可作直线a.
同理,可作直线b,c,l.（用计算机作动画演示画直线过程）
（五）练习:
P911.2.3.4.
（六）小结:
（1）直线的倾斜角和斜率的概念．
（2）直线的斜率公式.
（七）课后作业:
P94习题3.11.3.
（八）板书设计:
§3.1.1……
1．直线倾斜角的概念3.例1……练习1练习3
2.直线的斜率
4.例2……练习2练习4
3.1.2两条直线的平行与垂直
教学目标
（一）知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
（二）能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．
（三）学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
重点：
两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：
启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：
对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
教学过程
（一）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论:
两条直线中有一条直线没有斜率,
（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；
（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
（二）两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直
设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:
两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果L1∥L2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：
α1=α2．（借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系）
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等:
即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论:
两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出 :
α1=90°+α2．L1⊥L2．
结论:
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意:
结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定.
（借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1（或L2）转动起来,但仍保持L1⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等）.
例题
例1 已知A（2,3）,B（-4,0）,P（-3,1）,Q（-1,2）,试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
分析:
借助计算机作图,通过观察猜想:
BA∥PQ,再通过计算加以验证.（图略）
解:
直线BA的斜率k1=（3-0）/（2-（-4））=0.5,
直线PQ的斜率k2=（2-1）/（-1-（-3））=0.5,
因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.
例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0,0）,B（2,-1）,C（4,2）,D（2,3）,试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.（借助计算机作图,通过观察猜想:
四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证）
解同上.
例3已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）,Q（-2,6）,试判断直线AB与PQ的位置关系.
解:
直线AB的斜率k1=（6-0）/（3-（-6））=2/3,
直线PQ的斜率k2=（6-3）（-2-0）=-3/2,
因为k1·k2=-1所以AB⊥PQ.
例4 已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）,试判断三角形ABC的形状.
分析:
借助计算机作图,通过观察猜想:
三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.（图略）
课堂练习
P94练习1.2.
课后小结
（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；
（2）应用条件,判定两条直线平行或垂直.
（3）应用直线平行的条件,判定三点共线.
布置作业
P94习题3.15.8.
板书设计
2019-2020年高中数学3.1随机事件的概率教案新人教A版必修3
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
（2）正确理解事件A出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．
2、过程与方法：
（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；
（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
3、情感态度与价值观：
（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；
（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．
二、重点与难点：
（1）教学重点：
事件的分类；概率的定义以及和频率的区别与联系；
（2）教学难点：
用概率的知识解释现实生活中的具体问题．
三、学法与教学用具：
1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：
必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：
硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：
日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。
例如，你明天什么时间起床？
7：
20在某公共汽车站候车的人有多少？
你购买本期福利彩票是否能中奖？
等等。
2、基本概念：
（1）必然事件：
在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：
在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：
在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn（A）=为事件A出现的概率：
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：
随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
（7）似然法与极大似然法：
见课本P111
3、例题分析：
例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水份，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
答：
根据定义，事件
（1）、（4）、（6）是必然事件；事件
（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
例2某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：
事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
解：
（1）表中依次填入的数据为：
0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
小结：
概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习：
一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：
（1）表中依次填入的数据为：
0.520，0.517，0.517，0.517.
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518．
例3某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？
中10环的概率约为多大？
分析：
中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
解：
此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例4如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？
请用概率的意义解释。
分析：
买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解：
不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
分析：
这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解：
这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结：
事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结：
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习：
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（）
A．必然事件B．随机事件
C．不可能事件D．无法确定
2．下列说法正确的是（）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
xx
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：
“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。
”学了概率后，你能给出解释吗？
6、评价标准：
1．B[提示：
正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件。
]
2．C[提示：
任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.]
3．解：
（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
（2）该油菜子发芽的概率约为0.897。
4．解：
（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.
（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
5．解：
天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：
在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业：
根据情况安排
3.1.3概率的基本性质（第三课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P（A∪B）=P（A）+P（B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）
（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法：
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：
通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。
二、重点与难点：
概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。
三、学法与教学用具：
1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：
投灯片
四、教学设想：
1、创设情境：
（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：
C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论：
观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？
2、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P（A∪B）=P（A）+P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）．
3、例题分析：
例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?
哪些是对立事件?
事件A：
命中环数大于7环；事件B：
命中环数为10环；
事件C：
命中环数小于6环；事件D：
命中环数为6、7、8、9、10环.
分析：
要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：
A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P（A）=，P（B）=，求出“出现奇数点或偶数点”．
分析：
抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
解：
记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P（C）=P（A）+P（B）=+=1
答：
出现奇数点或偶数点的概率为1
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
分析：
事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P（D）=1—P（C）．
解：
（1）P（C）=P（A）+
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