随机过程习题.docx
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随机过程习题
随机过程复习
、答复:
1、什么是宽平稳随机过程？
2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？
3、窄带随机过程的相位服从什么分布？
包络服从什么分布？
4、什么是白噪声？
性质？
二、计算：
1、随机过程X（t）二Acost+Bsint，其中•’是常数，A、B是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0,E[a2]=E[b2]=匚2。
求：
X（t）的数学期望和自相关函数？
2、判断随机过程X（t^Acos（t）是否平稳？
其中•’是常数，A、'分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
a
12
f（）=02二；fA（a）歹e2二a-0
2兀CT
3、求随机相位正弦函数X（t^Acos（cr）的功率谱密度，其中A>0是常数，'为[0,2二]内均匀分布的随机变量。
4、求用X（t）自相关函数及功率谱表示的Y（t）二X（t）cos（°t）的自相关函数及谱密度。
其中，••为[0,2二]内均匀分布的随机变量，X（t）是与'相互独立的随机过程。
5、设随机过程｛X（t）=Acos（ytY）「：
t：
｝，其中「°是常数,A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间（0,2二）上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为
试证明X（t）为宽平稳过程。
解：
（1）mx⑴二E{Acos（说Y）}二E（A）E{cos（otY）}
：
x22-
2e2crdxTcos@0t+y）dy=0与t无关
（2）'-X（t）二E{X2（t）}二E{Acos（0tY）}2二E（A2）E{cos2（0tY）HE（A2）
E（A2）=，x：
j£dx=1
0a22q
:
—t
亠t2
>C2e^dt，
t
--te_^2|o':
所以'X（t）二E{X2（t）}：
：
：
：
（3）Rx（t「t2）=E{[Acos（°t!
丫）][Acos（°t2丫）]}
=E[A2]E{cos（0匕Y）cos（0t2丫）}
2兀11
=2；「2■-[cosC■ot^ot2-y）-cos，0心-tj]dy
022二
*2cos・o（t2-t1）只与时间间隔有关，所以X（t）为宽平稳过程。
6、设随机过程X（t^RtC，r（0^0，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。
（1）求X（t）的一维概率密度和一维分布函数；
（2）求X（t）的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论根底】
（1）F（x）二f（t）dt，那么f（t）为密度函数；
a
rib
（2）X（t）为（a,b）上的均匀分布，概率密度函数f（x）=」就,a"［0,其他
分布函数
（b-a）2.
12；
0,xca
x—a.ab
F（x）
~,a：
^x兰b,E（x）=~~,D（x）—
b-a2
1,xb
（3）
参数为•的指数分布，概率密度函数
f（x）=*
，x-0，分布函
0,x0
F（x）=」
弋J"，E（x）」,
0,x：
0
1
D（x—；
（4）E（x）二»D（x）「丁2的
正态分
概率密度函数
1气
f（x）：
e2；-,_:
:
:
:
:
x：
：
：
：
CTJ2兀
F（x）=1
2二
（t_J2
其为标准正态分布。
x———
e2；-dt,-：
：
:
:
x:
：
【解答】
（1）因R为［0,1］上的均匀分布,
C为常数，故X（t）亦为均匀分布。
由
0,xvCx-C
CEXECt；
1,xaC+t
R的取值范围可知，X（t）为［C,Ct］上的均匀分布，因此其一维概率密
1
度f（x）二
*2兰X兰C+t，一维分布函数F（x）=
0,其他
（2）根据相关定义，均值函数mx（t）二EX（t）」C；
2
1c
相关函数Rx（s,t）二E[X（s）X（t）]st（st）C2；
32
st
协方差函数Bx（s,t）二E{[X（s）-mx（s）][X（t）-mx（t）]}（当s=t时为方差
12
函数）
7.设随机过程X（t）二Xcos2t,t・（」：
，=）,X是标准正态分布的随机变量。
试求数学期望E（XJ，方差D（XJ，相关函数Rx（ti，t2），协方差Cx（ti，t2）。
解：
因为X（t）=Xcos2t庠严O）,X~N（0,1）EX=）DX»EX（=）,1
（1）
所以E（t=X）-E
（2）
D（Xt）=D（Xcos2t）二cos22tD（X）二cos22t,
（2）
RX（t1,t2^E[X（t1）X（t2）HE[Xcos2tXcos2t]=cos22t,
（2）
2
CX（t1,t2~Rx（t1>t2）-E（t1）E（t2）=Rx（t1,t2）=COS2t
（2）
&有随机过程｛（t）t+0）,（t）=Bsin（，t+c+J,其中A,B,■，•为实常数，。
均匀分布于[0，2二]，试求R（s,t）
1.
1.解：
f評戶莎心勿
、0,其它
_2兀1
Ryis,t二Ef・]s门t二Asin•・svBsintdr
12■:
—ABj|cosLit—s厂门cosLits'2；•亠门id-4…0_
1
ABcosFit—si亠"i,-：
：
:
:
:
s,t厂
2
9、随机过程（t）=Acos「't+“），-：
：
vt<+：
：
，其中A,•■,「是相
互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,是在［-5,5］上均匀分布
的随机变量，门是在［-二，二］上均匀分布的随机变量的平稳性和各态历经性。
2、解:
mt=E-il）-EAcosQt丨-EAECos^t:
•:
」丨
15二
=2—d■cos，td
20二.二
def
=0=m,-：
：
：
：
t；:
:
试分析（t）
Rt,t二E't；itLEAcos，t亠①AcosF：
it」
=EA?
Ebos■'t亠尬CosF：
it---1
8
20二
5-：
d■cos：
；；'「fcosiLit亠］亠门d:
_5
8
40■:
4sin5
一5
def
=R
所以具有平稳性。
1A
tlimAcos，t亠处dt_limsin，Tcos〉=0二m
T_2T_tTcoT
故均值具有各态历经性。
■:
:
〔t.卜〔t•：
=』m.一补Acost亠总AcosF：
［t亠］亠尬dt
|a
=』m.cost亠审Icosi'"it亠"广①dt
2
cos八Rt
2
故相关函数不具有各态历经性。
三、分析求证
1、随机过程X（t）二Acos（t），•为［0,2二］内均匀分布的随机变
量，A可能是常数、时间函数或随机变量。
A满足什么条件时，X（t）是
各态历经过程？
2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，
商店9：
00开门，试求：
（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；
（2）假设开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
3、解：
设顾客到来过程为｛N（t）,t>=0｝，依题意N（t）是参数为■的Poisson过程。
（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：
『1、、显
PN—=0=e2=e
'、、12丿丿
（2）
I⑵J
时仍无顾客到来可表示为N1-N+=0，从而所求概率为:
-N0=0
在开门半小时中无顾客到来可表示为N1=0，在未来半小
f
〔1、
N〔1〕—N
丄
=01N—
=0
12丿
12丿
〕
P
〔「1〕「1〕
=p]n⑴-N匸=0|N-
〔1〕
I12丿
=0=e12丿=e/
〔门〕
=PN⑴―N—
\\2丿
3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人
数。
假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程
（1）试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；
（2）在t时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女
的概率，平均有多少个女性顾客?
解：
设N〔t〕,口⑴,怡⑴分别为〔0,t〕时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。
〔1〕由，Ni〔t〕为强度-2的泊松过程，N2〔t〕为强度—3的泊松过程；
故，N〔t〕为强度，=，1「2=5的泊松过程；于是，
P〔N〔t〕二k〕=竺k=0,1,2,〔5分〕
k!
（2）
P（N2（t）=30N（t）=50）
P（N2（t）=30,N（t）=50）
P（N（t）=50）
P（N2（t）=30）P（N1（t^20）（3t）30e」/3O!
（2t）20e^t/20!
—50Z5t
P（N（t）=50）（5t）e/50!
（3t）30e't/3O!
（2t）20e2/2O!
（5t）50e』/50!
七0〔3〕30〔|〕20
55
（5分）
般地,P{N2（t）=k|N（t）=50}=c50（3）k（Z）50=k=0,1,2；,50
55
故平均有女性顾客
3
E{N2（t）|N（t）=50}=5030人
5
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