第一章13.docx

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第一章13

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲

考情考向分析

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词和存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．

（2）常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．

2．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

3．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

4．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

綈p

綈q

p或q

p且q

真

真

假

假

真

真

真

假

假

真

真

假

假

真

真

假

真

假

假

假

真

真

假

假

知识拓展

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

（1）p或q：

p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．

（2）p且q：

p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．

（3）綈p：

与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：

命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题“3≥2”是真命题．（　√　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（　√　）

（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（　×　）

（5）命题綈（p且q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　×　）

题组二　教材改编

2．已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．

3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．

答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形

题组三　易错自纠

4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，故选A.

5．下列命题中，为真命题的是（　　）

A．任意x∈R，－x2－1<0

B．存在x∈R，x2＋x＝－1

C．任意x∈R，x2－x＋

>0

D．存在x∈R，x2＋2x＋2<0

答案　A

6．若“任意x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，

∴ymax＝tan

＝1.

依题意知，m≥ymax，即m≥1.

∴m的最小值为1.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．设命题p：

函数y＝log2（x2－2x）的单调增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝

的值域为（0,1），则下列命题是真命题的为（　　）

A．p且qB．p或q

C．p且（綈q）D．綈q

答案　B

解析　函数y＝log2（x2－2x）的递增区间是（2，＋∞），

所以命题p为假命题．

由3x>0，得0<

<1，

所以函数y＝

的值域为（0,1），

故命题q为真命题．

所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且（綈q）为假命题，綈q为假命题．故选B.

2．（2017·山东）已知命题p：

任意x＞0，ln（x＋1）＞0；命题q：

若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是（　　）

A．p且qB．p且（綈q）

C．（綈p）且qD．（綈p）且（綈q）

答案　B

解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln（x＋1）＞ln1＝0.

∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，

此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．

∴p且q为假命题，p且（綈q）为真命题，（綈p）且q为假命题，（綈p）且（綈q）为假命题．故选B.

3．已知命题p：

若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：

在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：

①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④（綈p）或（綈q）为假．

其中，正确的是________．（填序号）

答案　②

解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p，q的真假；

（3）确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

典例（2017·韶关南雄二模）下列命题中的假命题是（　　）

A．任意x∈R,2x－1>0B．任意x∈N＋，（x－1）2>0

C．存在x∈R，lgx<1D．存在x∈R，tanx＝2

答案　B

解析　当x∈N＋时，x－1∈N，可得（x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.

命题点2　含一个量词的命题的否定

典例

（1）命题“任意x∈R，

x＞0”的否定是（　　）

A．存在x∈R，

x＜0B．任意x∈R，

x≤0

C．任意x∈R，

x＜0D．存在x∈R，

x≤0

答案　D

解析　全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．

（2）（2017·河北五个一名校联考）命题“存在x∈R,1＜f（x）≤2”的否定形式是（　　）

A．任意x∈R,1＜f（x）≤2

B．存在x∈R,1＜f（x）≤2

C．存在x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2

D．任意x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2

答案　D

解析　特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”．

思维升华

（1）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练

（1）下列命题中的真命题是（　　）

A．存在x∈R，使得sinx＋cosx＝

B．任意x∈（0，＋∞），ex>x＋1

C．存在x∈（－∞，0），2x<3x

D．任意x∈（0，π），sinx>cosx

答案　B

解析　∵sinx＋cosx＝

sin

≤

<

，故A错误；设f（x）＝ex－x－1，则f′（x）＝ex－1，

∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又f（0）＝0，

∴任意x∈（0，＋∞），f（x）>0，

即ex>x＋1，故B正确；

当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；∵当x∈

时，sinx

（2）（2017·福州质检）已知命题p：

“存在x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为（　　）

A．存在x∈R，ex－x－1≥0

B．存在x∈R，ex－x－1>0

C．任意x∈R，ex－x－1>0

D．任意x∈R，ex－x－1≥0

答案　C

解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“任意x∈R，ex－x－1>0”，故选C.

题型三　含参命题中参数的取值范围

典例

（1）已知命题p：

关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：

关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是________________．

答案　[－12，－4]∪[4，＋∞）

解析　若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，

则－

≤3，即a≥－12.

∵p且q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．

（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝

x－m，若对任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，

g（x）min＝g

（2）＝

－m，由f（x）min≥g（x）min，

得0≥

－m，所以m≥

.

引申探究

本例

（2）中，若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[1,2]时，g（x）max＝g

（1）＝

－m，

由f（x）min≥g（x）max，得0≥

－m，

∴m≥

.

思维升华

（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．

（2）对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．

跟踪训练

（1）已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

答案　B

解析　原命题的否定为任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋

＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝（a－1）2－4×2×

＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.

（2）已知p：

存在x∈R，mx2＋1≤0，q：

任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（－∞，－2]

C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）D．[－2,2]

答案　A

解析　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.

因此由p，q均为假命题，

得

即m≥2.

常用逻辑用语

考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．

一、命题的真假判断

典例

（1）（2017·佛山模拟）已知a，b都是实数，那么“

＞

”是“lna＞lnb”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

（2）（2018届全国名校大联考）已知命题p：

任意x∈R，3x<5x；命题q：

存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p且qB．（綈p）且q

C．p且（綈q）D．（綈p）且（綈q）

解析　

（1）由lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒

＞

，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足

＞

，但lnb无意义，所以lna＞lnb不成立，故充分性不成立．

（2）若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，

∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，

∴（綈p）且q是真命题．

答案　

（1）B　

（2）B

二、充要条件的判断

典例

（1）（2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考）已知命题甲是“

”，命题乙是“{x|log3（2x＋1）≤0}”，则下列说法正确的是（　　）

A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件

（2）（2017·湖北七市联考）已知圆C：

（x－1）2＋y2＝r2（r＞0）．设p：

0＜r＜3，q：

圆C上至多有2个点到直线x－

y＋3＝0的距离为1，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析　

（1）

≥0等价于x（x＋1）（x－1）≥0且x≠1，

解得－1≤x≤0或x>1.

由log3（2x＋1）≤0，得0<2x＋1≤1，得－

∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.

（2）圆C：

（x－1）2＋y2＝r2的圆心（1,0）到直线x－

y＋3＝0的距离d＝

＝2.当r∈（0,1）时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈（1,2）时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈（2,3）时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈（0,3）时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r＜3，故p是q的充要条件，故选C.

答案　

（1）B　

（2）C

三、求参数的取值范围

典例

（1）已知命题p：

任意x∈[0,1]，a≥ex，命题q：

存在x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

（2）已知函数f（x）＝x＋

，g（x）＝2x＋a，若任意x1∈

，存在x2∈[2,3]使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是________．

解析　

（1）命题“p且q”是真命题，p和q均是真命题．当p是真命题时，a≥（ex）max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e,4]．

（2）∵x∈

，∴f（x）≥2

＝4，当且仅当x＝2时，f（x）min＝4，当x∈[2,3]时，g（x）min＝22＋a＝4＋a，依题意知f（x）min≥g（x）min，即4≥a＋4，∴a≤0.

答案　

（1）[e,4]　

（2）（－∞，0]

1．已知命题p：

“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：

“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是（　　）

A．p或q为真B．p且q为真

C．p真q假D．p或q为假

答案　D

解析　∵p假，q假，∴p或q为假．

2．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图像关于直线x＝

对称，则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．綈q为假

C．p且q为假D．p或q为真

答案　C

解析　函数y＝sin2x的最小正周期为

＝π，故命题p为假命题；x＝

不是y＝cosx的对称轴，故命题q为假命题，故p且q为假．故选C.

3．（2017·唐山一模）已知命题p：

存在x∈N，x3

任意a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图像过点（2,0），则下列判断正确的是（　　）

A．p假q真B．p真q假

C．p假q假D．p真q真

答案　A

解析　对任意x∈N，x3≥x2，∴p假，

又当x＝2时，f

（2）＝loga1＝0，

∴f（x）的图像过点（2,0），∴q真．

4．（2017·豫西五校联考）若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（　　）

A．任意x∈R，f（－x）≠f（x）

B．任意x∈R，f（－x）＝－f（x）

C．存在x∈R，f（－x）≠f（x）

D．存在x∈R，f（－x）＝－f（x）

答案　C

解析　由题意知任意x∈R，f（－x）＝f（x）是假命题，则其否定为真命题，存在x∈R，f（－x）≠f（x）是真命题，故选C.

5．（2017·安庆二模）设命题p：

存在x∈（0，＋∞），x＋

＞3；命题q：

任意x∈（2，＋∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（　　）

A．p且（綈q）B．（綈p）且q

C．p且qD．（綈p）或q

答案　A

解析　对于命题p，当x0＝4时，x0＋

＝

＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即存在x∈（2，＋∞），使得2x＝x2成立，故命题q为假命题，所以p且（綈q）为真命题，故选A.

6．已知命题p：

存在α∈R，cos（π－α）＝cosα；命题q：

任意x∈R，x2＋1＞0，则下列结论正确的是（　　）

A．p且q是真命题B．p且q是假命题

C．綈p是真命题D．綈q是真命题

答案　A

解析　对于p：

取α＝

，则cos（π－α）＝cosα，

所以命题p是真命题；

对于命题q：

因为x2≥0，所以x2＋1＞0，所以q是真命题．

由此可得p且q是真命题．

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．存在x∈R，ex≤0

B．任意x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是

＝－1

D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件

答案　D

解析　因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；

因为当x＝－5时，2－5＜（－5）2，所以B不正确；

“

＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；

当a＞1，b＞1时，显然ab＞1，D正确．

8．命题p：

任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0,4]B．[0,4]

C．（－∞，0]∪[4，＋∞）D．（－∞，0）∪（4，＋∞）

答案　D

解析　因为命题p：

任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，

所以綈p：

存在x∈R，ax2＋ax＋1＜0，

则a＜0或

解得a＜0或a＞4.

9．命题“存在n∈N，n2＞2n”的否定是________________．

答案　任意n∈N，n2≤2n

10．已知函数f（x）的定义域为（a，b），若“存在x∈（a，b），f（x）＋f（－x）≠0”是假命题，则f（a＋b）＝________.

答案　0

解析　若“存在x∈（a，b），f（x）＋f（－x）≠0”是假命题，则“任意x∈（a，b），f（x）＋f（－x）＝0”是真命题，即f（－x）＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，则a＋b＝0，即f（a＋b）＝f（0）＝0.

11．以下四个命题：

①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

答案　0

解析　∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝（－3）2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题；

当且仅当x＝±

时，x2＝2，

∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；

对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

故真命题的个数为0.

12．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋

a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是____________．

答案　

解析　由“任意x∈R，x2－5x＋

a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋

a>0对任意实数x恒成立．设f（x）＝x2－5x＋

a，则其图像恒在x轴的上方，故Δ＝25－4×

a<0，

解得a>

，即实数a的取值范围为

.

13．已知命题p：

－4

（x－2）（3－x）>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．

答案　[－1,6]

解析　p：

－4

q：

（x－2）（3－x）>0等价于2

又綈p是綈q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，

所以

或

解得－1≤a≤6.

14．下列结论：

①若命题p：

存在x∈R，tanx＝1；命题q：

任意x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且（綈q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p且（綈q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

15．已知命题p：

存在x∈R，ex－mx＝0，命题q：

任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p或（綈q）为假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,2]

解析　若p或（綈q）为假命题，则p假q真．

由ex－mx＝0，可得m＝

，x≠0，

设f（x）＝

，x≠0，则

f′（x）＝

＝

，

当x>1时，f′（x）>0，函数f（x）＝

在（1，＋∞）上是递增函数；当0

在（0,1）和（－∞，0）上是递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f

（1）＝e，所以函数f（x）＝

的值域是（－∞，0）∪[e，＋∞），由p是假命题，可得0≤m

当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.

所以当p或（綈q）为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.

16．已知函数f（x）＝

（x≥2），g（x）＝ax（a>1，x≥2）．

（1）若存在x∈[2，＋∞），使f（x）＝m成立，则实数m的取值范围为________________；

（2）若任意x1∈[2，＋∞），存在x2∈[2,＋∞），使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为_______________．

答案　

（1）[3，＋∞）　

（2）（1，

]

解析　

（1）因为f（x）＝

＝x＋

＝x－1＋

＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若存在x∈[2，＋∞），使f（x）＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞）．

（2）因为当x≥2时，f（x）≥3，g（x）≥a2，若任意x1∈[2，＋∞），存在x2∈[2，＋∞），使得f（x1）＝g（x2），

则

　解得a∈（1，

]．