沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料.docx
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沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料
一对一辅导教案
教学目标
教学过程
知识点一:
轴对称
(一)轴对称图形和轴对称
1、轴对称图形
(1)定义:
如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相巫合,这个图形就叫做轴对称图形,这条点线就是它的对称轴。
。
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
例如,等腰三角形是轴对称图形,它的底边的垂直平分线是它的对称轴.其它如等边三角形、矩
形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形.如图1.
轴对称图形的性质:
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称
(1)定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形觅合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点,也町以说这两个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
(2)成轴对称的两个图形的性质:
1关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;
2如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴足任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
3两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
(1)区别:
轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指只有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的。
(2)联系:
如果把•个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
(二)线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这*线段两个端点的距离相等。
反过來,勺-•条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线ho
2.
线段的垂直平分线的作法:
1分别以点A、B为圆心,以大于㊁的长为半径画弧,两弧相交于C、D两点:
2作直线CD;则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
知识点二:
作轴对称图形
1.作轴对称图形:
(1)几何图形都町以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形:
(2)对于一些由立线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形•
2.用坐标表示轴对称:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y):
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(・x,y)-
知识点三:
等腰三角形
(一)等腰三角形
1、定义:
有两边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形性质
(1)等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”:
注意;常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”)。
特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°°
3、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”)。
(二)等边三角形
1、定义:
三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
2、等边三角形性质:
等边三角形的三个角相等,并II每个角都等于60°。
3、等边二角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形:
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形:
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形的性质定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
规律方法指导:
1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。
2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。
3、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y):
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
程度较好的学生可以考虑再拓展:
点关于直线尸a,x=b,尸x等的对称。
4、等腰三角形“三线合一”的性质町以这么理解:
①等腰三角形;②顶角的平分线:
③底边上的中线:
④底边上的高,以其中任意两个作为条件,就能推出其他两个结论。
5、推理证明是本章的难点,要克服这个难点,町以结合所要求证的结论一起考虔,即“两头凑”,帮助我们克服这一困难。
重点考点:
1.垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用:
练一练:
(1)用直尺和圆规作己知线段的中垂线。
(2)用直尺和圆规作已知角的角平分线。
经典练习选讲:
1.如图,AP、CP分别是ZXABC外角ZNIAC与ZNCA的平分线,它们相交于点P,PD丄BM于点D,PF丄BN于点F.求证:
BP为ZMBN的平分线.
BCP
2•如右图所示•己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D.E两点•若AB=12cm.BC=10cm・ZA=
49°,求ZDBC度数。
2、轴对称变换:
定义:
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换;
利用坐标表示轴对称:
利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律,可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。
(由点到线,到面)
*点(x,y)关于x轴对称的点是(x,—y),关于y轴对称的点是(一x,y),
关于原点对称的点是(一x,—y),关于y=x对称的点是(y,x)□
例题:
1、如图:
(1)求点A关于y轴对称的点的坐标;
(2)求点B关于x轴对称的点的坐标:
4
3
2
1
iiii
/A(3,1)
-4-3-2-10
1234
-1
■
-3
-4
-
轴对称作图,找点,使得距离之和最短问题
相应经典练习选讲:
处,若ZB=50°,则ZBDF=
(2)•把一张长方形纸片按如图所示的方式折廉,EM.FM为折痕,折亮后的C点落在B'M或B^M的延长线上,那么ZEMF的度数为o
(3)•如图所示,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,ZB
=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那
么PC+PD的最小值为o
(4)在正方形ABCD中.M,N为AD和BC中点,将点C沿直线BE对折,
使C落在MN上为F,求ZEBC。
5、已知直线1为x+y=8,点P(x,y)在1上,且x>0.y>0,点A的坐标为(6,0)・
(1)设AOPA的面枳为S,求S与x的函数关系式,并直接写出x的取值范闱;
(2)当S=9时,求点P的坐标:
(3)在直线1上有一点M,使OM+\IA的和最小,求点M的坐标.
6、如图:
在长度为1个单位的小正方形组成的网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△ABV;
<2)△ABC的面枳为:
(3)在U线1上找一点P,使PB+PC的长最短,则这个最短长度为个单位长度.(在图形中标出
点P)
4、等腰三角形:
(1)等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角:
(2)等腰三角形的性质:
a:
两腰相等;b:
两底角相等;c:
顶角平分线,底边上的中线,高三线重合(三线合一),d:
对称性:
(3)等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(“等角对等边”);
(4)等边三角形的定义:
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
★等边三角形是一种特殊的等腰三角形
等边三角形的性质:
a:
等边三角形的三个内角相等,并且每个角都等于60度:
b:
等边三角形每—条边上都是三线合一;
(5)等边三角形的判定:
a:
三个角都相等的三角形是等边三角形;b:
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
A
经典练习选讲:
/\
题型一:
等腰三角形的性质/〉■
(1)如图:
在AABC中,AB=AC,D为AC边上一点,/\
且BD=BC=AD,则ZA等于。
圧'
(2)等腰三角形两边长为5cm和9cni,周长为;等腰三角形两边长为4cm和9cni
时,周长为;若等腰三角形周长为40cm,—边长为14cm,其他两边长为
(3)等腰三角形中一个角为40。
则另外两个角为,如果一个角为100°,那另
外两个角为.
(4)如图所示:
在厶小。
中,Z1=Z2=Z3,AABC为等边三角形,求ZBEC的度数
(5)如图,ZXABC中,AD平分ZCAB交BC于D,且CD=2,ZAC=90°,ZDEF=90°,
ZB=Z
FDB=22.50AE=6,DF=4,求AB的长.
第(4)题图
(6)
第5题图
如图,AABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,ZAEF=ZAFE,求证:
EF丄EC。
第6题图
(7)如图所示:
在AABC中,BD=DE=EC=AD=AE,求ZBAC的度数。
(8)如图,AD是等腰厶小。
的顶角平分线,P是AD上一点,连接CP,BP,井分别将它们延长,交AB于点F,交AC于点E
(1)说出点E关于AD的对称点,并说明理由;
(2)找出图中与ACPE全等的三角形,并说明理由:
⑶若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的而积。
题型二:
等腰三角形的三线合一
(1)如图,在等腰RtAABC中,ZACB=90°,D为BC的中点,垂足为
E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF・
(1)求证:
AD丄CF;
(2)连接AF,试判断AACF的形状,并说明理由.
第
(1)题
DE丄AB,
(2)如图,AC=BC,AC丄BC,AE丄BE,BD二2AE,求证:
BE平分ZABC
(3)如图,ZABC=90°,D、E分别在BC、AC±,AD丄DE,且AD二DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.
(1)求证:
ZFMC=ZFCM:
(2)AD与MC垂直吗?
并说明理由.
第3题
等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定
(1)如图,在等边/XABC中,点D,E分别在边BC,AB上,BD=AE,AD与CE交于点F.
求证:
(1)AD二CE;
(2)求ZDFC的度数。
(2)如图,在RtAABC中,ZB二90°,ZACB二60°,D是BC延长线上一点,且AC=CD,则BC:
CD二
(3)已知,如图,AB是等腰直角三角形ABC的斜边,AD是
ZA的平分线,求证:
AC+CD二AB
(4)两个全等的含30°,60°的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,
取BD的中点M.连接ME.MC,试判断ZkEMC的形状•并说明理由。
等腰三角形巩固提高
1.如图,在Z\ABC中,AB=AD=DC,ZBAD=26°,求ZE和ZC的度数.
2、如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若API二P1P2二P2P3二…二P13P1仁P14A,则ZA的度数是.
2、如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证BD=CE
3.如图.AABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点0•给出下列三个条件:
①ZEBO二ZDCO;②ZBEO二ZCDO;③BE二CD・
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定AABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择第
(1)小题中的一种惜形.证明AABC是等腰三角形
3、如图,ZXABC中,ZABC与ZACB的平分线交于点0,过点0作EF〃BC,交AB于点E,交AC于点F求证:
EF二EB+FC.
4.如图,ZA=ZB,CE〃DA,CE交AE于E,求证ACEB是等腰三角
5、如图,己知点B、C、D在同一条百线匕,AABC和
△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于
①求证:
abce^aacd;
C
A
2求证:
CF=CH:
3判断ACFH的形状并说明理由.
6v如图.在四边形ABCD中,ZB+ZADC=180%AB=AD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且ZEAF=1ZBAD.求证:
EF=BE・FD・
2
7、已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,点A.B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其•)«PM=PA,点M落在第四象限.
(1)求直线AB的解析式;
(2)用m的代数式表示点M的坐标;
(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由.
&如图,在等边△ABC中,点D.E分别在边BC、AC上,且AE=CD・BE与AD相交于点P,EQ丄AD于点
Q.
(1)求证:
Z\ABE竺Z\CAD;
(2)请问PQ与BP有何关系?
并说明理由.(备注:
在直角三角形中,30。
所对直角边是是斜边的一半)
观察探丸:
1、已知如图
(1):
AABC中,AB=AC,ZB、ZC的平分线相交于点O,过点O作EF〃BC分别交AB、AC于E、F・
(1)写出线段EF与BE、CF间的数量关系?
(不证明)
(2)若ABmAC,其他条件不变,如图
(2),图中线段EF与BE、CF间是否存在
(1)中数量关系?
请说明理由.
(3)若厶ABC中,ABHAC,ZB的平分线与三角形外角ZACD的平分线CO交于O,过O点作OE//BC交AB于E,交AC于F,如图(3),这时图中线段EF与BE,CF间存在什么数最关系?
请说明理由.
2、己知ZMON=40。
,OE平分ZMON,点A、B在射线OM、OE上,点C是射线ON上的一个动点,连接AC交射线OE于点D,设ZOAC=x.
(1)填空:
若AB〃ON,
1当ZBAD=ZABD时,(如图①),则x的度数为:
2当ZBAD=ZBDA时,(如图②),则x的度数为;
(2)若AB丄OM于点A(如图③),且厶ADB是等腰三角形,求x的度数.
3、
(1)观察与发现
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片(如图
(1)):
再次折叠该三角形纸片,使点A和点D觅合,折痕为EF,展平纸片后得到AAEF(如图
(2)),小明认为AAEF是等腰三角形,你同意吗?
请说明理由。
实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图(3)):
再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D'处,折痕为EG(如图(4)):
再展平纸片(如图(5)),求图(5)中Za的大小。