中学教材全解冀教版.docx

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中学教材全解冀教版

中学教材全解（冀教版）

中学教材全解七年级上

第一章：

有理数

本章内容概览：

本章主要内容是有理数的有关概念，（如相反意义的量、正数、负数、有理数、数轴、绝对值、相反数等），有理数的大小，有理数的运算（加、减、乘、除、乘方及混合运算），用有理数解决简单的实际问题及计算器的使用，本章内容是初等数学的重要基础，是今后学习数学及其他学科不可缺少的基础知识。

本章重点是有理数的混合运算，难点是提高运算速度和准确率，正确运用各种法则，掌握运算顺序和符号的确定，并能适当利用运算律简化运算。

本章内容是中考考查的热点，主要考查正数、负数、相反数、绝对值、数轴的意义，有理数的运算及规律探索问题，题型有填空题、选择题和计算题，试题难度为中、低档。

1．1正数和负数

课程标准要求：

1、经历从现实生活中的实例引入负数的过程，体会数学与现实生活的联系。

2、能用正、负数表示生活中具有相反意义的量，理解有理数的意义，会判断一个数是正数还是负数。

相关知识链接：

1、自然数：

自然数起源于数数，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4…..叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。

2、

（1）有限小数：

小数部分的们数是有限的小数，叫做有限小数。

（2）、循环小数：

一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

有限小数和循环小数都可以转化为分数。

教材内容全解：

知识点1：

具有相反意义的量（重点）

相反意义的量，它们不但意义相反，而且还表示一定的数量。

判断下面每对量是不是相反意义的量。

（1）节约3m3水和浪费1m3水;

（2）地下二层和地上5层；

（3）存入3000元和支出1000元；

分析：

具有相反意义的量包含两层含义：

一是意义要相反，二是必须含有具体的量。

解：

（1）节约和浪费意义相反，所以节约3m3和浪费1m3

（2）

（3）

（4）

“没有”，它还是正负数的分界，是“基准”，具有“初始位置”的意义。

补充：

（

（1）零并不都表示“没有”的意义，它具有确定的内容，零既不是正数，也不是负数，不要认为一个数的前面不带“-”号即为正数，虽然0前面没有“-”，但0也不是正数；

（1）带负号的不一定是负数，如-a不一定就是负数；（3）相反意义的量中要有单位，不能只有数字而无单位；（4）在叙民表示量的意义时，“+”“-”不分。

零是1993在中国才规定为自然数的，所以之前一些家长会告诉你0不是自然数，更谈不上偶数）

知识点3

有理数的有关概念及分类（重点、难点）

★有理数的有关概念

（1）整数：

正整数、零和负整数统称为整数。

（2）分数：

正分数和负分数统称为分数。

（3）有理数：

整数和分数统称为有理数。

注意：

（1）0虽然不是正数也不是负数，但它是整数。

（2）引入负数后，数的范围扩大到有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数。

0、-200；8是偶数；13；-15等都是奇数。

（3）因为有限小数与无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是分数，圆周率是一个无限不循环小数，因此它不是分数，也不是有理数。

★有理数的分类

（1）按正数、负数与0的关系。

（2）按照整数、分数的关系分类。

注意：

（1）在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，要弄清每一个分类所对应的分类标准。

做到不重，不漏，不混淆。

（2）经常用到的概念：

“正数和0”统称为“非负数”；“负数和0”统称为“非正数”；“正整数和零”统称为非负整数；“负整数和0”统称为非正整数。

例3将下列各数分别填入相应的花括号里：

分析：

（1）零容易填错；它既不是正数，也不是负数。

（2）整数中不要漏掉落0，而分数中需加入无限循环小数或是有限小数。

解：

正数{2、5、7、1，

，….}负数{-

，-0.07，-14，0.1，-0.15。

。

。

}；整数{2，0，1，-1，。

。

。

}

方法归纳：

根据有理数的不同分类，找到每个数正确的位置，还需要注意正数包括正整数和正分数，负数包括负整数和负分数

☆☆：

全解小博士在线答疑

教材第3页“做一做”

答案：

1、表中依次是：

-3km,-800kg，-50cm。

2、

（1）-24

（2）+2.5；（3）+8844.43；-154.31；（4）+34200-27450

教材第6页“做一做”

答案：

正数：

3、12、

负数：

、-6.5、-24，。

。

。

。

整数：

3、0、12、-24，。

。

。

负分数：

、-6.5

典型例题剖析

题型一正数和负数的应用

例1某食品厂生产的80g袋装食品外印有“80±0.5g”字样。

（1）该字样表示什么意义？

（2）如果抽栓一袋这样的食品，称其质量只有78g，该商品的质量达标吗？

分析：

题目中的“80±0.5g”的字样表示袋装食品的标准质量是80g,在这个质量基础上上下浮动0.5g都属于正常范围，即只要质量在79.5g—80.5g之间就达标。

解：

（1）表示袋装食品的标准质量是80g，在其基础上向上浮动0.5g，或是向下浮动0.5g都达标。

即袋装食品质量在79.5g到80.5g之间浮动就达标。

（3）因为78g不在79.5到80.5g的范围内，所以质量不达标。

题型二有关有理数的规律探索题

例2观察下列按次序排列的一列数，研究它们各自的变化规律，并接着填上后面的两个数。

（1）1、-2、1、-2、1、-2、____、____、…

（2）2，-4，6，-8，10，-12，___、____、…

（3）1，0，-1，1，0，-1，1，0，-1，____、____、…

解析：

对于

（1）可以发现这一列数就是由1和-2组成的；对于

（2）可以发现正数和负数是交替出现的，且数字都是偶数；对于（3）可以发现这一列数是由1、0、-1这三个数成成的。

所以答案可想而知了。

（1）1、-2

（2）14，-16（3）1，0

☆☆☆☆☆中考考点对接

中考考点解读

本节的考点有正数、负数的意义，有理数的概念及分类，题型主要以填空题、选择题的形式中现。

中考典题：

例：

（2011贵阳中考）如果“盈利10%”记作+10%，那么“亏损6%”记为（）

A．-16%B。

-6%C。

+6%D。

+4%

解析：

“亏损”与“盈利”是一对相反意义的量，如果“盈利”为正数，则“亏损”为负数，所以“亏损面6%”记为-6%即答案B

（利用相反意义的量的关系解答，是解决本题的关键。

）

本节内容与中考的联系

教材第六页练习第2题，有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数，请你写出来。

中考真题（2011沈阳中考）下列选项中，既不是正数也不是负数的是（）

A-1B0C

D∏

解析：

0既不是正数也不是负数。

所以只能选择选项结果为零的。

考题点晴：

教材练习与中考真题都考查了零的属性，零是一个中性数，它既不是正数也不是负数。

知识能力提升

知识要点梳理

易误易混警示：

易误点误认为带“-”号的一定是负数。

例：

判断“-a一定是负数”这句话对不对？

分析：

字母a代表任意的有理数，存在三种情况：

（1）当a是正数时，-a表示负数；

（2）当a为0时，-a表示零；（3）当a是负数时，-a表示正数。

注意：

不是带有负号的数一定是负数，当数用字母表示时，要考虑字母的取值。

综合提升训练

1、下列说法正确的是（）

A整数就是正整数和负整数；

B分数包括正分数和负分数；

C正有理数和负有理数组成全体有理数；

D一个数不是正数就是负数；

2、观察下列数的排列规律，写出后面三个数：

（1）1、-2、3、-4、5、-6____、____、___

（2）—1、

、

、-

、

、

、_______________

3、已知一个物体沿东西方向运动，设向东为正，向西为负。

（1）向东运动5米和向西运动10米各怎样表示；

（2）-30米和50米各表示什么？

（3）物体原地不动怎样表示

4、一种羽绒服的标准价格是200元，但随着寒冬已过，春天即将来临，其价格可浮动±10%，

（1）±10%的含义是什么？

（2）请你计算出这种羽绒服的最高价和最低价；

（3）如果以标准价为标准，超过标准价部分记为+，低于标准价部分记为-，这羽绒服的价格范围又可以怎么样表示。

综合提升训练答案：

1、B解析：

其它都漏掉了0这个特殊的数。

2、

（1）7、-8、-9；

（2）-

，

3、

（1）+5m，-10m

（2）向西运动30米，向东运动50

（3）记作0m

4、

（1）±10%是指在标准价的基础上加价和降价的幅度都是10%

（2）最高价为

元；最低价为：

元。

（3）（

）（元）

1．2数轴

课程标准要求：

1、经历从现实情景抽象出数轴的过程，体会数学与现实生活的联系。

2、会用数轴上的点表示有理数。

相关知识链接：

1、直线：

直线没有端点，可以向两端无限延伸。

2、有理数的分类：

有理数按符号可以分为正有理数，0和负有理数。

教材内容全解：

知识点1数轴的概念与画法（重点）

★画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示0，规定这条直线上的一个方向（一般取从左到右的方向），用箭头表示，相反的方向为负方向，选取某一长度作为单位长度，就得到了如图1-2-1所示的数轴。

像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

注意：

（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

（2）数轴有三要素：

原点、正方向和单位长度，三者缺一不可；

（3）原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定。

★数轴的画法

（1）画一条水平的直线；

（2）在这条直线上任取一点做为原点，用这个点表示零；

（3）规定这条直线上的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；

（4）选取某一长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，集资为1、2、3、。

。

。

，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为-1、-2、-3、。

。

。

。

，就得到了一个标准的数轴。

注意：

（1）在选取原点位置和确定单位长度时，要根据题目的不同特点，灵活选取。

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个单位取一点，从原点向右依次表示为：

2,4,6,…原点向左依次为：

-2,-4,-6,…

（3）同一条数轴上的单位长度必须统一，不能出现同样长度表示不同的数量。

例1以下数轴画法正确的是：

解析：

对照数轴的三要素：

原点，单位长度，正方向。

缺一不可。

知识点2数轴上的点与有理数之间的关系

每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点。

表示正有理数的点都在原点右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧，表示0的点就是原点。

注意：

数轴上的点表示的数不一定是有理数。

点拨：

任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示。

表示数的点一定要画在数轴上，一般在相应的位置加小黑点。

典型例题剖析

题型一用数轴上的点表示有理数。

例1如下图所示，点EFGH分表示有理数（）

（1）-3，-2，1，2，

（2）-2，-3，2，1（3）2，1，-2，-3，（4）1，2，-3，-2

这就要注意字母顺序。

例2数轴上点A表示的有理数是-3，那么到点A的距离是3个单位长度的点B表示的数是（）

解析：

借助于数轴可知，把点A向右移动3个单位长度得到的点的数为0。

把点A向左移动3个单位长度得到的点表示的数为-6

答案：

0或是-6

点拨：

可借助数轴进行分析，防止漏解。

题型二数轴在生活中的应用

例3，某水利勘测队，要对一东西走向的河流进行勘测，第一天河岩向上游行走5.5km，第二天又向上游行走4.3km，第三天开始计划有变，该勘测队开始向下游走，第三天向下游走4.8km.第四天又向下游走3.2km，你知道第四天后，该勘测队在出发点的上游还是下游吗？

距离出发点有多远？

解：

设出发点为原点，向上游走为正方向，那么向下游走为负方向，画出数轴。

中考考点对接

中考考点解读：

数轴知识在中考命题中很少单独出现，它常与后面所学知识综合考查，题型号以选择题，填空题为主。

中考典型题剖析

例1（四川宜宾中考）数轴上的点A（15）、B

（2）位置如图1-2-10

所示，则线段AB的长度为：

（）

解析：

由题意，结合数轴可知，点B到原点有两个单位长度，点A到原点有5个单位长度，点A、B在原点两侧，所以线段AB的长度为2+5=7

点拨：

利用数轴，直接数出两点之间相距几个单位长度便可得出结果。

例2（湖北襄阳中考）A为数轴上表示-1的点，将点A数轴向左移动2个单位长度到点B，则点B所表示的数为：

解析：

将点A向左移动两个单位长度，得点B表示的数-3。

点拨：

先把点按要求移动，再观察它表示的数。

本节内容与中考的联系

中考真题（2011。

浙江中考）如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（）

解析：

此数在-2与-3之间，偏-3一些，所以，可能是-2.6，这个选项是正确的，如果没这个数，选择最接近的。

知识能力提升

知识要点梳理

易混易误警示

易误点：

画数轴及由数标点时出错。

例：

在数轴上标出表示-3.5、1.5的点

注意：

在画数轴时，要注意数轴的三要素，同时，还要注意标数和单位长度一致性，在数轴上标-3.5时要注意标在-3与-4之间，不要标在其它位置而造成错误。

综合提升训练

1、下列四个数中，在-2到0之间的数是（）

A-1B1C-3D3

2、下面给出的四个数轴的画法正确的是（）

3、在数轴上，原点及原点右边的点表示（）

A正数B整数C非负数D一切有理数

4已知数轴上的点A到原点的距离为2，那么数轴上到点A的距离为3的点所表示的数有：

A1个B2个C3个D4个。

答案：

ACCD

1.3绝对值和相反数

课程标准要求

1、借助数轴理解绝对值和相反数的意义。

2、经历探索正数、负数和0的绝对值的过程。

3、掌握求有理数的相反数和绝对值的方法，并知道|a|的含义。

相关知识链接

数轴的概念：

了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

数轴上原点表示的数是0，原点左边表示的是负数，原点右边表示的数是正数。

教材内容全解：

知识点1绝对值的意义（重点、难点）

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

如图所示，在数轴上表示4的点到原点的距离是4，我们就说4的绝对值是4，记作|4|=4；表示-2的点到原点的距离是2，记作|-2|=2，表示0的点到原点的距离是0，我们就说0的绝对值是零，记作|0|=0

提示：

在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度，而与它位于原点的左侧还是右侧无关。

知识点2相反数的概念（重点，难点）

★定义：

像3和-3；5和-5；

和

等这样符号不同、绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

规定：

零售的相反数是0。

如4和-4互为相反数，1.3和-1.3互为相反数，

和

互为相反数。

★对于“相反数”概念的理解注意三点：

（1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉。

（2）定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”，二者缺一不可。

不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数。

（3）相反数是成对出现，不能单独存在。

如2和-2互为相反数，是说2是-2的相反数，-2也是2的相反数。

单独的一个数不能说是相反数。

★相反数的表示方法：

一般地，数工的相反数是-a。

这就是说，要表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号就可以了。

这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或是0，a还可以表示任意一个式子。

如：

（1）当a=6时，-a=-6，6的相反数是-6；

（2）当a=-6时，-a=-（-6），因为-6的相反数是6，所以-（-6）=6

（3）当a=0时，-a=-0,因为0的相反数是0，因此-0=0

（4）当a=b+c时（即a代表一个式子时），-a=-（b+c）,也就是说b+c的相反数是-（b+c）

注意：

表示一个数的相反数里应注意：

（1）因为a可以表示任意有理数，所以-a不一定是负数，应分类讨论。

（2）表示“和、差”形式的式子的相反数里，要先用括号括上，再在括号前面添上一个“-”号。

例1填空：

_______的相反数是0.1，

与______互为相反数，-（-3）表示_______，a-1的相反数是______；

解析：

求一个数的相反数，就是在这个数的前面添上“-”号。

答案：

-0，1，

，-3的相反数，-（a-1）。

规律总结：

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

知识点3借助数轴理解相反数的意义

在数轴上表示互为相反数的点，分别位于原点两旁，且与原点的距离相等。

容易看出：

表示一对相反数的点，位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

每一对相反数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，并且到原点的距离相等。

点拨：

要求对相反数概念能从本身的定义和数轴上的位置两个方面去认识它。

例2数轴上的点到原点的距离等于5.6，这个点表示什么数？

分析：

到原点的距离等于一个正数的点有两个，它们分别位于原点的两侧。

解：

表示+5.6和-5.6两个数。

规律总结：

相反数应该是成对出现的，到原点的距离相等的两点表示的数互为相反数。

知识点4绝对值的性质

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，绝对值的意义用式子可表示为

，由此可看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于零的数）

注意：

绝对值的理解应注意三点：

（1）绝对值概念是借助数轴给出的，这是因为结合数轴定义更具有直观性和可接受性，更能体会到数形结合的优越性。

（2）绝对值的意义是数轴上表示数的点与原点的距离，它的距离是多少就说明这个数的绝对值是多少，由于距离总是正数或零，任意数的绝对值都不能为负，因此，绝对值具有一个重要性质，非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数（不小与零的数），即a取任意有理数都有

。

（3）当a为负数时，-a为正数，即当a为负数时，

是一个正数，不要误认为-a就是负数。

例3求-3，+3，-2.5，+2.5，0的绝对值

解：

-3是一个负数，所以-3的绝对值是它的相反数3，即

同理

+3和+2.5是正数，所以它们的绝对值是其本身。

即

，

，0的绝对值是0。

点拨：

（1）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（2）绝对值等于其本身的数是正数或0。

知识点5绝对值的求法（重点）

要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是零，再由绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的结果是它本身，还是它的相反数，还是零，从而求得该数的绝对值。

提示：

（1）绝对值的意义渗透了分类思想方法。

（2）绝对值的意义又可以做为求一个数的绝对值的法则，这是今后求一个数的绝对值的常用的方法。

（3）由绝对值的意义可知，正数和零的绝对值是他本身。

例4

（1）一个数的绝对值是12，求这个数；

（2）已知

，求a的值。

分析：

根据绝对值的定义可知，绝对值等于同一个数的有理数就是在数轴上找与原点的距离等于这个数的点所对应的有理数。

（1）在数轴上找与原点距离等于12的点；

（2）找与原点距离等于10的点；

解：

（1）绝对值等于12的有理数有两个：

12和-12，所以这个数是

；

（2）因为|a|=10，所以a=

规律总结：

绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数。

注意不要漏掉负数。