人工肾数学模型.docx
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人工肾数学模型
人工肾数学模型
一、摘要
本文主要是研究单位时间内人工肾带走的废物数量，针对该问题.我们利用了微分的方法，建立了微分模型。
通过MATLAB6.5软件计算，得到了一个单位时间内人工肾带走废物数量的模型：
通过分析在人工肾的一段距离l,在这段距离中废物浓度时不相同的，所以我们取了其中的一小段],[xxxD+，对其分析，研究了血液中废物浓度的变化，单位时间内人工肾带走的血液中的废物量:
al
v
ual
uullekke
kuluukdxdxdudxvuQ--=---=--=-=òò11）]（[）（0000l 关键词：
人工肾 清除率 浓度 微积分.
1
二、 问题重述
人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通，如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾.
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比.人工肾总长为l.我们建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型.
二、问题分析
通过医学资料了解到肾脏是一个产生尿液、排泄废物的器官，从心脏输出血量的25%经过肾脏，通过肾脏的滤过、重吸收和稀释浓缩功能，保留人体所必需的物质，排泄无用的代谢废物及毒性物质；同时它又是一个调节器官，通过分泌激素样的物质调节体内的代谢.
通过查找资料得知：
肾脏清除率是指某一种物质在一定时间内（通常以1 min为单位）由尿液排出的量相当于多少毫升血浆含该物质的量.以公式表示，即PVUC/*=.其中C为清除率（ml／min）；V为每分钟排尿量（ml）；u和P分别为测定的尿液和血浆的物质浓度.
C清除率（ml／min） =U测定的尿液的物质浓度×V每分钟排尿量（ml） ／P血浆的物质浓度
我们便从人工肾总长为l中取了一小段],[xxxD+，在很短的时间内.
计算人工肾带走的废物量，然后再进行微分.得到单位时间内人工肾带走废物数量. ò-=l
dxvuQ0）（l
血管
人工肾
薄膜
血液流动方向
液体流动方向
2
三、模型的假设
1、假设在整个血管和人工肾的透析过程中血管舒张程度不发生变化. 2、假设在整个血管和人工肾的透析中只进行单向渗透. 3、血液和人工肾中液体的流速均为常数.
4、废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比.
四、模型的建立及求解
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比，人工肾总长l，建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型.
以血液流动方向为正方向建立坐标x，如图1所示：
x
图1
本模型中的主要符号说明为：
l--人工肾总长度
（）xu--血液中废物浓度 （）xv--人工肾中废物浓度
uk--血液中液体流动速度 vk--人工肾中液体流动速度
Q--血液中的废物量单位时间内人工肾带走
I--人工肾的清除率
（血管）
（人工肾）
ku
kv
）（xu
）（xv
x
xxD+
3
血液中废物的浓度:
考察）,（xxxD+血液中废物浓度的变化，得
）
1
1（）（）（,0）（,）0（）,（,.
0）,（）,（）]（）（[）（0
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uuxuxukkakekekekuxvkekekekuxulvuuvuddkvuddkdxukdxvxuxk-=--=--===--=>--=++-=-----lllll其中可解得
边界条件为同理于是 将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑；
血液中废物浓度ｕ（0）相当于人体血浆中某物质的浓度P； 单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为：
（）（）[]v
al
ual
u
luul
kekekuluukdxdukvdxuQ--
-=-=-=-=òò110000l 将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：
单位时间内人工肾带走的血液中的废物量Q相当于人体尿中某物质的浓度U与每分钟尿量V的乘积，即U×V
表示人工肾性能的指标——清除率I定义为
（）
al
v
ual
u
al
vual
uekkekuekk
ekuuQI------=--==11110
00 五、模型的检验
将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：
人工肾的清除率I相当于人体肾清除率（）PVUC/´= 把QVU=´，0uP=代入人体肾清除率的计算公式得：
证明这个人工肾的微分方程模型是可行的.
alv
ual
u
ekkekIuQC----===110
4
六、模型的评价
优点：
该模型设计比较简单，针对医学方面的这类问题具有很大的实用性，若必要时可根据此模型设定相应的方案，从而也可以进一步对此模型在实践中检验，进一步的完善优化.我们还可以用建立该模型的设计方法用来类似的问题.
缺点：
该模型太过理想化，往往在实际情况中是比较复杂的，而我们知道人的血液是不可压缩的黏滞流体，所以血液在血管中心和边缘的流速是不同的.因此，该模型还有待改进.
七、模型的改进
由于人的血液是不可压缩的黏滞流体，所以血液在血管中心和边缘的流速是不同的.由牛顿黏滞定律，牛顿黏滞定律是描述流体中黏性现象的宏观规律.黏性也称黏滞，是指流体中由于存在定向运动速度的不平均性时，在流体中出现一种使流动较快的流体受到减速力，流动较慢的流体受到加速力的现象（即内摩擦现象）.这种减速力及加速力统称为黏性力（或黏滞力、内摩擦力）.牛顿黏性定律可表述为：
当流体的流动为层流时，则在层与层之间所作用的黏性力f分别与流体中定向运动的速度梯度du/dz及与流动方向切向面积A成正比的关系，其比例系数η称为黏度或黏性系数，即
η的单位是N·m-2·s，也有用泊（poise）为单位的，1泊（P）=10-1kg·m-1·s-1.从而建立血液流动微分方程.
取长度为l的血管，左端血压为P1 ,右段血压为P2（P1>P2）,血管半径为R,由于流速稳定，所以由牛顿黏滞性定律和力平衡原理，推动半径为r
推进力有（）2121PPrF-=p
（1） 阻力有dr
dv
rl
Fph22-=
（2）
l
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