一元二次方程题型分类总结.doc

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一元二次方程题型分类总结

知识梳理

一、知识结构：

一元二次方程

考点类型一　概念

（1）定义：

①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。

（2）一般表达式：

⑶难点：

如何理解“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

AB

C D

变式：

当k时，关于x的方程是一元二次方程。

例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。

针对练习：

★1、方程的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）

A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1

考点类型二　方程的解

⑴概念：

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：

利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知的值为2，则的值为。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。

例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程

必有一根为。

例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，

则m的值为。

针对练习：

★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。

★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。

⑴求k的值；⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程的一个根，则代数式。

★★4、已知是的根，则。

★★5、方程的一个根为（）

AB1CD

★★★6、若。

考点类型三　解法

⑴方法：

①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：

降次

类型一、直接开方法：

※※对于，等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：

=0;

例2、若，则x的值为。

针对练习：

下列方程无解的是（）

A.B.C.D.

类型二、因式分解法:

※方程特点：

左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：

如，，

典型例题：

例1、的根为（）

ABCD

例2、若，则4x+y的值为。

变式1：

。

变式2：

若，则x+y的值为。

变式3：

若，，则x+y的值为。

例3、方程的解为（）

A.B.C.D.

例4、解方程：

例5、已知,则的值为。

变式：

已知,且,则的值为。

针对练习：

★1、下列说法中：

①方程的二根为，，则

②.

③

④

⑤方程可变形为

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

★2、以与为根的一元二次方程是（）

A．B．

C． D．

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）

A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2

5、方程：

的解是。

★★★6、已知，且，，求的值。

★★★7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。

类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、试用配方法说明的值恒大于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、已知为实数，求的值。

例4、分解因式：

针对练习：

★★1、试用配方法说明的值恒小于0。

★★2、已知，则.

★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。

★★★4、如果,那么的值为。

类型四、公式法

⑴条件：

⑵公式：

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴⑵⑶

⑷⑸

例2、在实数范围内分解因式：

（1）；

（2）.⑶

说明：

①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，

一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成

=.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、“降次思想”的应用

⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

典型例题：

例1、已知，求代数式的值。

例2、如果，那么代数式的值。

例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

说明：

解二元二次方程组的具体思维方法有两种：

①先消元，再降次；②先降次，再消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

考点类型四　根的判别式b2-4ac

根的判别式的作用：

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）

A.B.C.D.

例3、已知关于x的方程

（1）求证：

无论k取何值时，方程总有实数根；

（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？

有两个相同的实数解？

针对练习：

★1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。

★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？

这个完全平方式是什么？

★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.

★★4、为何值时，方程组

（1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解.

★★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？

考点类型五　方程类问题中的“分类讨论”

典型例题：

例1、关于x的方程

⑴有两个实数根，则m为,

⑵只有一个根，则m为。

例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。

例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程

是否有相同的根？

若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点类型六　应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；

⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？

（结果精确到0.1，）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，

销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？

若能，求出两段铁丝的长度；若不

能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

考点类型七　根与系数的关系

⑴前提：

对于而言，当满足①、②时，

才能用韦达定理。

⑵主要内容：

⑶应用：

整体代入求值。

典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三

角形的斜边是（）

A.B.3C.6D.

例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？

若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道

原来的方程是什么吗？

其正确解应该是多少？

例4、已知，，，求

变式：

若，，则的值为。

例5、已知是方程的两个根，那么.

针对练习：

1、解方程组

2．已知，，求的值。

3、已知是方程的两实数根，求的值。

4、已知关于X的方程,问：

是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。