2机械能守恒考点解读.docx

2机械能守恒考点解读.docx

《2机械能守恒考点解读.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2机械能守恒考点解读.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2机械能守恒考点解读

例1

　如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）

图1

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

解析　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．

答案　CD

1．[守恒条件的应用]一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（　　）

A．运动员到达最低点前重力势能始终减小

B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加

C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关

答案　ABC

解析　运动员到达最低点过程中，重力始终做正功，所以重力势能始终减少，A项正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加，B项正确．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，只有重力和弹力做功，所以机械能守恒，C项正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，D项错误．

2.[机械能守恒定律的应用]如图2所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是（　　）

图2

A．小球过B点时，弹簧的弹力为mg－mv2R

B．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋mv22R

C．从A到B的过程中，小球的机械能守恒

D．从A到B的过程中，小球的机械能减少

答案　D

解析　从A到B的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增大，小球的机械能减小；由于小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力，根据牛顿第二定律，F弹－mg＝mv2R，即F弹＝mg＋mv2R，故只有选项D正确．

例2

　如图3甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C、D为圆轨道的最低点和最高点），已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10m/s2.求：

（1）小滑块的质量和圆轨道的半径；

（2）是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．

图3

解析　

（1）设小滑块的质量为m，圆轨道的半径为R

mg（H－2R）＝12mv2D

F＋mg＝2DR

得：

F＝2mgH－2RR－mg

取点（0.50m,0）和（1.00m,5.0N）代入上式得：

m＝0.1kg，R＝0.2m

（2）假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点（如图所示）

由几何关系可得

OE＝Rsin30°

设小滑块经过最高点D时的速度为vDP

由题意可知，小滑动从D运动到E，水平方向的位移为DE，竖直方向上的位移为R，则

OE＝vDPt，R＝12gt2

得到：

vDP＝2m/s

而滑块过D点的临界速度

vDL＝gR＝2m/s

由于vDP＞vDL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点

mg（H－2R）＝12mv2DP

得到：

H＝0.6m

答案　

（1）0.1kg　0.2m　

（2）存在　0.6m

1．[机械能守恒定律的简单应用]如图4所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A下落，B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到两物块着地，两物块（　　）

图4

A．速率的变化量不同

B．机械能的变化量不同

C．重力势能的变化量相同

D．重力做功的平均功率相同

答案　D

解析　A、B开始时处于静止状态，对A：

mAg＝FT①

对B：

FT＝mBgsinθ②

由①②得mAg＝mBgsinθ

即mA＝mBsinθ③

由机械能守恒知，mgh＝12mv2，所以v＝2gh，落地速率相同，故速率的变化量相同，A项错误；剪断轻绳后，A、B均遵守机械能守恒定律，机械能没有变化，故B项错误；由ΔEp＝mgh，因m不同，故ΔEp不同，C项错误；重力做功的功率PA＝mAgv＝mAgv2＝mAg2gh）2，PB＝mBgvsinθ＝mBg2gh）2sinθ，由③式mA＝mBsinθ，得PA＝PB，D项正确．

2.[综合问题的分析]如图5所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1kg的小球，将细绳拉直水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5cm.（g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）求：

图5

（1）轻质细绳受到的拉力最大值；

（2）D点到水平线AB的高度h；

（3）轻质弹簧所获得的最大弹性势能Ep.

答案　

（1）30N　

（2）16cm　（3）2.9J

解析　

（1）小球由C运动到D，由机械能守恒定律得：

mgL＝12mv21

解得v1＝2gL①

在D点，由牛顿第二定律得

FT－mg＝m21L②

由①②解得FT＝30N

由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30N.

（2）由D到A，小球做平抛运动

v2y＝2gh③

tan53°＝vyv1④

联立③④解得h＝16cm.

（3）小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg（L＋h＋xsin53°），代入数据得：

Ep＝2.9J.

例3

　如图6所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10m/s2，求：

图6

（1）若圆环恰能下降h＝3m，A和B的质量应满足什么关系？

（2）若圆环下降h＝3m时的速度vB＝5m/s，则A和B的质量有何关系？

（3）不管A和B的质量为多大，圆环下降h＝3m时的速度不可能超过多大？

解析　

（1）若圆环恰好能下降h＝3m，由机械能守恒定律得mgh＝MghA

h2＋l2＝（l＋hA）2

解得A和B的质量应满足关系M＝3m

（2）若圆环下降h＝3m时的速度vB＝5m/s，由机械能守恒定律有

mgh－MghA＝12mv2B＋12Mv2A

又h2＋l2＝（l＋hA）2

如图所示，A、B的速度关系为

vA＝vBcosθ＝vBh\r（h2＋l2）

解得A和B的质量关系为Mm＝3529

（3）B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3m时的速度越大，当m≫M时可认为B下落过程机械能守恒，有

mgh＝12mv2Bm

解得圆环的最大速度vBm＝215m/s

即圆环下降h＝3m时的速度不可能超过215m/s.

答案　

（1）M＝3m　

（2）Mm＝3529　（3）215m/s

3.[绳连接的系统机械能守恒]如图7，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是（　　）

图7

A．2RB.5R3C.4R3D.2R3

答案　C

解析　设A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得，2mgR－mgR＝12（2m＋m）v2，解得v2＝23gR，B球继续上升的高度h＝v22g＝R3，B球上升的最大高度为h＋R＝43R.

4．[轻杆连接的系统机械能守恒]质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球L/3处有一个光滑固定轴O，如图8所示．现在把杆置于

水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：

图8

（1）小球P的速度大小；

（2）在此过程中小球P机械能的变化量．

答案　

（1）2gL）3　

（2）增加49mgL

解析　

（1）两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得

2mg·23L－mg·13L＝12mv2＋12·2m·（2v）2，

解得v＝2gL）3.

（2）小球P机械能增加量ΔE＝mg·13L＋12mv2＝49mgL

1．（2014·新课标Ⅱ·15）取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（　　）

A.π6　　　B.π4　　　C.π3　　　D.5π12

答案　B

解析　设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由题意知12mv20＝mgh，即v0＝2gh.物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，落地时的竖直分速度vy＝2gh＝vx＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝π4，故选项B正确，选项A、C、D错误．

2．（2014·安徽·15）如图9所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则（　　）

图9

A．v1＝v2，t1>t2B．v1t2

C．v1＝v2，t1

答案　A

解析　利用机械能守恒定律和速率变化特点解决问题．根据机械能守恒定律可知v1＝v2，再根据速率变化特点知，小球由M到P再到N，速率先减小至最小，再增大到原速率．小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再减小到原速率．由两球运动速率特点以及两条路径的路程相等可画出如图所示图象，由图象可知小球沿MQN路径运动的平均速率大，所以t1>t2，故选项A正确．

3．（2013·浙江·23）山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图10.图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8m，h2＝4.0m，x1＝4.8m，x2＝8.0m．开始时，质量分别为M＝10kg和m＝2kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10m/s2.求：

图10

（1）大猴从A点水平跳离时速度的最小值；

（2）猴子抓住青藤荡起时的速度大小；

（3）猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．

答案　

（1）8m/s　

（2）45m/s　（3）216N

解析　

（1）设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有h1＝12gt2①

x1＝vmint②

联立①②式，得vmin＝8m/s③

（2）猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有（M＋m）gh2＝12（M＋m）v2C④

vC＝2gh2＝45m/s⑤

（3）设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得FT－（M＋m）g＝（M＋m）2CL⑥

由几何关系（L－h2）2＋x22＝L2⑦

得：

L＝10m⑧

联立⑤⑥⑧式并代入数据解得：

FT＝（M＋m）g＋（M＋m）2CL＝216N

4.如图11所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B，放置于半径为R的光滑半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小．

图11

答案　\r

（2）－1gR

解析　当杆处于水平状态时，A、B两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A球下降的高度ΔhA＝R·cos45°，B球上升的高度ΔhB＝R（1－cos45°）

由两球角速度相等知：

两球速度大小相等，设为v.

由机械能守恒得：

mgΔhA＝mgΔhB＋12·2mv2

解得：

v＝\r

（2）－1gR

练出高分

一、单项选择题

1.如图1是被誉为“豪小子”的华裔球员林书豪在NBA赛场上投二分球时的照片．现假设林书豪准备投二分球前先屈腿下蹲再竖直向上跃起，已知林书豪的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从开始下蹲到跃起过程中重心上升的高度为h，则下列说法正确的是（　　）

图1

A．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为0

B．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为12mv2＋mgh

C．从下蹲到离开地面上升过程中，他的机械能守恒

D．离开地面后，他在上升过程中处于超重状态，在下落过程中处于失重状态

答案　A

解析　林书豪从地面跃起的过程中，地面对脚的支持力作用点位移为零，支持力不做功，A正确，B错误；林书豪从下蹲到离开地面上升过程中，消耗自身能量，其机械能增大，C错误；离开地面后，林书豪上升和下降过程中，加速度均竖直向下，处于失重状态，D错误．

2.如图2所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g＝10m/s2）（　　）

图2

A．10JB．15JC．20JD．25J

答案　A

解析　由2gh＝v2y－0得：

vy＝2gh，即vy＝30m/s，落地时，tan60°＝vyv0可得：

v0＝vytan60°＝10m/s，由机械能守恒定律得Ep＝12mv20，可求得：

Ep＝10J，故A正确．

3.如图3所示，B物体的质量是A物体质量的12，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高处由静止开始下落．以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是（　　）

图3

A.15H

B.25H

C.45H

D.13H

答案　B

解析　设当物体A距地面h时，其动能与其势能相等，对A、B组成的系统由机械能守恒定律得：

mAg（H－h）＝12\a\vs4\al\co1（mA＋\f（12）mA）v2

又根据题意可知：

12mAv2＝mAgh，解得h＝25H，故B正确．

4.（2014·新课标Ⅱ·17）如图4，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（　　）

图4

A．Mg－5mgB．Mg＋mg

C．Mg＋5mgD．Mg＋10mg

答案　C

解析　以小环为研究对象，设大环半径为R，根据机械能守恒定律，得mg·2R＝12mv2，在大环最低点有FN－mg＝mv2R，得FN＝5mg，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力为FN′＝FN，方向竖直向下，故F＝Mg＋5mg，由牛顿第三定律知C正确．

二、多项选择题

5．如图5所示，两块三角形的光滑木板B、C竖直放在水平桌面上，它们的顶点连接在A处，底边向两边分开．一个锥体置于A处，放手之后，奇特的现象发生了，锥体自动地沿木板滚上了B、C板的高处，不计一切阻力．下列说法正确的是（　　）

图5

A．锥体在滚动过程中重心逐渐升高

B．锥体在滚动过程中重心逐渐降低

C．锥体在滚动过程中机械能逐渐增大

D．锥体在滚动过程中机械能保持不变

答案　BD

6.如图6所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上（桌面足够大），A右端连接一水平细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是（　　）

图6

A．B物体受到细线的拉力保持不变

B．B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量

C．A物体动能的增加量等于B物体重力对B做的功与弹簧弹力对A做的功之和

D．A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功

答案　BD

解析　对A、B的运动分析可知，A、B做加速度越来越小的加速运动，直至A和B达到最大速度，从而可以判断细线对B物体的拉力越来越大，A选项错误；根据能量守恒定律知，B减少的重力势能转化为A、B的动能与弹簧的弹性势能，据此可判断B选项正确，C选项错误；而A物体动能的增加量等于细线拉力与弹簧弹力对A做的功之和，由此可知D选项正确．

7.如图7所示，放置在竖直平面内的光滑杆AB，是按照从高度为h处以初速度v0平抛的运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点．现将一小球套于其上，由静止开始从轨道A端滑下．已知重力加速度为g，当小球到达轨道B端时（　　）

图7

A．小球的速率为20）＋2gh

B．小球的速率为2gh

C．小球在水平方向的速度大小为v0

D．小球在水平方向的速度大小为2ghv\o\al（20）＋2gh

答案　BD

解析　由机械能守恒定律有mgh＝12mv2，解得到达B端时小球的速率v＝2gh，故A错误，B正确．当小球到达B端时，设小球的速度与水平方向夹角θ.

则cosθ＝v0v\o\al（20）＋2gh

小球在水平方向的速度大小

vx＝v·cosθ＝2gh·v0v\o\al（20）＋2gh＝2ghv\o\al（20）＋2gh.D正确．

三、非选择题

8.如图8所示是一种闯关游戏，在一个平台与斜面之间悬挂有一个不计质量不可伸长的轻绳，悬点为O，使绳子在竖直面内摆动，人从斜面顶端以一定速度沿斜面跑到A点，此时绳子恰好摆到最高点A处，人立即抓住绳子随绳子一起向下摆动，当摆到最低点B时，人松开绳子，然后做平抛运动，落到平台上．将人简化为质点，已知OA垂直于斜面EF，OA与竖直方向OB的夹角为60°，绳长L＝5m，在最低点B处，人距离平台C端水平距离为10m，竖直高度为5m，欲使人落到平台上，则人沿斜面跑到A点的速度至少为多大？

（g＝10m/s2）

图8

答案　52m/s

解析　设人的质量为m，人跑到A点的速度为vA，人在B点的速度为vB，人由A运动到B，由机械能守恒有：

12mv2B＝mgL（1－cos60°）＋12mv2A①

人离开绳子后，由B到C做平抛运动，设人由B运动到C所用的时间为t，由平抛运动规律有x＝vBt②

h＝12gt2③

联立①②③解得vA＝52m/s.

9．如图9所示，光滑斜面的下端与半径为R的圆轨道平滑连接．现在使小球从斜面上端距地面高度为2R的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，轨道摩擦不计．试求：

图9

（1）小球到达圆轨道最低点B时的速度大小；

（2）小球在最低点B时对轨道的压力大小；

（3）小球在某高处脱离圆轨道后能到达的最大高度．

答案　

（1）2gR　

（2）5mg　（3）5027R

解析　

（1）小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律

mg·2R＝12mv2，

解得v＝2gR.

（2）在B点，由牛顿第二定律得

FNB－mg＝mv2R，

解得FNB＝5mg，

由牛顿第三定律知，小球在最低点B时对轨道的压力大小为5mg.

（3）根据机械能守恒，小球不可能到达圆周最高点，但在圆心以下的圆弧部分速度不等于0，轨道弹力不等于0，小球不会离开轨道．设小球在C点（OC与竖直方向的夹角为θ）脱离圆轨道，则在C点轨道弹力为0，有

mgcosθ＝m2CR，

小球从A到C的过程中，由机械能守恒定律得

mg·2R＝mgR（1＋cosθ）＋12mv2C，

由以上两式得：

cosθ＝23，vC＝2gR3），

离开C点后小球做斜上抛运动，水平分速度为vCcosθ，设小球离开圆轨道后能到达最大高度为h的D点，则D点的速度即水平分速度，大小等于vCcosθ，从A到D点的过程中由机械能守恒定律得

mg·2R＝12m（vCcosθ）2＋mgh，

解得h＝5027R.

10．如图10所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2.开始时m1恰在碗口右端水平直径A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．

图10

（1）求小球m2沿斜面上升的最大距离s；

（2）若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为R/2，求m1：

m2.

答案　

（1）\a\vs4\al\co1（\r

（2）＋\f（2m1－\r

（2）m22m1＋m2））R　

（2）2）＋12

解析　

（1）设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时，m1、m2速度大小分别为v1、v2

由运动的合成与分解得v1＝2v2①

对m1、m2组成的系统由机械能守恒定律得

m1gR－m2gh＝12m1v21＋12m2v22②

由几何关系得h＝2Rsin30°③

设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′，对m2由机械能守恒定律得

m2gs′sin30°＝12m2v22④

小球m2沿斜面上升的最大距离s＝2R＋s′⑤

联立得s＝\a\vs4\al\co1（\r

（2）＋\f（2m1－\r

（2）m22m1＋m2））R⑥

（2）对m1由机械能守恒定律得：

12m1v21＝m1gR2⑦

联立①②③⑦得m1m2＝2）＋12