浙江省杭州市西湖高级中学学年高二数学月考试题.docx
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浙江省杭州市西湖高级中学学年高二数学月考试题
浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学10月月考试题
一.选择题(共40分,每题4分,请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个)
1.下列多面体是五面体的是( )
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱柱D.五棱锥
2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( )
A.
∶1B.
∶2C.2∶
D.
∶3
3.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是( )
A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形
4.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积为 ( )
A.48B.64C.80D.120
5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题:
①若P∈a,P∈α,则a⊂α;②若a∩b=P,b⊂β,则a⊂β;③若a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α,则b⊂α;④若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b.其中真命题是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
7.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:
①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.
其中,正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
8.如图所示,正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,
G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )
A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF
9.如图所示,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
10.如图所示,在正四棱锥SABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN(不包括端点)上运动,给出下列四个结论:
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
其中,恒成立的为( )
A.①③B.③④C.①②D.②③④
二.填空题(共36分,双空题每空3分,单空题每空4分)
11.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3,则异面直线PC与BD所成的角为________,直线PC与平面ABCD所成的角为________.
12.如图所示,设P是正方形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,则与平面PAB垂直的平面有和.
13.如图223所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,
E为PB的中点,O为AC,BD的交点,则与EO平行的平面有________和________.
14.若一个几何体的正视图,侧视图和俯视图形状相同,大小均相等,那么这个几何体不可能是
,可能是也可能不是的几何体是.
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱E.四棱柱F.圆台
15.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
若在PB上存在一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,则PQ∶QB=________.
16.下列叙述不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行;②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角;④直线a与b异面,b与c也异面,则直线a与c必异面.
17.如图所示,已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD
所在的平面,且BC=2
,M为BC的中点,则二面角PAMD的大小为________.
三.解答题(共74分,请写出必要的解题过程和步骤)
18.(14分)如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)若MN=BC=4,PA=4
,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
19.(15分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,PO⊥平面ABCD,O点在AC上,PO=2,M为PD中点.
(1)证明:
AD⊥平面PAC;
(2)求三棱锥MACP的体积.
20.(15分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=
a,求证:
(1)平面PAC⊥平面PBD;
(2)二面角PBCD的大小为45°.
21.(15分)如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,该菱形的边长为1,∠ABC=60°,AA1⊥平面AC.
(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O,求证:
A1O∥平面B1D1C;
(2)若四棱柱的体积V=
,求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值.
22.(15分)如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN⊥CD;
(3)若二面角P-CD-A的大小为45°,求证:
平面BMN⊥平面PCD.
杭西高2019年10月高二数学参考答案
一.选择题(共40分,每题4分,请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个)
1.下列多面体是五面体的是()
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱柱D.五棱锥
B[解析]三棱柱有3个侧面,2个底面,共5个面,所以三棱柱为五面体.
2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为()
A.∶1B.∶2C.2∶D.∶3
C[解析]设正方体的棱长为a,其外接球的半径为R.易知(2R)2=a2+a2+a2=3a2,则R=32a,故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a∶32a=2∶.
3.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是()
A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形
C[解析]如图,在原图形OABC中,
应有OA=O′A′=6cm,OD=2O′D′=2×2=4cm,CD=C′D′=2cm.
∴OC===6cm,
∴OA=OC.
故四边形OABC是菱形.
4.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积为()
A.48B.64C.80D.120
C[解析]根据三视图知,该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8),直观图如图,PE为侧面△PAB的边AB上的高,且PE=5.所以此几何体的侧面积是S=4S△PAB=4×12×8×5=80.
5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()
A[解析]由正投影的定义可知,点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点,点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点,易知选A.
6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题:
①若P∈a,P∈α,则a⊂α;②若a∩b=P,b⊂β,则a⊂β;
③若a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α,则b⊂α;④若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b.
其中真命题是()
A.①②B.②③C.①④D.③④
D[解析]当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;
当a∩β=P时,②错;如图所示,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
7.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:
①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.
其中,正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
C[解析]矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM∥PD,所以OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.
8.如图所示,正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()
A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF
A[解析]原图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,又FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.
9.如图所示,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()
A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
D[解析]由AC⊥BD,AC⊥SD,且BD∩SD=D,得AC⊥平面SBD,∴AC⊥SB,故A正确.
由AB∥CD,得AB∥平面SCD,故B正确.
记AC与BD交于点O,连接SO,则∠ASO为SA与平面SBD所成的角,
∠CSO为SC与平面SBD所成的角,可证明△SAO≌△SCO,∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,故C正确.显然D错误.
10.如图所示,在正四棱锥SABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN(不包括端点)上运动,给出下列四个结论:
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
其中,恒成立的为()
A.①③B.③④C.①②D.②③④
A[解析]设AC,BD交于点O,连接SO,EN,EM.①由SABCD是正四棱锥,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.又∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD.∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD.又EM∩MN=N,SD∩BD=D,∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP,故①正确.②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线,不可能有EP∥BD,因此②不正确.③由①可知平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此③正确.④∵BD⊥AC,EM∥BD,∴EM⊥AC.又EM⊥SO,SO∩AC=O,∴EM⊥平面SAC.若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,故④不正确.故选A.
二.填空题(共36分,双空题每空3分,单空题每空4分)
11.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3,则异面直线PC与BD所成的角为________,直线PC与平面ABCD所成的角为________.
图234
45°[解析]连接AC.因为PA⊥平面ABCD,则AC是PC在平面ABCD上的射影,
所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角.
在△PAC中,PA⊥AC,且PA=5,
AC===5,所以∠PCA=45°,
即异面直线PC与BD所成的角为45°,直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
12.如图所示,设P是正方形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,则与平面PAB垂直的平面有和.
[解析]平面PBC、平面PAD
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A,得AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直
13.如图223所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点,则与EO平行的平面有________和________.
图223
平面PAD、平面PCD[解析]在△DPB中,∵O为BD的中点,E为PB的中点,∴EO∥PD,又EO在平面PAD、PCD外,PD在平面PAD、PCD内,所以EO与平面PAD、平面PCD平行.
14.若一个几何体的正视图,侧视图和俯视图形状相同,大小均相等,那么这个几何体不可能是
,可能是也可能不是的几何体是.
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱E.四棱柱F.圆台
D、F;B、E.
15.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
若在PB上存在一点Q,使平面MNQ∥平面PAD,则PQ∶QB=________.
1∶1[解析]若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,
∵M是AB的中点,∴Q是PB的中点.所以PQ∶QB=1∶1.
16.下列叙述不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行;②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角;④直线a与b异面,b与c也异面,则直线a与c必异面.
①②④[解析]①②中的两条直线可以相交,也可以异面,还可以平行,故①②错误;对于④,异面直线不具有传递性,故④错误.
17.如图所示,已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,且BC=2,M为BC的中点,则二面角PAMD的大小为________.
45°[解析]如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA.
∵△PCD为等边三角形,∴PE⊥CD,PE=2sin60°=.
又∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,∴PE⊥平面ABCD.
∵AM⊂平面ABCD,∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△ADE,△ECM,△ABM均为直角三角形,
由勾股定理可求得EM=,AM=,AE=3,
∴EM2+AM2=AE2,∴AM⊥EM.
又PE∩EM=E,∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM,
∴∠PME是二面角PAMD的平面角.
∵tan∠PME=PEEM=33=1,
∴∠PME=45°,∴二面角PAMD的大小为45°.
三.解答题(共74分,请写出必要的解题过程和步骤)
18.(14分)如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)若MN=BC=4,PA=4,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
解:
(1)证明:
取PD的中点H,连接AH,NH.
∵N是PC的中点,
∴NH//12DC.
∵M是AB的中点,且DC//AB,
∴NH//AM,即四边形AMNH为平行四边形.
∴MN∥AH.
∵MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)连接AC并取其中点O,连接OM,ON,
∴OM//12BC,ON//12PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.
由MN=BC=4,PA=4,得OM=2,ON=2.
∴MO2+ON2=MN2,∴∠MON=90°,∠ONM=30°,
即异面直线PA与MN成30°的角.
19.(15分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,PO⊥平面ABCD,O点在AC上,PO=2,M为PD中点.
(1)证明:
AD⊥平面PAC;
(2)求三棱锥MACP的体积.
图236
解:
(1)证明:
∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC=45°,
∴AD⊥AC.
∵PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD,
又∵AC∩PO=O,且AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,
∴AD⊥平面PAC.
(2)∵M是PD的中点,∴M到平面ABCD的距离为12PO=1.由
(1)知,S△ACD=12AD·AC=12.
∴三棱锥MACD的体积V=13×12×1=16.三棱锥PACD的体积V=13×12×2=13.
∴三棱锥MACP的体积V=13-16=16.
20.(15分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a,求证:
(1)平面PAC⊥平面PBD;
(2)二面角PBCD的大小为45°.
证明:
(1)∵PD=a,DC=a,PC=a,
∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD,又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
∴PD⊥AC.
又四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.
又AC⊂平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD.
(2)由
(1)知PD⊥BC,
又BC⊥DC,且PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC.
∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角PBCD的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,
∴∠PCD=45°.
∴二面角PBCD的大小为45°.
21.(15分)如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,该菱形的边长为1,∠ABC=60°,AA1⊥平面AC.
(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O,求证:
A1O∥平面B1D1C;
(2)若四棱柱的体积V=32,求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值.
解:
(1)证明:
连接A1C1,与B1D1交于点G,连接GC,因为A1G∥CO,A1G=CO,于是四边形A1GCO是平行四边形,故A1O∥CG,又CG⊂平面B1D1C,故A1O∥平面B1D1C.
(2)设AA1=h,因为S底=AB·BC·sin∠ABC=32,所以V=Sh=32,所以h=1.
因为B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,所以B1D1⊥平面A1C,
所以平面B1D1C⊥平面A1C,过C1作C1H⊥GC于H,于是C1H⊥平面B1D1C,
所以∠C1CG为所求角,且sin∠C1CG=C1GGC=55.
22.(15分)如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)求证:
MN⊥CD;
(3)若二面角P-CD-A的大小为45°,求证:
平面BMN⊥平面PCD.
解:
(1)证明:
如图所示,取PD的中点E,连接AE、EN,
则有EN//12CD//12AB//AM,
故AMNE是平行四边形,∴MN∥AE,
∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)证明:
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD,
∴AB⊥AE,即AB⊥MN,
又CD∥AB,∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,
又∠PDA=45°,E是PD的中点,∴AE⊥PD,即MN⊥PD,
又MN⊥CD,∴MN⊥平面PCD,
又MN⊂平面BMN,∴平面BMN⊥平面PCD.