中考数学第23题几何证明.docx

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中考数学第23题几何证明

2013中考数学第23题几何证明------冲刺试题（适用各个版本配答案）

1．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

2．（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC

（1）求证：

∠ABD=∠DCA．注：

证明过程要求给出每一步结论成立的依据．

（2）在

（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？

3．（2012•滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：

△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

4．（2012•长春）感知：

如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）

拓展：

如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：

△ABE≌△CAF．

应用：

如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　　．

6．（2012•阜新）

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

直接写出你猜想的结论；

②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由．

（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在

（1）中的位置关系仍然成立？

不必说明理由．

甲：

AB：

AC=AD：

AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：

AB：

AC=AD：

AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

6、．（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

答案：

1、

考点：

全等三角形的判定与性质。

810360

专题：

证明题。

分析：

（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF=∠ADE，以及

（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由

（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．

解答：

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，

∵E为AB的中点，∴AE=BE，

在△AED和△BFE中，

，

∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：

EG与DF的位置关系是EG⊥DF，

理由为：

连接EG，

∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，

∴∠GDF=∠BFE，

由

（1）△AED≌△BFR得：

DE=EF，即GE为DF上的中线，

∴GE⊥DF．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

2、

考点：

全等三角形的判定与性质。

810360

分析：

（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形．

解答：

证明：

（1）连接AD，

在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SSS）

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）

（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单．

3、

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。

810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出结论；（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据

（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，进而得出结论．

解答：

（1）证明：

在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，

∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：

∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，

∴∠CBE=∠BAH

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°

∴△ABH≌△BCE，

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4×

×2×1+1×1

=5；

（3）解：

由

（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，

由

（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4×

（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．

点评：

本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．

4、

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

810360

分析：

拓展：

利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；

应用：

首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：

1：

2，得出△ABD与△ADC面积比为：

1：

2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．

解答：

拓展：

证明：

∵∠1=∠2，

∴∠BEA=∠AFC，

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3，

∴∠4=∠ABE，

∴

，

∴△ABE≌△CAF（AAS）．

应用：

解：

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，

∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：

1：

2，

∴△ABD与△ADC面积比为：

1：

2，

∵△ABC的面积为9，

∴△ABD与△ADC面积分别为：

3，6；

∵∠1=∠2，

∴∠BEA=∠AFC，

∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，

∴∠BAC=∠ABE+∠3，

∴∠4=∠ABE，

∴

，

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴△ABE与△CAF面积相等，

∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，

∴△ABE与△CDF的面积之和为6，

故答案为：

6．

点评：

此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：

1：

2是解题关键．

5、

考点：

全等三角形的判定与性质。

810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；

②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；

（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．

解答：

解：

（1）①结论：

BD=CE，BD⊥CE；

②结论：

BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在Rt△ABD与Rt△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE…2分

∴BD=CE…1分

延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE…3分

（2）结论：

乙．AB：

AC=AD：

AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理．注意：

在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：

直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．

6、

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质。

810360

专题：

几何综合题。

分析：

（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：

（1）证明：

∵菱形AFED，

∴AF=AD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：

AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，

理由是：

由

（1）知：

AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，

即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，

∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，

即AC=CD﹣CF．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：

证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．